Üstel Fonksiyonlar ve Nitel Özellikleri Konu Anlatımı

Üstel Fonksiyonlar ve Nitel Özellikleri

Konuya Giriş

Üstel fonksiyonlar, bir niceliğin eşit zaman aralıklarında sabit bir oranla artması veya azalması durumlarını modellemek için kullanılır. Doğrusal modellerde değişim miktarı sabitken üstel modellerde değişim oranı sabittir. Bu nedenle bakteri çoğalması, radyoaktif maddelerin azalması, nüfus değişimi, bileşik kâr payı ve benzeri süreçlerde üstel fonksiyonlardan yararlanılır.

MEB kitabında konu; bir mesajın her dakika iki kat daha fazla kişiye ulaşması, bakterilerin bölünerek çoğalması, radyoaktif bir maddenin yarılanması, nüfus artışı, göldeki balık popülasyonunun artması ve su seviyesinin azalması gibi örnekler üzerinden ele alınır. Bu örneklerin ortak noktası, ardışık değerler arasında sabit bir çarpan bulunmasıdır.

1. Üstel Referans Fonksiyon

Bir üstel fonksiyonda bağımsız değişken üs konumundadır. Örneğin f(x)=2^x bir üstel fonksiyondur.

Üstel referans fonksiyon için tabanın iki temel koşulu vardır:

• a>0 olmalıdır.
• a≠1 olmalıdır.

a=1 seçilirse sabit fonksiyon elde edilir. a≤0 olduğunda ise fonksiyon bütün gerçek sayılar için uygun bir üstel referans fonksiyon olarak tanımlanamaz.

2. Euler Sayısı

Bazı sürekli büyüme ve azalma modellerinde taban olarak Euler sayısı kullanılır. e sayısı yaklaşık 2,7182 değerinde irrasyonel bir sayıdır. e>1 olduğu için f(x)=e^x üstel referans fonksiyonu artandır.

3. Tanım ve Görüntü Kümesi

f(x)=a^x üstel referans fonksiyonunda x her gerçek sayı değerini alabilir. Bu nedenle tanım kümesi R'dir.

a^x ifadesi hiçbir gerçek x değeri için sıfır veya negatif olmaz. Bu nedenle görüntü kümesi pozitif gerçek sayılardır.

Üstel referans fonksiyonun grafiği y eksenini her zaman (0,1) noktasında keser; çünkü a^0=1'dir.

4. Artanlık ve Azalanlık

a>1 ise f(x)=a^x artandır.

0<a<1 ise f(x)=a^x azalandır.

Örneğin f(x)=2^x artan, g(x)=(1/2)^x azalan bir üstel referans fonksiyondur.

5. Sıfır ve İşaret

Üstel referans fonksiyonun değeri her zaman pozitiftir:

a^x>0

Bu nedenle f(x)=a^x fonksiyonunun sıfırı yoktur ve negatif değer aldığı bir aralık bulunmaz.

Üstel referans fonksiyondan türetilen g(x)=k·a^(mx+r)+s biçimindeki fonksiyonlarda düşey öteleme nedeniyle sıfır ortaya çıkabilir. Böyle bir durumda g(x)=0 denklemi çözülür.

6. Bire Birlik ve Örtenlik

Üstel referans fonksiyon bütün gerçek sayılarda yalnız bir yönde değiştiği için bire birdir. Uygun değer kümesi pozitif gerçek sayılar seçildiğinde örten olarak değerlendirilebilir. Değer kümesi R alınırsa negatif ve sıfır değerleri görüntülenemediğinden örten olmaz.

7. Maksimum-Minimum ve Teklik-Çiftlik

Üstel referans fonksiyon bütün gerçek sayılarda tanımlandığında maksimum veya minimum değer almaz. Genel olarak ne tek ne de çift fonksiyondur.

Tanım kümesi belirli bir aralıkla sınırlandırılırsa maksimum ve minimum değerler ortaya çıkabilir. Örneğin f(x)=2^x fonksiyonu [-1,3] aralığında artandır; minimum değeri 1/2, maksimum değeri 8'dir.

8. Üstel Referans Fonksiyondan Türetilen Fonksiyonlar

MEB kitabında üstel referans fonksiyondan

g(x)=k·a^(mx+r)+s

biçiminde türetilen fonksiyonların grafikleri ve nitel özellikleri incelenir. Burada k≠0 ve m≠0'dır.

k katsayısı dikey germe-sıkıştırma oluşturur. k<0 olduğunda x eksenine göre simetri oluşur.

s değeri grafiği y ekseni boyunca öteler. k>0 için görüntü değerleri s'nin üzerinde, k<0 için s'nin altında kalır.

m katsayısı yatay germe-sıkıştırmayı etkiler. |m|>1 yatay sıkıştırma, 0<|m|<1 yatay germe oluşturur. m<0 olduğunda y eksenine göre simetri etkisi de ortaya çıkar.

r yatay ötelemede rol oynar. Örneğin 2^(x-3), 2^x grafiğinin 3 birim sağa ötelenmiş hâlidir.

9. Türetilmiş Üstel Fonksiyonlarda Artanlık-Azalanlık

g(x)=k·a^(mx+r)+s fonksiyonunda değişim yönü tabanın 1'e göre konumu ile k ve m'nin işaretlerine bağlıdır.

a>1 için:

• k>0 ve m>0 → artan
• k>0 ve m<0 → azalan
• k<0 ve m>0 → azalan
• k<0 ve m<0 → artan

0<a<1 için bu yönler tersine döner.

s değeri artanlık-azalanlık yönünü değiştirmez.

10. Gerçek Yaşamda Üstel Modeller

Bakterilerin her saniye ikiye bölünmesi, başlangıçta bir bakteri varsa t saniye sonra 2^t modeliyle gösterilebilir.

Yarılanma süresi 5 yıl olan 256 kg radyoaktif bir maddede 10 yıl sonra iki yarılanma gerçekleşir ve 64 kg madde kalır.

Başlangıç nüfusu 100000 olan ve her yıl %2 artan bir şehir için

f(t)=100000·(1,02)^t

modeli kullanılabilir.

Başlangıçta 20000 balık bulunan ve her yıl %10 artan bir popülasyon için

f(t)=20000·(1,10)^t

modeli kullanılır.

Başlangıç su seviyesi 500 metre ve her yıl %2 azalış varsa

g(t)=500·(0,98)^t

modeli kullanılır.

Sık Karıştırılan Noktalar

• Üstel fonksiyonda değişken üs konumundadır.
• Taban pozitif olmalı ve 1'e eşit olmamalıdır.
• a>1 ise artan, 0<a<1 ise azalandır.
• Üstel referans fonksiyonun sıfırı yoktur.
• f(0)=1 olduğu için referans grafik (0,1) noktasından geçer.
• s parametresi görüntü kümesini değiştirir.
• k<0 ve m<0 artanlık-azalanlık yönünü etkileyebilir.
• Sınırlı tanım aralığında maksimum-minimum bulunabilir.
• Yüzde artış için taban 1+r, yüzde azalış için 1-r biçiminde kurulur.

Soru Çözerken Kullanılabilecek Yaklaşım

Önce fonksiyonun referans üstel fonksiyon mu yoksa referans fonksiyondan türetilmiş bir fonksiyon mu olduğunu belirle. Referans fonksiyonda tabanın koşullarını, tanım-görüntü kümelerini ve artanlık-azalanlık durumunu incele.

Türetilmiş fonksiyonda g(x)=k·a^(mx+r)+s yapısını ayır. Taban a'nın 1'e göre konumunu, k ve m'nin işaretlerini ve s'nin düşey ötelemesini ayrı ayrı değerlendir. Sıfır için g(x)=0 denklemini çöz; görüntü kümesi için k ve s'yi kullan.

Gerçek yaşam probleminde başlangıç değerini ve her dönemdeki çarpanı belirle. Yüzde p artış için çarpan 1+p/100, yüzde p azalış için 1-p/100 olur.

Konu Özeti

Üstel referans fonksiyon f(x)=a^x biçimindedir; a>0 ve a≠1 olmalıdır. Tanım kümesi R, görüntü kümesi pozitif gerçek sayılardır. Sıfırı yoktur ve daima pozitiftir. a>1 için artan, 0<a<1 için azalandır. g(x)=k·a^(mx+r)+s biçimindeki fonksiyonlarda k, m, r ve s parametreleri germe, sıkıştırma, öteleme ve simetri etkileri oluşturur. Üstel modeller sabit oranlı büyüme ve azalma süreçlerini temsil eder.

Konuyu Bitirdiğinde Bunları Yapabiliyor Olmalısın

• Üstel referans fonksiyonun tanımını ve taban koşullarını açıklayabilmelisin.
• Tanım ve görüntü kümelerini belirleyebilmelisin.
• Taban değerine göre artanlık-azalanlık durumunu yorumlayabilmelisin.
• Sıfır, işaret, bire birlik ve teklik-çiftlik durumlarını inceleyebilmelisin.
• Sınırlı tanım aralığında maksimum-minimum değerleri bulabilmelisin.
• g(x)=k·a^(mx+r)+s fonksiyonundaki parametrelerin grafik üzerindeki etkilerini yorumlayabilmelisin.
• Türetilmiş üstel fonksiyonun görüntü kümesini belirleyebilmelisin.
• k, m ve taban değerine göre artanlık-azalanlık yönünü bulabilmelisin.
• Üstel fonksiyonun sıfırını denklem kurarak bulabilmelisin.
• Sabit oranlı artış ve azalış durumlarını üstel fonksiyonla modelleyebilmelisin.