Fonksiyonlarda Dört İşlem Konu Anlatımı

Fonksiyonlarda Dört İşlem

Konuya Giriş

Fonksiyonlarda dört işlem; iki fonksiyonun aynı değişken için ürettiği değerleri toplama, çıkarma, çarpma veya birbirine bölme yoluyla yeni fonksiyonlar oluşturmayı sağlar. MEB kitabında bu konu enerji tüketimi, güneş enerjisi üretimi, mobil iletişim ücretleri ve benzeri gerçek yaşam durumları üzerinden ele alınır.

Yeni fonksiyonu bulurken yalnız cebirsel işlem yapılmaz. İşlem sonucunun hangi x değerlerinde tanımlı olduğu da belirlenir. Toplama, çıkarma ve çarpma işlemlerinde iki fonksiyonun aynı anda tanımlı olduğu değerler kullanılır. Bölme işleminde ise bunlara ek olarak paydadaki fonksiyonun sıfır olmaması gerekir.

1. Fonksiyonlarda Toplama İşlemi

İki fonksiyonun toplamı, aynı x değerinde aldıkları çıktıların toplanmasıyla elde edilir. x değerinin hem f hem de g için kullanılabilir olması gerekir.

f(x)=2x+3 ve g(x)=x-1 ise:

(f+g)(x)=3x+2

olur.

2. Fonksiyonlarda Çıkarma İşlemi

Çıkarma işleminde:

(f-g)(x)=f(x)-g(x)

yazılır. Sıra önemlidir. Genel olarak f-g ile g-f aynı fonksiyon değildir. Tanım kümesi yine iki fonksiyonun ortak tanım değerlerinden oluşur.

3. Fonksiyonlarda Çarpma İşlemi

İki fonksiyonun çarpımı:

(f·g)(x)=f(x)·g(x)

biçimindedir. Tanım kümesi iki fonksiyonun ortak tanım değerlerinden oluşur.

Örneğin f(x)=x² ve g(x)=x ise:

(f·g)(x)=x³

olur. Bu örnek, çarpım sonucunda fonksiyonun cebirsel yapısının değişebileceğini gösterir.

4. Fonksiyonlarda Bölme İşlemi

Bölme işleminde:

(f/g)(x)=f(x)/g(x)

yazılır. Payda sıfır olamayacağı için g(x)≠0 koşulu mutlaka uygulanır.

f(x)=x² ve g(x)=x için bölüm cebirsel olarak x biçimine sadeleşir. Ancak başlangıçtaki payda x olduğundan x=0 değeri yine tanımsızdır.

5. Tanım Kümelerinin Ortaklığı

f(x)=√(x-2) ve g(x)=√(6-x) ise f için x≥2, g için x≤6 gerekir. Bu nedenle toplama, çıkarma ve çarpma işlemleri 2≤x≤6 koşulunda tanımlıdır.

Bölme işleminde g(x) paydada olduğundan ayrıca x≠6 gerekir. Böylece f/g fonksiyonu 2≤x<6 koşulunda tanımlı olur.

6. Gerçek Yaşamda Dört İşlem

MEB kitabındaki enerji örneğinde bir evdeki farklı cihazların tüketimleri ayrı fonksiyonlarla modellenir. Toplam tüketim, bu fonksiyonların toplanmasıyla bulunur. Güneş enerjisi üretimi toplam tüketimden çıkarıldığında dışarıdan alınması gereken enerji modellenebilir.

Bir diğer örnekte iki farklı mobil operatörün ücret fonksiyonları kullanılır. Toplam aylık maliyet toplama işlemiyle, iki tarife arasındaki ücret farkı çıkarma işlemiyle belirlenebilir.

7. Grafik ve Yapısal Yorum

Dört işlem sonucunda oluşan yeni fonksiyonun grafiği, başlangıçtaki fonksiyonlardan farklı olabilir. Çarpım fonksiyonun derecesini veya eğrisel yapısını değiştirebilir. Bölme ise paydanın sıfır olduğu noktalarda tanımsızlık oluşturabilir.

Bu nedenle grafik yorumunda yalnız cebirsel ifadeye değil, tanım koşullarına da bakılmalıdır.

Sık Karıştırılan Noktalar

• f-g ile g-f aynı değildir.
• Toplama, çıkarma ve çarpmada iki fonksiyonun ortak tanım değerleri alınır.
• Bölmede payda sıfır olamaz.
• Sadeleştirme önceden tanımsız olan noktayı tanımlı hâle getirmez.
• Fonksiyon değeri ile fonksiyonun cebirsel temsili birbirinden ayrılmalıdır.
• Gerçek yaşam probleminde hangi işlemin kullanılacağı niceliklerin anlamına göre belirlenmelidir.

Soru Çözerken Kullanılabilecek Yaklaşım

Önce verilen fonksiyonların tanım koşullarını belirle. Yapılacak işlemi belirledikten sonra ortak tanım değerlerini bul. Bölme işlemi varsa paydadaki fonksiyonun sıfır olduğu değerleri ayrıca çıkar. Daha sonra cebirsel işlemi yap ve mümkünse sadeleştir. Son aşamada bulunan tanım koşullarını tekrar kontrol et.

Gerçek yaşam sorularında her niceliği önce ayrı bir fonksiyonla ifade et. Toplam miktar için toplama, fark için çıkarma, birlikte etki için çarpma ve oran için bölme işlemini kullan. Sonucu problem bağlamında yorumla.

Konu Özeti

Fonksiyonlarda dört işlem, iki fonksiyondan yeni fonksiyonlar üretir. Toplama, çıkarma ve çarpmada ortak tanım değerleri kullanılır. Bölmede ayrıca paydanın sıfır olmaması gerekir. İşlem sonucunun cebirsel ifadesi kadar tanım kümesi de önemlidir. Dört işlem enerji, ücret ve benzeri gerçek yaşam modellerinde kullanılabilir.

Konuyu Bitirdiğinde Bunları Yapabiliyor Olmalısın

• f+g, f-g, f·g ve f/g gösterimlerini yorumlayabilmelisin.
• Dört işlem sonucunda oluşan fonksiyonların cebirsel temsillerini bulabilmelisin.
• Ortak tanım koşullarını belirleyebilmelisin.
• Bölmede paydanın sıfır olmama koşulunu uygulayabilmelisin.
• Sadeleştirilmiş bölümde başlangıçtaki tanımsız değerleri koruyabilmelisin.
• f+g ve f-g verildiğinde f ve g'yi belirleyebilmelisin.
• Grafik ve cebirsel temsil üzerinden yeni fonksiyonun yapısını yorumlayabilmelisin.
• Gerçek yaşam durumlarını fonksiyonlarda dört işlemle modelleyebilmelisin.