Fonksiyonların Bileşkesi Konu Anlatımı

Fonksiyonların Bileşkesi

Konuya Giriş

Bazı gerçek yaşam durumlarında bir nicelik doğrudan sonuca ulaşmaz; önce başka bir niceliğe dönüşür, ardından ikinci bir işlemden geçerek sonuç elde edilir. MEB kitabında bu düşünce; buğdayın önce una, unun hamura dönüşmesi, bir sıcaklığın hacmi belirlemesi, geminin zamana bağlı aldığı yolun deniz fenerine uzaklığı belirlemesi, adım sayısının önce yürüyüş mesafesine sonra yakılan kaloriye dönüşmesi gibi örneklerle ele alınır. Böyle durumlarda iki işlemi art arda uygulayan tek bir fonksiyon oluşturmak mümkündür. Bu yeni fonksiyona bileşke fonksiyon denir.

Bileşkede yalnızca cebirsel işlem yapmak yeterli değildir. Fonksiyonların hangi sırayla kullanıldığı, ilk fonksiyonun ürettiği değerlerin ikinci fonksiyonda kullanılabilir olup olmadığı ve oluşan yeni fonksiyonun tanım kümesi dikkatle incelenmelidir. Konunun ikinci önemli yönü ise bileşke fonksiyonun bire birlik, örtenlik, artanlık-azalanlık, teklik-çiftlik, maksimum-minimum ve sıfır gibi nitel özelliklerinin nasıl değiştiğini anlamaktır.

1. Bileşke Fonksiyon Fikri

Bir x değeri önce f fonksiyonuna verildiğinde f(x) elde edilir. Bu sonuç g fonksiyonunun girdisi olarak kullanılırsa g(f(x)) bulunur. Böylece iki aşamalı işlem, tek bir fonksiyonun işlemi gibi yazılabilir.

Örneğin bir sıcak hava balonunda sıcaklığın zamana bağlı değişimi:

f(t)=4t+280

ve hacmin sıcaklığa bağlı değişimi:

g(T)=7T

ile modellenirse zamana bağlı hacim:

(g∘f)(t)=g(f(t)) =7(4t+280) =28t+1960

olur. Burada t doğrudan hacim fonksiyonuna verilmemiştir. Önce t kullanılarak sıcaklık bulunmuş, sonra bu sıcaklık hacim fonksiyonuna aktarılmıştır.

2. Bileşkenin Sırası Neden Önemlidir?

g∘f ile f∘g aynı işlemi anlatmaz.

• g∘f işleminde önce f, sonra g uygulanır.
• f∘g işleminde önce g, sonra f uygulanır.

Fonksiyonların görevleri farklı olduğunda sıra değiştiğinde matematiksel model de değişir. Örneğin önce mesafeyi, sonra bu mesafeye bağlı başka bir büyüklüğü hesaplayan bir süreçte fonksiyonların yerini değiştirmek gerçek yaşam akışını bozabilir.

MEB kitabındaki örneklerde de iki fonksiyon farklı sırayla bileşkelendiğinde farklı cebirsel temsiller ve farklı grafikler elde edilebildiği gösterilir.

3. Bileşke Fonksiyonun Tanımlı Olma Koşulu

g∘f bileşkesinde f fonksiyonunun ürettiği değerler g fonksiyonunda kullanılabilmelidir. Bu nedenle f'nin ilgili görüntü değerleri g'nin tanım kümesinde bulunmalıdır.

Eğer f:A→B ve g:B→C biçiminde uygun tanımlanmışsa g∘f, A kümesinden C kümesine bir fonksiyon oluşturur.

Ancak g fonksiyonunun tanım kümesi f'nin bütün görüntülerini kapsamıyorsa bileşkenin tanım kümesi daralabilir. Bu durumda yalnızca f(x) değerinin g'nin tanım kümesinde kaldığı x değerleri bileşkeye alınır.

Örneğin:

f(x)=x-1 g(x)=√x

ise:

(g∘f)(x)=√(x-1)

olur. Karekök içi negatif olamayacağı için x≥1 koşulu gerekir. Bileşkenin tanım kümesi, f'nin tanım kümesinden daha dar olabilir.

4. Cebirsel Temsil Oluşturma

Bileşke oluştururken dıştaki fonksiyonun değişkeni yerine içteki fonksiyonun tamamı yazılır.

f(x)=2x-5 g(x)=x²-3x+7

olduğunda:

(f∘g)(x)=f(g(x)) =2(x²-3x+7)-5 =2x²-6x+9

elde edilir.

Ters sırada:

(g∘f)(x)=g(f(x))

olduğu için g fonksiyonundaki her x yerine 2x-5 yazılır. Bu işlem, bileşkenin sıraya bağlı olduğunu açıkça gösterir.

5. Tablo Üzerinden Bileşke

Fonksiyonlar tabloyla verilmişse bileşke yine aynı mantıkla bulunur. Önce içteki fonksiyonun tablosundan görüntü değeri okunur, sonra bu değer dıştaki fonksiyonun tablosunda giriş olarak aranır.

Örneğin f(2)=5 ve g(5)=3 ise:

(g∘f)(2)=g(f(2))=g(5)=3

olur.

Tablo sorularında ikinci fonksiyonda aranan giriş değeri yoksa o x değeri için bileşke tanımlı değildir. Bu nedenle tablo sorularında yalnız işlem değil, tanımlılık da kontrol edilmelidir.

6. Grafik Üzerinden Bileşke

Grafik sorularında da önce iç fonksiyonun değeri okunur. Bu değer ikinci grafikte x değeri olarak kullanılır.

Bir x=a değeri için:

1. f grafiğinden f(a) bulunur.
2. g grafiğinde x=f(a) noktasına gidilir.
3. g(f(a)) değeri okunur.

Bileşke grafiğinin tanım kümesi, görüntü kümesi, sıfırları, artanlık-azalanlık aralıkları ve maksimum-minimum değerleri de grafik üzerinden incelenebilir.

7. Gerçek Yaşamda Bileşke Fonksiyon

MEB kitabı bileşkeyi ardışık işlemlerin tek bir modelde toplanması olarak kullanır.

Sıcaklık ve Hacim

Zamana bağlı sıcaklık f, sıcaklığa bağlı hacim g ile modellenirse zamana bağlı hacim g∘f olur.

Gemi ve Deniz Feneri

Geminin zamana bağlı aldığı yol g ile, geminin aldığı yola bağlı deniz fenerine uzaklığı f ile modellenirse zamana bağlı uzaklık f∘g ile ifade edilir.

Petrol Sızıntısı

Sızıntının yarıçapı zamana bağlı r(t)=10t ve dairesel alan yarıçapa bağlı A(r)=πr² ise:

(A∘r)(t)=π(10t)²=100πt²

olur.

Adım Sayısı ve Kalori

Her 1000 adımda 0,5 km yüründüğünü gösteren g(x)=0,5x ve her kilometrede 50 kalori yakıldığını gösteren f(x)=50x için:

(f∘g)(x)=50·0,5x=25x

olur. Böylece x bin adım için yakılan kalori doğrudan hesaplanabilir.

Ardışık İndirim ve Vergi

Etiket fiyatına önce yüzde 10, sonra yüzde 20 indirim uygulanıyorsa dönüşümler art arda uygulanır. İlk indirimden sonra fiyat 0,90x, ikinci indirimden sonra 0,80·0,90x=0,72x olur. Satış fiyatına yüzde 10 KDV eklenirse net fiyat 1,10·0,72x=0,792x biçiminde modellenir.

8. Bileşke Fonksiyonun Bire Birliği

MEB kitabında uygun tanım ve değer kümeleri altında şu sonuç öne çıkar:

f ve g bire bir ise g∘f de bire birdir.

Mantık şöyledir:

(g∘f)(x₁)=(g∘f)(x₂)

ise:

g(f(x₁))=g(f(x₂))

olur. g bire bir olduğundan:

f(x₁)=f(x₂)

elde edilir. f de bire bir olduğundan:

x₁=x₂

sonucuna ulaşılır.

Ayrıca içteki f fonksiyonu bire bir değilse g∘f de bire bir olamaz. Çünkü farklı iki giriş f tarafından aynı değere gönderilirse g bu eşitliği tekrar farklı hâle getiremez.

9. Bileşke Fonksiyonun Örtenliği

f ve g uygun kümeler arasında örten ise g∘f de örten olur.

Dıştaki g fonksiyonu örten değilse bileşke de g'nin ulaşamadığı değerlere ulaşamaz. Bu nedenle örtenlik incelenirken özellikle dış fonksiyonun görüntü davranışı önemlidir.

Bazı durumlarda yalnız fonksiyonlardan birinin örten olması, bileşkenin örtenliğini kesinleştirmeye yetmez. Bu yüzden soruda verilen tanım, değer ve görüntü kümeleri birlikte değerlendirilmelidir.

10. Artanlık ve Azalanlık

Bileşkede artanlık-azalanlık, iki fonksiyonun değişim yönüne bağlıdır.

Uygun aralıklarda:

• f artan, g artan ise g∘f artandır.
• f artan, g azalan ise g∘f azalandır.
• f azalan, g artan ise g∘f azalandır.
• f azalan, g azalan ise g∘f artandır.

Buradaki mantık işaret çarpımına benzer: aynı yönler bileşkede artanlığı, farklı yönler azalanlığı oluşturur.

11. Teklik ve Çiftlik

Bileşkenin tek veya çift olmasında içteki ve dıştaki fonksiyonun özellikleri birlikte kullanılır.

f çift ise:

f(-x)=f(x)

olduğundan:

g(f(-x))=g(f(x))

elde edilir. Böylece g∘f uygun koşullarda çift olur.

f tek ve g tek ise:

f(-x)=-f(x)

ve g(-u)=-g(u)

ilişkileri birlikte kullanılarak g∘f'nin tek olduğu gösterilir.

f tek ve g çift ise dıştaki çift fonksiyon işareti ortadan kaldırdığı için g∘f çift olur.

12. Maksimum ve Minimum Davranışı

Bileşkenin maksimum-minimum davranışı dış fonksiyonun artan veya azalan olmasına bağlı olarak yorumlanabilir.

• f maksimum değere sahip, g artan ise g∘f maksimumu f'nin maksimumuna karşılık gelen noktada alır.
• f maksimum değere sahip, g azalan ise aynı nokta bileşke için minimuma dönüşebilir.
• f minimum değere sahip, g artan ise bileşke minimum davranışını korur.
• f minimum değere sahip, g azalan ise bileşke maksimum davranışı gösterebilir.

Bu yorum yapılırken fonksiyonların ilgili aralıklarda tanımlı ve belirtilen artanlık-azalanlık özelliklerine sahip olması gerekir.

13. Bileşke Fonksiyonun Sıfırları

g∘f fonksiyonunun sıfırını bulmak için:

g(f(x))=0

denklemi çözülür.

Önce g'nin hangi girdide sıfır olduğu bulunabilir, sonra f(x) bu değere eşitlenebilir. Grafik verildiğinde bileşke grafiğinin x eksenini kestiği noktalar sıfırları gösterir.

14. Ters Fonksiyon ile Bileşke

Bir fonksiyon bire bir ve örten olduğunda ters fonksiyonu ile bileşimi doğrusal referans fonksiyonu verir.

f⁻¹, f'nin tersi ise:

(f⁻¹∘f)(x)=x

ve uygun tanımda:

(f∘f⁻¹)(x)=x

olur.

Bu özellik MEB kitabındaki tekrarlı bileşke örneklerinde işlem sayısını azaltmak için kullanılır. Bir fonksiyon kendi tersi ise iki kez art arda uygulanması başlangıç değerini geri verir. Böyle bir durumda bileşke sayısının tek veya çift olması sonucu hızlıca belirlemeyi sağlar.

15. Bileşke Fonksiyonun Nitel Özelliklerini İnceleme

Bir bileşke fonksiyon sorusunda yalnız formülü bulmak yeterli olmayabilir. Aşağıdaki özellikler istenebilir:

• tanım kümesi
• görüntü kümesi
• bire bir olma durumu
• örten olma durumu
• artanlık veya azalanlık
• tek veya çift olma
• sıfırlar
• maksimum ve minimum noktaları
• maksimum ve minimum değerleri
• işaret

Bu özellikler cebirsel temsil, tablo veya grafik üzerinden incelenebilir. MEB kitabında bileşke fonksiyonların nitel özellikleri, hem çıkarım yapma hem de cebirsel ispat ve grafiksel doğrulama yoluyla ele alınır.

Sık Karıştırılan Noktalar

• g∘f ile f∘g aynı işlem değildir.
• g∘f için önce f uygulanır.
• Bileşkenin tanım kümesi her zaman iç fonksiyonun bütün tanım kümesi olmak zorunda değildir.
• İç fonksiyonun ürettiği değer dış fonksiyonun tanımına uygun olmalıdır.
• Bir bileşkenin grafiğini yorumlarken önce hangi bileşkenin verildiğini kontrol etmek gerekir.
• İki farklı fonksiyonun bileşkeleri bazı özel durumlarda eşit çıkabilir; bu durum bileşkenin genel olarak değişme özelliğine sahip olduğu anlamına gelmez.
• Bire birlik ve örtenlik için yalnız formüle değil, tanım ve değer kümelerine de bakılır.
• Artanlık-azalanlık sonucu, iç ve dış fonksiyonun değişim yönleri birlikte değerlendirilerek bulunur.
• Ters fonksiyonla bileşke yapıldığında uygun koşullarda başlangıç değeri elde edilir.

Soru Çözerken Kullanılabilecek Yaklaşım

1. Bileşkenin sırasını belirle: g∘f ise önce f, sonra g.
2. Sorunun cebirsel, tablo, grafik veya gerçek yaşam modeli olduğunu belirle.
3. Cebirsel soruda dış fonksiyonun değişkeni yerine iç fonksiyonun tamamını yaz.
4. Tanım kümesi soruluyorsa x'in iç fonksiyonda tanımlı olmasını ve iç fonksiyonun sonucunun dış fonksiyona uygun olmasını birlikte kontrol et.
5. Tablo sorusunda ilk tablodan çıkan değeri ikinci tabloda giriş olarak ara.
6. Grafik sorusunda önce iç fonksiyonun görüntüsünü, sonra dış fonksiyonun o girdideki değerini oku.
7. Gerçek yaşam probleminde bağımlılık zincirini yaz: örneğin zaman → mesafe → uzaklık.
8. Nitel özellik sorusunda bire birlik, örtenlik, artanlık-azalanlık veya teklik-çiftlik için ilgili önermeyi kullan.
9. Sonucu, problemde kullanılan birim ve anlamla birlikte yorumla.

Konu Özeti

Bileşke fonksiyon, bir fonksiyonun çıktısının başka bir fonksiyonun girdisi olarak kullanılmasıdır. g∘f ifadesinde önce f, sonra g uygulanır. Bileşke oluşturulurken sıraya ve tanım koşullarına dikkat edilir. Fonksiyonlar cebirsel ifade, tablo veya grafikle verilmiş olabilir. Gerçek yaşamda ardışık dönüşümler tek bir bileşke fonksiyonla modellenebilir.

Bileşkenin nitel özellikleri de önemlidir. Uygun koşullarda iki bire bir fonksiyonun bileşkesi bire birdir; iki örten fonksiyonun bileşkesi örtendir. Artanlık-azalanlık, iç ve dış fonksiyonun yönlerine göre değişir. Teklik-çiftlikte fonksiyonların simetri özellikleri birlikte değerlendirilir. Ters fonksiyon ile bileşke, uygun tanımda doğrusal referans fonksiyona dönüşür.

Konuyu Bitirdiğinde Bunları Yapabiliyor Olmalısın

• g∘f ve f∘g gösterimlerinin işlem sırasını doğru yorumlayabilmelisin.
• Bileşke fonksiyonun cebirsel temsilini oluşturabilmelisin.
• Tablo ve grafik üzerinden bileşke değeri bulabilmelisin.
• Bileşkenin tanım kümesini doğru belirleyebilmelisin.
• Gerçek yaşamda ardışık işlemleri bileşke fonksiyonla modelleyebilmelisin.
• Bileşke fonksiyonun bire birlik ve örtenlik özelliklerini yorumlayabilmelisin.
• Artanlık-azalanlık ilişkilerini kullanabilmelisin.
• Teklik-çiftlik özelliklerini değerlendirebilmelisin.
• Maksimum-minimum ve sıfır bilgilerini bileşke üzerinden inceleyebilmelisin.
• Ters fonksiyon ile bileşke ilişkisini kullanabilmelisin.
• Tekrarlı bileşke işlemlerinde uygun kısaltmaları yapabilmelisin.