Fonksiyonların Bileşkesi Ders Notu

Fonksiyonların Bileşkesi — Ders Notu

Bileşke Tanımı

Bir x değeri önce f, sonra g fonksiyonuna uygulanıyorsa:

(g∘f)(x)=g(f(x))

yazılır.

g∘f ifadesinde önce f, sonra g uygulanır. f∘g ise bunun ters sırasıdır ve genel olarak iki sonuç eşit değildir.

Cebirsel Hesaplama

Dış fonksiyonun değişkeni yerine iç fonksiyon yazılır.

f(x)=2x-5 ve g(x)=x²-3x+7 için:

(f∘g)(x)=2x²-6x+9

olur.

Bileşke sırası değiştirilirse farklı bir fonksiyon elde edilebilir.

Tanım Kümesi

g∘f'nin tanımlı olması için:

• x, f'nin tanım kümesinde olmalı.
• f(x), g'nin tanım kümesinde olmalı.

Bu nedenle bileşkenin tanım kümesi, f'nin tanım kümesinin bir alt kümesi olabilir.

Tablo ve Grafik

Tabloda:

x → f(x) → g(f(x))

sırası izlenir.

Grafikte önce f grafiğinden f(x), sonra g grafiğinden g(f(x)) okunur.

Gerçek Yaşam Modelleme

Ardışık işlemler bileşke ile tek fonksiyonda toplanabilir.

Sıcaklık:

f(t)=4t+280

Hacim:

g(T)=7T

Zamana bağlı hacim:

(g∘f)(t)=28t+1960

Adım-mesafe:

g(x)=0,5x

Mesafe-kalori:

f(x)=50x

Adım-kalori:

(f∘g)(x)=25x

Petrol sızıntısında:

r(t)=10t

A(r)=πr²

(A∘r)(t)=100πt²

Bire Birlik

f ve g bire bir ise g∘f de bire birdir.

İçteki f bire bir değilse g∘f bire bir olamaz.

Örtenlik

f ve g uygun kümeler arasında örten ise g∘f de örtendir.

Dıştaki g örten değilse bileşke de örten olamaz.

Artanlık-Azalanlık

• artan + artan → bileşke artan
• artan + azalan → bileşke azalan
• azalan + artan → bileşke azalan
• azalan + azalan → bileşke artan

Buradaki ilk özellik iç fonksiyona, ikinci özellik dış fonksiyona aittir.

Teklik-Çiftlik

f çift ise uygun g için g∘f çifttir.

f tek ve g tek ise g∘f tektir.

f tek ve g çift ise g∘f çifttir.

Maksimum-Minimum

Dış fonksiyon artansa iç fonksiyonun maksimum-minimum yönü korunur.

Dış fonksiyon azalıyorsa maksimum ile minimumun rolü yer değiştirebilir.

Ters Fonksiyon

f bire bir ve örten ise:

(f⁻¹∘f)(x)=x

ve uygun tanımda:

(f∘f⁻¹)(x)=x

olur.

Sık Karıştırılan Noktalar

• g∘f işleminde önce f, sonra g uygulanır.
• f∘g ile g∘f genel olarak aynı değildir.
• Bileşkenin tanımında iç fonksiyonun çıktısının dış fonksiyonun tanım kümesine uygunluğu kontrol edilir.
• Bire birlik, örtenlik ve artanlık-azalanlık yorumlarında iç ve dış fonksiyonun sırası dikkate alınır.
• Ters fonksiyonla bileşke yapılırken uygun tanım ve görüntü kümeleri korunur.

Fonksiyonların Bileşkesi Kısa Özeti

Bileşkede sıra önemlidir. Önce içteki fonksiyon uygulanır. Tanım kümesi için iç fonksiyonun çıktısının dış fonksiyonun tanımına uygunluğu kontrol edilir. Bileşke; cebirsel, tablo, grafik ve gerçek yaşam modelleriyle incelenebilir. Nitel özellikler fonksiyonların bire birlik, örtenlik, artanlık-azalanlık ve simetri özelliklerine bağlıdır.