Dönerek Öteleme Hareketi Ders Notu

Dönerek Öteleme Hareketi — Ders Notu

Bu ders notu, konu anlatımını kopyalamadan, temel fiziksel düşünceyi, formülleri, model seçimini ve örnek çözüm adımlarını birlikte sunar. MEB kitabının **öteleme-dönme, eylemsizlik momenti ve kinetik enerji** kazanımlarının tamamına yöneliktir.

1. Üç temel hareketin ilişkisi

Fizikte öteleme, dönme ve titreşim hareketi ayırt edilir. Bu konudaki üçlü karşılaştırma:

**Yalnız öteleme:** Cismin kütle merkezi yer değiştirir, üzerindeki noktaların öteleme hızları aynıdır. Düz yolda itilen kutu, hareketli gemi örnektir. Cismin kendi çevresinde dönmesi bu modelde yoktur.

**Yalnız dönme:** Cisim sabit eksen çevresinde döner. Kütle merkezinden geçen sabit bir dönme ekseni varsa merkez yer değiştirmez. Dönme dolap, sabit tutularak döndürülen tekerlek ve dönen pervane örneklerdir.

**Dönerek öteleme (kaymadan yuvarlanma):** Cismin merkezi ilerlerken kendisi de döner. Hareketli otomobil tekerleği bu modelin temel örneğidir. Kitap bumerangın da hem dönme hem öteleme kinetik enerjisine sahip olabileceğini belirtir.

2. Yuvarlanmada hız hesaplama kuralları

Merkez hızı **v**, yarıçap **r**, açısal hız büyüklüğü **ω** için kaymadan yuvarlanmada **v = ωr**'dir. Her nokta için **v_yer = v_öteleme + v_dönme**; bu eşitlik vektöreldir.

| Tekerlekte konum | Dönme hızının yönü (sağa yuvarlanırken) | Yere göre hız büyüklüğü | | --- | --- | --- | | En üst | Sağa, öteleme ile aynı | **2v** | | Merkez | Dönme katkısı sıfır | **v** | | En alt, temas noktası | Sola, ötelemeye zıt | **0** | | Sağ/sol yan dış nokta | Ötelemeye dik | **√2·v** |

Bu dört sonuç, tekerlek **kaymadan** yuvarlandığında ve dış yüzey noktaları için kullanılabilir. Başka bir nokta için merkeze uzaklık ve hızın yönü ayrıca belirlenir.

**Neden?** Kaymadan yuvarlanmada dış çemberde dönme hızının büyüklüğü merkez hızına eşittir. Üstte iki vektör aynı yönlü, altta zıt, yanda dik olur. Bu yüzden üst 2v, alt 0, yan √2v çıkar.

3. Eylemsizlik momentinin anlamı

Ötelemede cismin eylemsizliği kütlesiyle açıklanır. Dönmede ise kütlenin eksene göre dağılımı belirleyicidir. **Eylemsizlik momenti (I)** cismin dönme hızının değişmesine karşı gösterdiği direnci tanımlar; **skaler** niceliktir, SI birimi **kg·m²**.

**Temel bağıntı:** I = Σ(m_i·r_i²). Burada r_i, parçanın dönme eksenine dik uzaklığıdır. Her parça ayrı katkı verir; tüm katkılar toplanır. Eşit kütleli bir parçanın eksene uzaklığı 2 kat olursa I katkısı 4 kat; 3 kat olursa 9 kat olur.

**Üç bağımlılık:** Kütle, yarıçap/boyut ve cismin şekli (kütle dağılımı). Ayrıca hangi eksen etrafında dönüldüğü belirtilmelidir.

**Hızlı karşılaştırma:** Aynı modelde I₂/I₁=(m₂/m₁)(r₂/r₁)². Örneğin kütle 2 katına, yarıçap 3 katına çıkarsa I **18 katına** çıkar. Bu oran şekil aynı kalırsa geçerlidir.

4. MEB kitabındaki geometrik modeller

Kitaptaki Şekil 1.18'de verilen modeller, belirtilen eksenler içindir:

| Geometri | Eylemsizlik momenti | Yorum | | --- | --- | --- | | Halka | **mr²** | Kütlenin tamamı dış çembere dağılmış kabul edilir. | | Disk | **(1/2)mr²** | Kütle merkeze doğru da yayıldığı için halka değerinin yarısı. | | İçi dolu silindir | **(1/2)mr²** | Diskle aynı katsayı. | | İçi dolu küre | **(2/5)mr²** | Eşit m,r için içi boş küreden küçük. | | İçi boş küre | **(2/3)mr²** | Kütle daha çok yüzeyde. | | Çubuk (orta noktaya göre) | **(1/12)mL²** | r yerine çubuk uzunluğu L alınır. |

**Karşılaştırma:** Aynı kütle-yarıçap için halka > içi boş küre > disk = içi dolu silindir > içi dolu küre. Eşit kütle ve yarıçaplı halkanın I değeri diskinkinin 2 katıdır; içi boş küreninki dolu küreninkinin **5/3 katıdır**.

5. Hareket türlerine göre kinetik enerji

**Öteleme kinetik enerjisi:** E_ö=(1/2)mv². v kütle merkezinin hız büyüklüğüdür. Kütle iki kat → E_ö iki kat; hız iki kat → E_ö dört kat.

**Dönme kinetik enerjisi:** E_d=(1/2)Iω². I iki kat → (ω aynıysa) E_d iki kat; ω iki kat → (I aynıysa) E_d dört kat.

**Dönerek ötelemede toplam:** E_k = E_ö+E_d = (1/2)mv²+(1/2)Iω². İki farklı enerji katkısını ayrı hesaplayıp toplamak gerekir.

| Hareket | Hesaba katılacak enerji | | --- | --- | | Yalnız öteleme | E_ö | | Yalnız dönme | E_d | | Hem dönme hem öteleme | E_k=E_ö+E_d |

6. Kaymadan yuvarlanmada şekil-enerji ilişkisi

I=c mr² modeli ve v=ωr birlikte kullanılırsa **E_d=c E_ö**, **E_k=(1+c)E_ö** elde edilir. Buradaki c geometri katsayısıdır.

| Şekil | c = I/(mr²) | E_d/E_ö | E_k/E_ö | | --- | --- | --- | --- | | Halka | 1 | 1 | 2 | | Disk / dolu silindir | 1/2 | 1/2 | 3/2 | | Dolu küre | 2/5 | 2/5 | 7/5 | | Boş küre | 2/3 | 2/3 | 5/3 |

**Anlama biçimi:** E_d/E_ö oranı eşit hızla yuvarlanan bu şekiller için yarıçaptan bağımsız bir **geometri oranıdır**; her cismin I'sini doğru seçmek koşuluyla. Bu sonuçları kitaptaki I modelleriyle enerji bağıntısından türetiyoruz.

7. Traktör ve farklı tekerlekler

Kitabın sorusu: Ön tekerlek **m, r**; arka tekerlek **8m, 2r**. İki tekerlek aynı öteleme sürati v ile ilerler. Kaymadan yuvarlanma koşulundan **ω_ön = 2ω_arka**. Sorunun verdiği I=mr² modeli kullanılmalıdır.

1. **E_ö,arka/E_ö,ön=8** (öteleme hızı aynı, kütle 8 kat).
2. **I_arka/I_ön=(8m·4r²)/(mr²)=32**.
3. **E_d,arka/E_d,ön=32·(1/2)²=8**.

**Çok önemli:** I'nin 32 kat olması, dönme enerjisinin 32 kat olduğu anlamına gelmez; açısal hız oranı da hesaba katılır. Bu örnekte dönme ve öteleme enerji oranları 8'dir.

8. Zincirli dişli / aynı mil ayrımı

Kitabın Uygulama 3 düzeninde X **2r**, Y **r**, Z **3r** yarıçaplıdır. X ile Y **zincirle** bağlıdır, Y ile Z **aynı eksene** sabitlenmiştir. Eylemsizlik momentleri sırasıyla 2I, I, 3I.

**Zincirde:** 2r·ω_X=r·ω_Y → ω_Y=2ω_X.

**Aynı milde:** ω_Z=ω_Y=2ω_X.

**Dönme enerjilerinde:**

• X: (1/2)(2I)ω²=Iω².
• Y: (1/2)I(2ω)²=2Iω².
• Z: (1/2)(3I)(2ω)²=6Iω².

**Oran E_X:E_Y:E_Z=1:2:6.**

9. Günlük yaşam ve yorum yapma

Kitabın örnekleri ve etkinlikleri: pistonun ötelemesini dönmeye dönüştüren **krank mili**; dönerek öteleme yapan otomobil tekerleği ve bumerang; **jant boyutu** ile I arasındaki ilişki; bazı elektrikli araçlardaki **KERS** sisteminin araştırılması. Jant boyutundaki artışın I üzerindeki etkisi kütle ve dağılıma da bağlı olduğundan, gerçek aracın ivmelenme süresi/yakıt tüketimi/fren mesafesi gibi sonuçlarını yalnız tek değişkenle kesinleştirmek doğru değildir.

10. Sık yapılan hatalar

• **Dönme ile yuvarlanma aynı şey sanılması:** Yuvarlanmada merkez de ilerler.
• **Hızlar skaler toplanması:** Üstte aynı, altta ters, yanda dik yönler vardır.
• **Temas noktasının hızının unutulması:** Kaymadan yuvarlanmada temas noktasının anlık yere göre hızı 0'dır.
• **I'nin kg ile ifade edilmesi:** Birim kg·m².
• **Geometri katsayısının atlanması:** Disk ve halkanın I değerleri aynı değildir.
• **v ile ω'nun karıştırılması:** v m/s, ω rad/s'dir; kaymadan yuvarlanmada v=ωr.
• **Toplam enerjinin eksik alınması:** Yuvarlanmada dönme ve öteleme birlikte vardır.
• **Dişli bağlarının karıştırılması:** Zincir/aynı mil ayrımı temel adımdır.

11. Konuyu sınavda çözerken yol haritası

(1) Hareket türünü belirle. (2) Kaymadan yuvarlanma koşulunu ve hız vektörlerinin yönlerini kur. (3) Dönen cismin şekline ve eksenine uygun I formülünü seç. (4) Öteleme/dönme/toplam enerjiden hangisi istendiğini yaz. (5) Oran sorularında **kütle, yarıçap ve açısal hız** etkilerini ayrı değerlendir. (6) Sonucun birimini ve fiziksel anlamını kontrol et.

Kısa Özet

• Öteleme: ortak öteleme hızı. Dönme: sabit eksen çevresinde açısal hareket. Kaymadan yuvarlanma: **ikisi birden**.
• Hız: **v_yer = v_ö + v_d** (vektörel). Üst 2v; yan √2v; merkez v; alt 0. Kayma yoksa v=ωr.
• Eylemsizlik momenti: **I=Σmr²**, birim kg·m²; kütle, dağılım, boyut ve eksene bağlı.
• Geometrik I: halka mr²; disk/silindir (1/2)mr²; dolu küre (2/5)mr²; boş küre (2/3)mr²; çubuk (1/12)mL².
• Enerji: **E_ö=(1/2)mv²**, **E_d=(1/2)Iω²**, **E_k=E_ö+E_d**.
• Aynı hızda kaymadan yuvarlanan modellerde **E_d/E_ö = I/(mr²)**.
• Dişlilerde zincir: ortak çevresel sürat; aynı mil: ortak açısal hız. Kitap örneğinin enerji oranı **1:2:6**.