Düzgün Çembersel Hareket Ders Notu

Düzgün Çembersel Hareket — Ders Notu

Bu not, yalnızca formül listesi değildir: **hangi durumda hangi bağıntının kullanılacağını**, **hangi kuvvetin merkezcil kuvveti sağlayacağını** ve **sınavda hangi ayrımın önemli olduğunu** sistematik biçimde açıklar.

1. Düzgün çembersel hareketin temel yapısı

• **Çembersel hareket:** Sabit eksen etrafında çember yörünge izleme.
• **Düzgün çembersel hareket:** **Süratin büyüklüğü sabit**, çizgisel hızın **yönü değişken** olan periyodik hareket.
• **Konum/yarıçap vektörü:** Merkezden cisme doğru; uzunluğu r.
• **Çizgisel hız (v):** Yörüngeye **teğet**, yarıçapa **dik**.
• **Merkezcil ivme (aₘ) ve net merkezcil kuvvet (Fₘ):** Her an **merkeze doğru**, çizgisel hıza dik; yarıçap vektörüne zıt yönlü.
• **Açısal hız vektörü (ω):** Sağ el kuralıyla belirlenen, dönme düzlemine dik yön.

2. Bütün temel büyüklükler, birimler ve bağıntıları

| Büyüklük | Tanım veya kullanım | Bağıntı | SI birimi | |---|---|---|---| | Periyot **T** | Bir turun tamamlanma süresi | **T = t/n = 1/f** | s | | Frekans **f** | Bir saniyedeki tur sayısı | **f = n/t = 1/T** | Hz veya s⁻¹ | | Açısal hız büyüklüğü **ω** | Birim zamanda taranan açı | **ω = 2π/T = 2πf** | rad/s | | Çizgisel sürat **v** | Birim zamanda alınan yay uzunluğu | **v = 2πr/T = 2πrf = ωr** | m/s | | Merkezcil ivme **aₘ** | Hızın yönünü değiştiren ivme | **aₘ = v²/r = ω²r** | m/s² | | Merkezcil kuvvet **Fₘ** | Merkeze doğru net kuvvet | **Fₘ = m v²/r = mω²r** | N |

**Temel bağıntı dizisi:** Önce **tur sayısı → f, T**; sonra **ω = 2π/T**, **v = ωr**, **aₘ = v²/r** ve **Fₘ = maₘ**. Bir tam tur **2π radyan**dır. Bir turdaki **yol 2πr**, bir turda konumun başlangıç noktasına dönmesinden dolayı **yer değiştirme sıfır** olur.

**Birim dönüşümleri:** r metre olmalı (**60 cm = 0,60 m**). **1 200 devir/dakika = 20 tur/s = 20 Hz**. **20 m/s = 72 km/sa**. π soruda ayrıca verilmişse verilen değer kullanılmalı.

3. Disk ve dişli karşılaştırmalarının kuralları

Aynı eksene bağlı, birlikte dönen noktalar

Aynı açıyı aynı zamanda taradıkları için **T₁ = T₂**, **f₁ = f₂**, **ω₁ = ω₂**. Ancak **v₁/v₂ = r₁/r₂** ve **a₁/a₂ = r₁/r₂** (ω sabit) olur. Merkezden uzak nokta daha büyük çizgisel sürate ve merkezcil ivmeye sahip olur. Kitabın Dünya'nın dönüşü ve ipe dizilen boncuklar örnekleri bu modeldedir.

Zincirle bağlantılı farklı dişliler

Zincirin iki dişliye değdiği kenarların **çizgisel süratleri eşit** kabul edilir: **v₁ = v₂** → **ω₁r₁ = ω₂r₂**. **ω₁/ω₂ = r₂/r₁** olduğundan küçük dişli daha yüksek açısal hız yapar. Dişliler için **eşit açısal hız** varsayımı yanlış olur.

Farklı yarıçap ve periyotlar

Aynı disk olmayan bağımsız iki hareketin verileri **ayrı ayrı** kullanılır. Örneğin kitabın 2r–3T ve 3r–2T modelinde:

• **ωK/ωL = 2/3**.
• **vK/vL = (2/3)·(2/3) = 4/9**.
• **aK/aL = (2/3)²·(2/3) = 8/27**.

4. Merkezcil ivme: Değişkenler ve karşılaştırmalar

Kitap, eşit yarıçaplı ve eşit süratli vektör üçgenlerinin benzerliğinden hareketle **aₘ = v²/r** bağıntısına ulaşır. **v = ωr** kullanıldığında **aₘ = ω²r** elde edilir. Her konumda merkeze yönelir, büyüklük sabitken **yön değişir**.

| Korunan büyüklükler | Değişim | Merkezcil ivme | |---|---|---| | **v** sabit | r iki katına çıkar | **yarıya iner** | | **ω** sabit | r iki katına çıkar | **iki katına çıkar** | | **r** sabit | v iki katına çıkar | **dört katına çıkar** | | **r** sabit | ω iki katına çıkar | **dört katına çıkar** |

5. Merkezcil kuvvet nasıl bulunur?

**Fₘ = m·aₘ = m v²/r = mω²r**. Merkezcil kuvvet, **gerilme, sürtünme, normal, kütle çekim veya manyetik kuvvetin** merkeze dönük net etkisi olabilir; **yeni bir kuvvet türü değildir**. Çizgisel hızın yönünü değiştirir, düzgün çembersel harekette sürat sabit kalır.

**Kitap Simülasyon 1'deki değişken analizi:**

• Sabit v ve r için m = **2, 5, 7 kg** ise Fₘ = **2, 5, 7 N** (r = 1 m, v = 1 m/s): **Fₘ ∝ m**.
• Sabit m ve v için r = **1, 2, 3 m** ise Fₘ = **1, 1/2, 1/3 N** (m = 1 kg, v = 1 m/s): **Fₘ ∝ 1/r**.
• Sabit m ve r için v = **0,5; 1; 2 m/s** ise Fₘ = **0,25; 1; 4 N** (m = 1 kg, r = 1 m): **Fₘ ∝ v²**.

**Dikkat:** **Fₘ = mv²/r** kullanırken v sabit; **Fₘ = mω²r** kullanırken ω sabit varsayımının sonuçları farklıdır. Kütle artsa da virajdaki hız sınırı hesaplarında **m sadeleşir**; merkezcil kuvvetin kendisi ise m'ye bağlıdır.

6. Kuvvet diyagramları: Yatay ve düşey çembersel hareket

İpli cisim, yatay sürtünmesiz yüzey

• Gerçek kuvvetler: **mg aşağı, N yukarı, Tᵢₚ yatay merkeze**.
• **N = mg**; **Tᵢₚ = Fₘ = mv²/r**.
• Gerilme bu modelde tüm konumlarda aynı büyüklüktedir.

Sürtünmeli yatay döner tabla

• Düşeyde **N = mg**.
• Yatay merkezcil kuvvet **statik sürtünme** ile sağlanır: **Fₛ = Fₘ**.

İpe bağlı birden fazla cisim

İçteki ip bölümünün gerilmesi, o bölümün dışındaki cisimlerin **merkezcil kuvvet gereksinimlerini de** karşılayabilir. Kitaptaki 2ℓ ve 3ℓ uzaklıklar için **T₁ = (2mK + 3mL)ω²ℓ**, **T₂ = 3mLω²ℓ**. **T₁/T₂ = 5/3** verilince **mK/mL = 1** çıkar.

Zincirli salıncak / konik sarkaç

İp boyu **L**, düşeyle açı **α**, yatay yörünge yarıçapı **r = Lsinα**.

• **Tᵢₚ cosα = mg**: Düşey denge.
• **Tᵢₚ sinα = mv²/r**: Yatay merkezcil kuvvet.
• **tanα = v²/(rg)**. Buradan **v = √(rg tanα)**, **ω² = g/(Lcosα)**.

İple düşey çembersel hareket (sabit v)

| Nokta | Merkeze doğru net kuvvet | İp gerilmesi | |---|---|---| | **Üst** | **Fₘ = Tüst + mg** | **Tüst = mv²/r − mg**, en küçük | | **Yan (kitaptaki K)** | **Fₘ = TK** | **TK = mv²/r** | | **Alt** | **Fₘ = Talt − mg** | **Talt = mv²/r + mg**, en büyük | | **Ara nokta (kitaptaki L)** | **Fₘ = TL − mg cosθ** | Ağırlığın yarıçap bileşeni eklenir |

**Neden?** Üstte ağırlık **merkez yönünde** etkili olur, gerilmenin daha küçük olması yeterlidir. Altta ağırlık **merkezin tersine** etki eder; gerilme hem ağırlığı dengelemek hem de merkezcil kuvveti sağlamak zorundadır. **Fₘ'nin büyüklüğü sabit kalırken Tᵢₚ değişebilir.**

7. Araçların emniyetli dönüş koşulları

Virajların bütününde gereken merkezcil kuvvet **mv²/r**; ancak bu kuvvetin kaynağı farklıdır.

7.1. Yatay viraj

• Gerçek kuvvetler: mg aşağı, N yukarı, sürtünme yatayda merkeze.
• **N = mg** ve **Fₛ,max = kmg**.
• Sınırda **kmg = mvₘₐₓ²/r**, yani **vₘₐₓ = √(kgr)**.
• Bu **en büyük güvenli sürat**; sürat daha yüksekse araç savrulur.
• **m sadeleşir**. Sürtünme azaldığında güvenli sınır düşer; viraj yarıçapı arttığında artar.

7.2. Sürtünmesiz eğimli viraj

• Yüzeyin tepki kuvveti **N** iki bileşene ayrılır.
• Düşeyde **Ncosθ = mg**; yatayda **Nsinθ = mv²/r**.
• **tanθ = v²/(rg)** → **v = √(rg tanθ)**.
• Bu değer **eğim açısının ve yarıçapın belirlediği tasarım sürati**dir. Kitaba göre üzerindeki süratte araç yukarı, altındaki süratte aşağı kayar.
• Kütleden bağımsızdır; bu modelde **sürtünme hesaba katılmaz**.

7.3. Düşey silindir içinde duvarda dönme

• **N = mv²/r** yatay merkeze yönelir.
• **Fₛ** düşey yukarı, **mg** aşağıdır. Kaymadan durabilmek için **mg ≤ kN**.
• Sınırda **mg = kmv²/r** → **vₘᵢₙ = √(gr/k)**, **ωₘᵢₙ = √[g/(kr)]**.
• Bu değer **en küçük sürat**tir. m sadeleşir.

Üç modelin hızlı karşılaştırması

| Zemin/düzenek | Merkezcil net kuvveti oluşturan | Düşey denge | Sürat koşulu | |---|---|---|---| | **Yatay viraj** | Statik sürtünme | N = mg | **v ≤ √(kgr)** | | **Sürtünmesiz eğimli viraj** | Normalin yatay bileşeni | Ncosθ = mg | **v = √(rg tanθ)** | | **Düşey silindir duvarı** | Normal kuvvet | Sürtünme mg'yi dengeler | **v ≥ √(gr/k)** |

8. Kitabın önemli karşılaştırmalı uygulamaları

**London Eye (Uygulama 14):** Çap 120 m → r = 60 m. Periyot 30 dakika → T = 1 800 s. π = 3 için **f = 1/1 800 Hz**, **ω = 1/300 rad/s**, **v = 0,2 m/s**, **aₘ = 1/1 500 m/s²**. 75 kg yolcu için en altta **N − mg = maₘ**; g = 10 alınırsa **N = 750,05 N**. En altta merkez **yukarıdadır**.

**Saat kolları (Uygulama 15):** Akrep L, yelkovan 2L, saniye kolu 2L. Saniye periyodu T ise yelkovan **60T**, akrep **720T**. Akrebin açısal hızı ω ise yelkovanınki **12ω**, saniye kolununki **720ω**. Akrebin uç sürati v ise yelkovanınki **24v**, saniye kolununki **1 440v**. Akrebin uç ivmesi a ise yelkovanınki **288a**.

9. Sık yapılan hatalar ve sınav çözüm düzeni

• **'Sabit hız'** ile **'sabit sürat'** aynı değildir; düzgün çembersel harekette hız yönü değişir.
• **Hız vektörü merkeze yönelmez**; merkeze dönük olan **net kuvvet ve ivme**dir.
• **Merkezcil kuvveti** gerilme, sürtünme gibi gerçek kuvvetlerden **ayrı ekleme**.
• **Sabit ω** varken yarıçap artarsa **v ve aₘ artar**; **sabit v** varken yarıçap artarsa **aₘ azalır**.
• **Zincirli dişliler:** Eşit olan **kenar süratleridir**, açısal hızlar değil.
• **Konik sarkaç:** Merkezcil kuvvet **Tsinα**, düşey denge **Tcosα** (α düşeyle yapılan açı).
• **Düşey çember:** En üstte **T + mg**, en altta **T − mg** net merkezcil kuvveti verir.
• **Yatay virajdaki vₘₐₓ**, **düşey silindirdeki vₘᵢₙ** ile karıştırılmamalıdır.
• **Eğimli sürtünmesiz virajda** yatay bileşen **Nsinθ**, düşey bileşen **Ncosθ** olur.
• **Devir/dakika** ile **Hz** aynı sayı değildir; **60'a böl**.

**Sınav stratejisi:** (1) Düzenek ve sabitleri belirle. (2) Birim dönüşümlerini yap. (3) Hız, ivme ve gerçek kuvvetleri çiz. (4) Gerekliyse kuvvetleri bileşenlerine ayır. (5) **ΣFmerkez = mv²/r** kur. (6) Bulduğun süratin **üst sınır, alt sınır veya tasarım sürati** olduğunu yorumla.

10. Ders notu kontrol listesi

Bu notu bitirdiğinde **periyot-frekans**, **ω-v-aₘ-Fₘ zinciri**, **aynı disk ve zincirli dişli ayrımı**, **Fₘ'nin m/v/r/ω bağımlılığı**, **yatay ipli/sürtünmeli düzenekler**, **konik sarkaç**, **düşey çemberin üst-alt gerilmeleri** ve **üç emniyetli dönüş modeli** için formül seçip gerekçesini açıklayabiliyor olmalısın.

Kısa Özet

• **Düzgün çembersel harekette sürat sabit, hız vektörü değişkendir.** Hız teğet, merkezcil ivme merkeze doğrudur.
• **T = 1/f**, **ω = 2π/T = 2πf**, **v = ωr = 2πr/T**, **aₘ = v²/r = ω²r**, **Fₘ = maₘ = mv²/r**.
• Aynı katı diskte **ω eşit, v ∝ r**; zincirle bağlı dişlilerde **kenar v eşit, ω ∝ 1/r**.
• Net merkezcil kuvvet yeni bir kuvvet değildir; **gerilme, sürtünme veya gerçek kuvvet bileşenlerinin merkeze dönük bileşkesidir**.
• Yatay düzlemde ip gerilmesi merkezcil kuvveti sağlar. **Konik sarkaçta** Tᵢₚ cosα = mg, Tᵢₚ sinα = mv²/r (α düşeyle yapılan açı).
• Düşey çemberde sabit süratte **Fₘ = Tüst + mg = Talt − mg** olduğundan **Talt − Tüst = 2mg**.
• **Yatay viraj:** vₘₐₓ = √(kgr); **sürtünmesiz eğimli viraj:** v = √(rg tanθ); **düşey silindir:** vₘᵢₙ = √(gr/k).
• **Sınav uyarısı:** Önce merkezin yönünü ve gerçek kuvvetleri belirle; sonra uygun eşitliği kur. Sınır süratlerin en büyük/en küçük oluşunu karıştırma.