AYT Mantık Sembolik Mantık Ders Notu

Sembolik Mantık – Ders Notu

Sembolik Mantık

Doğal dildeki mantıksal yapıyı sembollerle açık ve denetlenebilir hâle getirir.

Temel Semboller

Önerme: p, q, r

Sabit: a, b, c

Değişken: x, y, z

Yüklem: P(x), Q(x)

İlişki: R(x,y)

Niceleyiciler: ∀ ve ∃

Sabit ve Değişken

Sabit: belirli birey.

Değişken: evrendeki herhangi birey.

Açık Önerme

P(x) gibi, değişkenin değeri belirlenmeden doğruluk değeri kesinleşmeyen ifadedir.

Evren

Değişkenlerin değer alabileceği bireylerin kümesidir.

Tümel Niceleyici

∀x P(x)

“Her x P'dir.”

Varlık Niceleyicisi

∃x P(x)

“En az bir x P'dir.”

∃ yalnız bir tane anlamına gelmez.

Standart Sembolleştirmeler

Bütün S'ler P'dir:

∀x(S(x) → P(x))

Hiçbir S, P değildir:

∀x(S(x) → ¬P(x))

Bazı S'ler P'dir:

∃x(S(x) ∧ P(x))

Bazı S'ler P değildir:

∃x(S(x) ∧ ¬P(x))

Niceleyici Değillemeleri

¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x)

¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)

Bağlı ve Serbest Değişken

Bağlı: niceleyicinin kapsamında.

Serbest: niceleyici tarafından bağlanmamış.

Niceleyici Sırası

∀x∃y ile ∃y∀x genel olarak aynı değildir.

Özdeşlik

x = y: aynı birey.

x ≠ y: farklı birey.

Temel Geçerli Geçişler

Tümel özelleştirme:

∀x P(x) → P(a)

Varoluşsal genelleme:

P(a) → ∃x P(x)

Dikkat: ∃x P(x) ifadesinden keyfî bir a için P(a) çıkmaz.

Sözdizimi ve Anlambilim

Sözdizimi: sembollerin kuruluş kuralları.

Anlambilim: yorum ve doğruluk koşulları.

Sık Karıştırılan Noktalar

• Sabit → belirli birey.
• Değişken → herhangi birey.
• ∀ → her/bütün.
• ∃ → bazı/en az bir.
• Bütün S'ler P → koşul kullanılır.
• Bazı S'ler P → ve bağlacı kullanılır.
• ¬∀ → ∃¬.
• ¬∃ → ∀¬.
• ∀x∃y ile ∃y∀x genel olarak aynı değildir.
• ∃ → yalnız bir demek değildir.
• Açık formülde serbest değişken bulunabilir.

Sembolik Mantık Kısa Özeti

Sembolik mantık, mantıksal yapıları sabit, değişken, yüklem ve niceleyicilerle gösterir. Tümel niceleyici ∀, varlık niceleyicisi ∃ sembolüdür. Bütün S'ler P'dir biçimi koşulla; bazı S'ler P'dir biçimi varlık niceleyicisi ve ve bağlacıyla gösterilir.