AYT Mantık Sembolik Mantık Konu Anlatımı

Sembolik Mantık

Sembolik mantık; doğal dildeki akıl yürütmeleri özel sembollerle göstererek mantıksal yapıyı açık, kısa ve denetlenebilir hâle getiren modern mantık alanıdır. Önermeler mantığı önermeleri birer bütün olarak ele alırken sembolik mantığın niceleme/yüklemler boyutu, önermelerin içindeki birey, özellik, ilişki ve niceleme yapısını da inceler.

Temel Semboller

Başlıca sembol türleri:

• önerme sembolleri: p, q, r
• birey sabitleri: a, b, c
• değişkenler: x, y, z
• yüklem sembolleri: P, Q, R
• bağlaçlar: ¬, ∧, ∨, →, ↔
• niceleyiciler: ∀, ∃
• özdeşlik: =

Doğal Dil ve Sembolik Dil

Doğal dil çok anlamlı ve bağlama bağlı olabilir. Sembolik dil, mantıksal ilişkileri özel işaretlerle açıklaştırır.

Önermeler Mantığı ile İlişkisi

Önermeler mantığında “Ali öğrencidir.” ifadesi p ile gösterilebilir. Daha ayrıntılı niceleme/yüklemler mantığında aynı ifade Ö(a) biçiminde çözümlenir.

Birey Sabiti

Belirli bir kişi veya nesneyi gösterir.

Örnek: a → Ali

Değişken

Belirli tek bir bireyi değil, evrendeki herhangi bir bireyi temsil eder.

Genellikle x, y, z kullanılır.

Yüklem

Yüklem, bireylere özellik yükleyen veya bireyler arasında ilişki kuran yapıdır.

P(x): x öğrencidir. R(x,y): x, y'yi sever.

Açık Önerme

Değişken içeren ve değişkene değer verilmeden doğruluk değeri kesinleşmeyen ifadeye açık önerme denir.

Örnek: P(x): x öğrencidir.

x'in kim olduğu belirlenmeden doğruluk değeri kesinleşmez.

Evren

Değişkenlerin değer alabileceği bireylerin oluşturduğu kümeye evren denir.

Tümel Niceleyici

∀x P(x)

“Her x için P(x)” anlamına gelir.

Doğal dilde:

• her
• bütün
• tüm

ifadeleriyle ilişkilidir.

Varlık Niceleyicisi

∃x P(x)

“En az bir x için P(x)” anlamına gelir.

Doğal dilde:

• bazı
• en az bir
• bir tane vardır ki

ifadeleriyle ilişkilidir.

Niceleyicinin Kapsamı

Bir niceleyicinin etkilediği ifade bölümüne kapsam denir.

∀x (P(x) → Q(x)) ifadesinde ∀x, parantez içindeki yapıyı kapsar.

Bağlı ve Serbest Değişken

Niceleyicinin kapsamında bulunan değişken bağlıdır. Hiçbir niceleyici tarafından bağlanmayan değişken serbesttir.

Dört Temel Kategorik Biçimin Sembolleştirilmesi

Bütün S'ler P'dir

∀x (S(x) → P(x))

Hiçbir S, P değildir

∀x (S(x) → ¬P(x))

Buna denk olarak: ¬∃x (S(x) ∧ P(x))

Bazı S'ler P'dir

∃x (S(x) ∧ P(x))

Bazı S'ler P değildir

∃x (S(x) ∧ ¬P(x))

Niceleyicilerin Değillenmesi

Temel denklikler:

¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x)

¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)

“Bazı” Ne Demektir?

∃ niceleyicisi “yalnız bir tane” demek değildir. En az bir tane demektir ve birden fazla birey de koşulu sağlayabilir.

İlişki Sembolleri

Tekli yüklem: P(x)

İkili ilişki: R(x,y)

Üçlü ilişki: R(x,y,z)

Niceleyici Sırası

Birden fazla niceleyici bulunan ifadelerde sıra anlamı değiştirebilir.

∀x ∃y R(x,y)

ile

∃y ∀x R(x,y)

genellikle denk değildir.

Özdeşlik

x = y → aynı birey.

x ≠ y → farklı birey.

Tümel Özelleştirme

∀x P(x) ifadesinden belirli bir a için P(a) sonucu çıkarılabilir.

Varoluşsal Genelleme

P(a) ifadesinden ∃x P(x) sonucu çıkarılabilir.

Belirli bir birey P ise en az bir P vardır.

Hatalı Varoluşsal Özelleştirme

∃x P(x) ifadesinden keyfî bir a için doğrudan P(a) sonucu çıkarılamaz. Çünkü P olan bireyin a olduğu bilinmez.

Tikelden Tümele Geçiş Hatası

∃x P(x) ifadesinden ∀x P(x) sonucu çıkarılamaz.

Tümel Zincirleme

∀x(P(x) → Q(x))

ve

∀x(Q(x) → R(x))

verildiğinde:

∀x(P(x) → R(x))

sonucu geçerlidir.

Mantıksal Geçerlilik

Bir çıkarım, öncüllerin doğru olduğu her yorumda sonuç da doğruysa geçerlidir.

Karşı Örnek

Bir çıkarımın geçersiz olduğunu göstermek için öncülleri doğru, sonucu yanlış yapan tek bir yorum yeterlidir.

Model

Model, sembollerin hangi birey, özellik ve ilişkilere karşılık geldiğinin belirlendiği yorumdur. Bir formülün doğruluğu bir modele göre değerlendirilebilir.

Sözdizimi ve Anlambilim

Sözdizimi: sembollerin hangi kurallarla bir araya getirileceğini inceler.

Anlambilim: sembollerin neyi gösterdiğini ve ifadelerin hangi koşullarda doğru olduğunu inceler.

İyi Kurulmuş Formül

Sembolik dilin kuruluş kurallarına uygun ifadeye iyi kurulmuş formül denir.

Örnek: ∀x(P(x) → Q(x))

Sembolleştirmede Yaygın Hatalar

Tümel Sınıf İlişkisinde Yanlış Bağlaç

“Bütün S'ler P'dir.” için:

∀x(S(x) → P(x))

yazılır.

∀x(S(x) ∧ P(x)) ifadesi evrendeki her şeyin hem S hem P olduğunu söyler.

Tikel Sınıf İlişkisinde Yanlış Bağlaç

“Bazı S'ler P'dir.” için:

∃x(S(x) ∧ P(x))

yazılır.

∃x(S(x) → P(x)) aynı anlamı vermez.

Önermeler Mantığı ile Niceleme Mantığı Arasındaki Fark

Önermeler mantığı p, q, r gibi bütün önermeleri temel birim alır.

Niceleme/yüklemler mantığı P(x), R(x,y), ∀ ve ∃ ile önermenin iç yapısını da çözümler.

Sembolik Mantığın Önemi

Sembolik mantık:

• belirsizliği azaltır,
• mantıksal yapıyı açıklaştırır,
• çıkarımları denetler,
• karmaşık ifadeleri kısaltır,
• matematik ve bilgisayar bilimleriyle güçlü bağlantı kurar.

Sık Karıştırılan Noktalar

Soru Çözerken Kullanılabilecek Yaklaşım

Sembol Sorusu

belirli birey → sabit herhangi birey → değişken özellik → tekli yüklem iki birey arası ilişki → ikili yüklem

Niceleyici Sorusu

her/bütün → ∀ bazı/en az bir → ∃ her S, P → ∀x(Sx → Px) bazı S, P → ∃x(Sx ∧ Px)

Değilleme Sorusu

¬∀ → ∃¬ ¬∃ → ∀¬

Geçerlilik Sorusu

tümel bilgi + belirli birey → özelleştirme belirli birey bilgisi → varoluşsal genelleme bazıdan bütüne → geçersiz

Konu Özeti

Sembolik mantık, doğal dildeki mantıksal yapıları sembollerle açıklaştırır.

Temel ögeler: sabit, değişken, yüklem, bağlaç ve niceleyici.

Niceleyiciler: ∀ → bütün/her ∃ → bazı/en az bir

Temel sembolleştirmeler: ∀x(Sx → Px) → bütün S'ler P ∃x(Sx ∧ Px) → bazı S'ler P

Niceleyici değillemeleri: ¬∀xP(x) ≡ ∃x¬P(x) ¬∃xP(x) ≡ ∀x¬P(x)