AYT Matematik Diziler Ders Notu

Diziler – Ders Notu

Dizi ve Genel Terim

Dizi, pozitif tam sayılardan tanımlı fonksiyondur.

Örnek: a_n = 3n − 2 → a_5 = 13.

Örnek: a_n = 2n + 5 = 21 → n = 8.

Aritmetik Dizi

a_n = a_1 + (n − 1)d.

S_n = n(a_1 + a_n)/2.

Ortanca: 2b = a + c.

Örnek: 2, 5, 8, ... → a_10 = 29.

Örnek: 5, 8, 11, ... ilk 10 terim toplamı 185.

Örnek: 1 + 2 + ... + 50 = 1275.

Geometrik Dizi

a_n = a_1 · rⁿ⁻¹.

S_n = a_1(rⁿ − 1)/(r − 1).

Ortanca: b² = a · c.

Örnek: 3, 6, 12, ... → a_5 = 48.

Örnek: 3, 6, 12, ... ilk 6 terim toplamı 189.

Sonsuz Geometrik Seri

|r| < 1 iken S = a_1/(1 − r).

Örnek: 8 + 4 + 2 + ... = 16.

Örnek: 1 + 1/3 + 1/9 + ... = 3/2.

Bağıntılı Diziler

Terimleri sırayla hesapla.

Örnek: a_1 = 3, a_(n+1) = a_n + 4 → a_4 = 15.

Örnek: Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13.

S_n ve a_n

a_1 = S_1, a_n = S_n − S_(n − 1).

Örnek: S_n = n² + 2n → a_10 = 21.

Özel Toplamlar

1 + 3 + ... + (2n − 1) = n².

1² + 2² + ... + n² = n(n + 1)(2n + 1)/6.

Örnek: 1² + ... + 5² = 55.

Sabit Aralıklı Toplam

Terim sayısı = (son − ilk)/fark + 1.

Örnek: 1’den 100’e 4’ün katları → 1300.

Örnek: İki basamaklı 6’nın katları → 810.

Geçmiş AYT Soru Kalıpları

• genel terimden terim bulma,
• aritmetik dizi,
• geometrik dizi,
• ardışık üç terim,
• sonsuz geometrik seri,
• S_n ile a_n ilişkisi,
• sabit aralıklı toplam.

Sık Karıştırılanlar

• a_1 + (n − 1)d’de (n − 1).
• Sonsuz seri için |r| < 1.
• a_n = S_n − S_(n − 1), n ≥ 2.
• Terim sayısı hesabında +1.

Kısa Özet

Önce dizinin türünü belirle. İki terimden d veya r’yi bul. Toplam formülünü yaz. Sonsuz seride |r| < 1 şartına bak. a_n = S_n − S_(n − 1).