AYT Matematik Diziler Konu Anlatımı

Diziler

Dizi, tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi (veya onun bir alt kümesi) olan fonksiyondur. Bir dizinin terimleri a_1, a_2, a_3, ... biçiminde sıralanır ve genel terim a_n ile gösterilir. AYT Matematik’te diziler konusu genellikle genel terimden terim bulma, aritmetik dizi, geometrik dizi, toplam formülleri, sonsuz geometrik seri ve terimler arası bağıntı biçiminde karşımıza çıkar.

Bu konunun sonunda bir öğrencinin:

• genel terimi verilen dizinin terimlerini bulabilmesi,
• bir sayının dizinin kaçıncı terimi olduğunu belirleyebilmesi,
• aritmetik dizinin genel terimini ve toplam formülünü kullanabilmesi,
• geometrik dizinin genel terimini ve toplam formülünü kullanabilmesi,
• ardışık üç terim problemlerini çözebilmesi,
• aritmetik ve geometrik ortalamayı kullanabilmesi,
• sonsuz geometrik serinin toplamını hesaplayabilmesi,
• terimler arası bağıntıyla verilen dizileri çözebilmesi,
• S_n ile a_n arasındaki ilişkiyi kurabilmesi,
• sabit aralıklı sayıların toplamı sorularını çözebilmesi

gerekir.

Dizi ve Genel Terim

Genel terimi a_n olan dizide n yerine 1, 2, 3, ... yazılarak terimler bulunur.

Aritmetik Dizi

Ardışık iki terimi arasındaki fark sabit olan diziye aritmetik dizi, bu farka ortak fark (d) denir.

• Genel terim: a_n = a_1 + (n − 1) · d
• a_p = a_q + (p − q) · d
• Ardışık üç terim: b = (a + c)/2 (ortanca terim, aritmetik ortalama)
• a_m + a_n = a_p + a_q (m + n = p + q ise)
• İlk n terimin toplamı: S_n = n · (a_1 + a_n)/2 = n · (2a_1 + (n − 1)d)/2

Geometrik Dizi

Ardışık iki terimin oranı sabit olan diziye geometrik dizi, bu orana ortak çarpan (r) denir.

• Genel terim: a_n = a_1 · rⁿ⁻¹
• a_p = a_q · r^(p − q)
• Ardışık üç terim: b² = a · c (b ortanca terim)
• İlk n terimin toplamı: S_n = a_1 · (rⁿ − 1)/(r − 1) (r ≠ 1)

Sonsuz Geometrik Seri

|r| < 1 olduğunda sonsuz geometrik serinin toplamı:

a_1 + a_2 + a_3 + ... = a_1 / (1 − r)

Terimler Arası Bağıntı

Bir dizi, ilk terim ve a_(n+1) ile a_n arasındaki bağıntıyla verilebilir. Terimler sırayla hesaplanır.

S_n ile a_n Arasındaki İlişki

• a_1 = S_1
• n ≥ 2 için a_n = S_n − S_(n − 1)

Toplam Sembolü ve Özel Toplamlar

• 1 + 2 + ... + n = n(n + 1)/2
• 1 + 3 + 5 + ... + (2n − 1) = n²
• 1² + 2² + ... + n² = n(n + 1)(2n + 1)/6

Sabit Aralıklı Sayıların Toplamı

Belirli bir sayıya bölünebilen sayılar aritmetik dizi oluşturur. İlk terim, son terim ve terim sayısı bulunur.

Zor Problemler (Adım Adım)

Geçmiş AYT’lerde Görülen Soru Kalıpları

Aşağıdaki örnekler AYT tarzı örneklerdir. Her kalıp için önce tanıma ipucu, sonra çözümlü örnek verilmiştir.

Sınavda En Önemli Bağlantılar

Sık Karıştırılan Noktalar

Soru Çözerken Kullanılabilecek Yaklaşım

Genel Terim Sorusu

n yerine istenen değeri yaz. Terimin sırası sorulursa a_n’yi sayıya eşitle.

Aritmetik / Geometrik Dizi Sorusu

İki terim bilgisinden d veya r’yi bul. Sonra istenen terim veya toplamı yaz.

Ardışık Üç Terim Sorusu

Aritmetikse 2b = a + c, geometrikse b² = a · c yaz.

Sonsuz Seri Sorusu

|r| < 1 olduğunu kontrol et. S = a_1/(1 − r) kullan.

Toplam Formülü Sorusu

a_n = S_n − S_(n − 1) ile terim bul.

Konu Özeti

Aritmetik dizi: a_n = a_1 + (n − 1)d, S_n = n(a_1 + a_n)/2.

Geometrik dizi: a_n = a_1 · rⁿ⁻¹, S_n = a_1(rⁿ − 1)/(r − 1).

Sonsuz seri: S = a_1/(1 − r), |r| < 1.

Ortanca: aritmetik 2b = a + c, geometrik b² = a · c.

Toplam ve terim: a_n = S_n − S_(n − 1).