AYT Matematik Fonksiyonlar Ders Notu

Fonksiyonlar – Ders Notu

Fonksiyon

f: A → B, A’nın her elemanından yalnız bir ok çıkar.

Tanım kümesi A, değer kümesi B, görüntü kümesi f(A) ⊂ B.

Grafikte düşey doğru testi: düşey doğru en fazla bir noktada keser.

Fonksiyon Sayısı

s(A) = m, s(B) = n.

Fonksiyon sayısı nᵐ.

Sabit fonksiyon sayısı n.

Birebir fonksiyon sayısı n! / (n − m)!.

Örnek: s(A) = 3, s(B) = 5 → 125 fonksiyon, 5 sabit, 60 birebir.

Fonksiyon Türleri

Birebir: f(a) = f(b) ise a = b. Yatay doğru en fazla bir noktada keser.

Örten: f(A) = B.

İçine: örten olmayan.

Sabit: f(x) = c.

Birim: f(x) = x.

Doğrusal: f(x) = ax + b, a ≠ 0, R’den R’ye birebir ve örten.

Örnek: f(x) = x², R’den R’ye birebir ve örten değildir.

Değer Hesaplama

f(ax + b) = ... verildiğinde parantez içini t yap, x’i t cinsinden yaz.

Örnek: f(3x + 1) = 6x + 5 → f(x) = 2x + 3.

Tek değer: f(x + 4) = 2x − 1 → f(10): x = 6 → 11.

Tanım Kümesi

Payda ≠ 0.

Çift kökün içi ≥ 0 (paydadaysa > 0).

Tek kökün içi her reel sayı olabilir.

Örnek: √(x − 2) / (x − 5) → x ≥ 2 ve x ≠ 5.

İşlemler

(f ± g)(x) = f(x) ± g(x)

(f · g)(x) = f(x) · g(x)

(f / g)(x) = f(x) / g(x), g(x) ≠ 0

Tanım kümesi iki fonksiyonun tanım kümelerinin kesişimidir.

Bileşke

(f ∘ g)(x) = f(g(x)): önce g, sonra f.

f ∘ g ≠ g ∘ f (genellikle). (f ∘ g) ∘ h = f ∘ (g ∘ h). f ∘ I = f.

Örnek: f(x) = 2x + 1, g(x) = x² → f ∘ g = 2x² + 1, g ∘ f = 4x² + 4x + 1.

Bilinmeyen g: f(g(x)) = ... denklemini g için çöz.

Bilinmeyen f: iç ifadeye t de, x’i t cinsinden yaz.

Ters Fonksiyon

Yalnız birebir ve örten fonksiyonun tersi vardır.

f(a) = b ⇔ f⁻¹(b) = a.

f(x) = ax + b → f⁻¹(x) = (x − b) / a.

f(x) = (ax + b) / (cx + d) → f⁻¹(x) = (−dx + b) / (cx − a).

(f ∘ f⁻¹)(x) = x. (f⁻¹)⁻¹ = f. (f ∘ g)⁻¹ = g⁻¹ ∘ f⁻¹.

f ve f⁻¹ grafikleri y = x doğrusuna göre simetrik.

Örnek: f(x) = x³ + 4 → f⁻¹(31): a³ + 4 = 31 → a = 3.

Tek ve Çift

Çift: f(−x) = f(x), y eksenine simetri.

Tek: f(−x) = −f(x), orijine simetri.

Polinomda: çift fonksiyonda yalnız çift dereceli terimler, tek fonksiyonda yalnız tek dereceli terimler.

çift · çift = çift, tek · tek = çift, tek · çift = tek.

Tek fonksiyonda f(0) = 0.

Örnek: f(x) = (a − 3)x³ + x² − 5 çift ise a = 3.

Grafik Dönüşümleri

f(x) + a: yukarı. f(x) − a: aşağı.

f(x − a): sağa. f(x + a): sola.

−f(x): x eksenine göre simetri. f(−x): y eksenine göre simetri.

|f(x)|: x ekseninin altındaki kısım yukarı katlanır.

f(|x|): x ≥ 0 kısmı y eksenine göre yansıtılır.

Örnek: (2, 5) ∈ f ise f(x − 3) + 1 grafiği (5, 6)’dan geçer.

Mutlak Değer ve Parçalı Fonksiyon

|x − a| = k (k > 0) → x = a ± k.

Parçalı fonksiyonda önce aralığı belirle.

Örnek: |x − 3| = 5 → x = 8 veya x = −2, toplam 6.

Artan – Azalan

Artan ∘ artan = artan. Azalan ∘ azalan = artan. Artan ∘ azalan = azalan.

Monoton fonksiyon birebirdir.

ax + b: a > 0 artan, a < 0 azalan.

Fonksiyonel Denklem

f(x) + 2f(1 − x) = 3x → x yerine 1 − x yazıp sistem çöz → f(x) = 2 − 3x.

f(f(x)) = 4x + 9, f(x) = ax + b: a² = 4, ab + b = 9.

f(x + y) = f(x) + f(y) → f(0) = 0.

Geçmiş AYT Soru Kalıpları

• değişken değiştirme,
• tanım kümesi,
• fonksiyon sayısı,
• bileşke fonksiyon,
• ters fonksiyon,
• tek-çift fonksiyon,
• grafik dönüşümleri,
• parçalı ve mutlak değer,
• fonksiyonel denklem.

Sık Karıştırılanlar

• f(g(x)) önce g uygulanır.
• Ters fonksiyon birebir ve örten ister.
• f⁻¹(x) ≠ 1 / f(x).
• f(x − 3) sağa kayar.
• (f ∘ g)⁻¹ = g⁻¹ ∘ f⁻¹.
• Sabit terimli doğrusal fonksiyon tek değildir.

Kısa Özet

Önce parantez içini t yap ve x’i bul. Bileşkede içten dışa git. Ters fonksiyon değerini f(a) = k ile çöz. Tek-çift sorusunda hangi derecelerin sıfır olacağını belirle. Grafikte parantez içi yönü ters, parantez dışı yönü doğrudur.