Fonksiyon kavramı, fonksiyon sayısı, bileşke, ters fonksiyon, tek-çift fonksiyon, grafik dönüşümleri ve çözümlü AYT soru kalıplarıyla kapsamlı anlatım.
Fonksiyonlar
Fonksiyonlar, AYT Matematik’in omurgasını oluşturan konudur. Polinomlar, trigonometri, logaritma, türev ve integral gibi sonraki bütün konular fonksiyon dili üzerine kuruludur. Bir fonksiyonun ne olduğunu, değerinin nasıl hesaplanacağını, iki fonksiyonun nasıl birleştirileceğini (bileşke), nasıl geri alınacağını (ters fonksiyon) ve grafiğinin nasıl değiştiğini bilmek bu yüzden hem bu konunun hem de sonraki konuların temelidir. AYT’de bu konu tek başına 1-3 soru getirir; ayrıca diğer konularda da fonksiyon bilgisi kullanılır.
Bu konunun sonunda bir öğrencinin:
fonksiyonu tanımlayıp bir bağıntının fonksiyon olup olmadığını söyleyebilmesi,
tanım, değer ve görüntü kümesini ayırt edebilmesi,
birebir, örten, içine, sabit ve birim fonksiyonları ayırt edebilmesi,
fonksiyonun en geniş tanım kümesini bulabilmesi,
bileşke fonksiyonu hesaplayıp bilinmeyen fonksiyonu bulabilmesi,
ters fonksiyonu bulup özelliklerini kullanabilmesi,
tek ve çift fonksiyonları tanıyıp katsayı problemlerini çözebilmesi,
grafik dönüşümlerini (öteleme, simetri, mutlak değer) yorumlayabilmesi,
parçalı ve mutlak değerli fonksiyonlarla işlem yapabilmesi,
fonksiyonel denklemleri çözebilmesi
gerekir.
Fonksiyon Kavramı
A ve B boş olmayan iki küme olsun. A kümesinin her elemanını B kümesinin yalnız bir elemanıyla eşleyen kurala A’dan B’ye fonksiyon denir ve f: A → B şeklinde gösterilir.
A kümesine tanım kümesi,
B kümesine değer (karşı) kümesi,
f(x) değerlerinin oluşturduğu f(A) kümesine görüntü kümesi denir.
Her zaman f(A) ⊂ B olur. Görüntü kümesi değer kümesinin tamamı olmak zorunda değildir.
Fonksiyon olma şartı:
A’da eşlenmemiş eleman kalmamalı,
A’nın bir elemanından birden fazla ok çıkmamalı.
B’de karşılığı olmayan eleman kalması fonksiyonu bozmaz.
Grafikte düşey doğru testi: Her düşey doğru grafiği en fazla bir noktada kesiyorsa grafik bir fonksiyondur.
Fonksiyon Sayısı
s(A) = m ve s(B) = n olsun.
A’dan B’ye tanımlı fonksiyon sayısı: nᵐ
Sabit fonksiyon sayısı: n
Birebir fonksiyon sayısı (m ≤ n): n · (n − 1) · ... · (n − m + 1), yani n! / (n − m)!
m = n ise birebir ve örten fonksiyon sayısı: n!
Fonksiyon Türleri
Birebir Fonksiyon
Tanım kümesindeki farklı elemanların görüntüleri farklıysa fonksiyon birebirdir.
f(a) = f(b) ise a = b olmalıdır.
Grafikte yatay doğru testi: Her yatay doğru grafiği en fazla bir noktada kesiyorsa fonksiyon birebirdir.
Örten Fonksiyon
Görüntü kümesi değer kümesine eşitse (f(A) = B) fonksiyon örtendir. Değer kümesinde karşılığı olmayan eleman kalmaz.
İçine Fonksiyon
Örten olmayan fonksiyona içine fonksiyon denir; yani f(A) ≠ B.
Birebir ve Örten Fonksiyon
Hem birebir hem örten olan fonksiyona eşleme (bijeksiyon) denir. Ters fonksiyonu yalnız bu fonksiyonlar için vardır.
Sabit Fonksiyon
Tanım kümesindeki her eleman aynı değere gidiyorsa f(x) = c şeklindedir. Birebir değildir (tanım kümesinde en az iki eleman varsa).
Birim (Özdeşlik) Fonksiyon
f(x) = x fonksiyonudur. Birebir ve örtendir. Birim fonksiyon genellikle I(x) ile gösterilir.
Doğrusal Fonksiyon
f(x) = ax + b (a ≠ 0), R’den R’ye birebir ve örtendir.
Fonksiyon Değeri Hesaplama
Bir fonksiyonda x yerine yazılan her ifade aynen yerleştirilir.
f(ax + b) Verilip f(x)’in Bulunması
Parantez içindeki ifadeye t denir, x yalnız bırakılır ve eşitlikte yerine yazılır.
Tanım Kümesi
Bir ifadenin en geniş tanım kümesi, ifadenin tanımlı olduğu en geniş reel sayı kümesidir.
Kesirde payda sıfır olamaz.
Çift dereceli kökün (karekök, dördüncü kök) içi negatif olamaz.
Tek dereceli kökün (küp kök) içi her reel sayı olabilir.
Kökün paydada olduğu durumda kök içi sıfırdan büyük olmalıdır.
Fonksiyonlarda İşlemler
f ve g fonksiyonları için:
(f + g)(x) = f(x) + g(x)
(f − g)(x) = f(x) − g(x)
(f · g)(x) = f(x) · g(x)
(f / g)(x) = f(x) / g(x), g(x) ≠ 0
Toplam, fark ve çarpımın tanım kümesi iki fonksiyonun tanım kümelerinin kesişimidir. Bölümde ayrıca g(x) = 0 olan değerler çıkarılır.
Bileşke Fonksiyon
f ve g fonksiyonlarının bileşkesi (f ∘ g)(x) = f(g(x)) olarak tanımlanır. Önce g uygulanır, sonra f uygulanır (içten dışa).
Özellikler:
Genellikle f ∘ g ≠ g ∘ f (değişme özelliği yoktur).
(f ∘ g) ∘ h = f ∘ (g ∘ h) (birleşme özelliği vardır).
f ∘ I = I ∘ f = f (birim fonksiyon etkisiz elemandır).
Bileşkede Bilinmeyen Fonksiyonu Bulma
Ters Fonksiyon
f: A → B fonksiyonunun ters fonksiyonu yalnız f birebir ve örtense vardır. f⁻¹: B → A olarak gösterilir.
f(a) = b ⇔ f⁻¹(b) = a
Özellikler:
(f ∘ f⁻¹)(x) = (f⁻¹ ∘ f)(x) = x
(f⁻¹)⁻¹ = f
(f ∘ g)⁻¹ = g⁻¹ ∘ f⁻¹ (sıra tersine döner)
f ve f⁻¹ grafikleri y = x doğrusuna göre simetriktir.
f⁻¹’in tanım kümesi f’nin görüntü kümesidir.
Ters fonksiyonu bulma: y = f(x) yazılır, x yalnız bırakılır, sonra x ile y’nin yerleri değiştirilir.
Kısa formüller:
f(x) = ax + b ise f⁻¹(x) = (x − b) / a
f(x) = (ax + b) / (cx + d) ise f⁻¹(x) = (−dx + b) / (cx − a)
Tek ve Çift Fonksiyonlar
f(−x) = f(x) ise f çift fonksiyondur; grafiği y eksenine göre simetriktir.
f(−x) = −f(x) ise f tek fonksiyondur; grafiği orijine göre simetriktir.
Polinom fonksiyonlarda:
Yalnız çift dereceli terimler (ve sabit) varsa fonksiyon çifttir.
Yalnız tek dereceli terimler varsa fonksiyon tektir (sabit terim yoktur).
İşlem kuralları:
çift ± çift = çift
tek ± tek = tek
çift · çift = çift
tek · tek = çift
tek · çift = tek
Tek fonksiyonda f(0) tanımlıysa f(0) = 0’dır.
Grafik Dönüşümleri
y = f(x) grafiği verilsin. a > 0 için:
y = f(x) + a: grafik a birim yukarı kayar.
y = f(x) − a: grafik a birim aşağı kayar.
y = f(x − a): grafik a birim sağa kayar.
y = f(x + a): grafik a birim sola kayar.
y = −f(x): grafik x eksenine göre simetrik olur.
y = f(−x): grafik y eksenine göre simetrik olur.
y = |f(x)|: x ekseninin altında kalan kısım x eksenine göre yukarı katlanır.
y = f(|x|): x ≥ 0 kısmı korunur, y eksenine göre simetriği alınır.
Noktaların dönüşümü: (p, q) noktası y = f(x) grafiğinde ise y = f(x − h) + k grafiğinde (p + h, q + k) noktasına gider.
Mutlak Değer ve Parçalı Fonksiyonlar
Mutlak değer fonksiyonu:
|x| = x (x ≥ 0 için), |x| = −x (x < 0 için)
f(x) = |x − a| grafiği x = a noktasında köşe yapar. |x − a| = k (k > 0) denkleminin çözümleri x = a + k ve x = a − k’dır.
Parçalı fonksiyon, tanım kümesinin farklı aralıklarında farklı kurallarla tanımlanır.
Artan ve Azalan Fonksiyonlar
x₁ < x₂ iken f(x₁) < f(x₂) ise f artandır.
x₁ < x₂ iken f(x₁) > f(x₂) ise f azalandır.
Artan veya azalan (monoton) fonksiyon birebirdir.
f(x) = ax + b için a > 0 ise artan, a < 0 ise azalandır.
Bileşkede:
artan ∘ artan = artan
azalan ∘ azalan = artan
artan ∘ azalan = azalan
Fonksiyonel Denklemler ve Özel Teknikler
f(x) ve f(a − x) Birlikte Verilirse
x yerine a − x yazılarak ikinci bir denklem elde edilir; iki bilinmeyenli sistem çözülür.
Doğrusal Fonksiyonda a ve b’yi Bulma
Toplam Özelliği
f(x + y) = f(x) + f(y) ise x = y = 0 yazılırsa f(0) = 2f(0) → f(0) = 0 bulunur.
Zor Problemler (Adım Adım)
Geçmiş AYT’lerde Görülen Soru Kalıpları
Aşağıdaki örnekler AYT tarzı örneklerdir. Her kalıp için önce tanıma ipucu, sonra çözümlü örnek verilmiştir.
Sınavda En Önemli Bağlantılar
Sık Karıştırılan Noktalar
Soru Çözerken Kullanılabilecek Yaklaşım
Değer ve Kural Sorusu
Parantez içini istenen değere eşitle; x’i bul; yerine yaz.
Kuralın tamamı isteniyorsa t değişkeni kullan.
Bileşke Sorusu
İçten dışa uygula.
Bilinmeyen iç fonksiyon: f(g(x)) = ... denklemini g(x) için çöz.
Bilinmeyen dış fonksiyon: iç ifadeye t de, x’i t cinsinden yaz.
Ters Fonksiyon Sorusu
Değer isteniyorsa f(a) = k denklemini çöz.
Kural isteniyorsa y = f(x), x’i yalnız bırak, x ve y’yi değiştir.
Bileşkenin tersi için sırayı çevir.
Tek – Çift Sorusu
Tek ise: çift dereceli terim ve sabit sıfır.
Çift ise: tek dereceli terim sıfır.
Grafik Sorusu
Nokta (p, q) ise f(x − h) + k için (p + h, q + k).
Simetri: f(−x) y eksenine, −f(x) x eksenine göre.
Fonksiyonel Denklem Sorusu
x yerine a − x yazarak ikinci denklemi çıkar.
Doğrusal fonksiyonda f(x) = ax + b alıp katsayıları eşitle.
Konu Özeti
Fonksiyon: tanım kümesindeki her elemandan tek ok çıkar.