AYT Matematik İkinci Dereceden Denklemler Ders Notu

İkinci Dereceden Denklemler – Ders Notu

Denklem

ax² + bx + c = 0, a ≠ 0.

Kök: denklemi sağlayan x değeri.

En fazla iki kök vardır.

Çözüm Yöntemleri

Çarpanlara ayırma: x² + (p + q)x + pq = (x + p)(x + q).

Ortak çarpan: ax² + bx = x(ax + b).

Tam kare: (x + p)² = k.

Kök formülü: x₁,₂ = (−b ± √Δ) / (2a).

Örnek: x² − 5x + 6 = 0 → {2, 3}.

Örnek: 2x² − 8x = 0 → {0, 4}.

Diskriminant

Δ = b² − 4ac.

Δ > 0 → iki farklı reel kök.

Δ = 0 → çakışık kök.

Δ < 0 → reel kök yok.

Örnek: x² + 4x + 5 = 0 → Δ = −4, reel kök yok.

Örnek: x² − 4x + k = 0 çakışık → k = 4.

Kök – Katsayı Bağıntıları

x₁ + x₂ = −b / a

x₁ · x₂ = c / a

|x₁ − x₂| = √Δ / |a|

Örnek: 3x² − 12x + 9 = 0 → toplam 4, çarpım 3.

Kökler Cinsinden İfadeler

S = x₁ + x₂, P = x₁x₂.

x₁² + x₂² = S² − 2P

x₁³ + x₂³ = S³ − 3PS

1/x₁ + 1/x₂ = S / P

(x₁ − x₂)² = S² − 4P

Örnek: x² − 6x + 7 = 0 → x₁² + x₂² = 22, x₁³ + x₂³ = 90.

Denklem Kurma

Kökleri x₁, x₂ olan denklem: x² − Sx + P = 0.

Örnek: kökler 2 ve 5 → x² − 7x + 10 = 0.

Örnek: kökler 1 ± √2 → x² − 2x − 1 = 0.

Kökler a², b² ise toplam a² + b² = S² − 2P, çarpım P².

Kökler 1/a, 1/b ise toplam S/P, çarpım 1/P.

Kök Koşulları

Zıt işaretli kök: P < 0.

Aynı işaretli kök: Δ ≥ 0 ve P > 0.

İki kök pozitif: Δ ≥ 0, S > 0, P > 0.

İki kök negatif: Δ ≥ 0, S < 0, P > 0.

Kökler toplama göre ters: b = 0.

Kökler çarpmaya göre ters: c = a.

Köklerden biri 0: c = 0.

Ortak Kök

Bir denklemin kökünü diğerinde yerine yaz.

Örnek: x² − 5x + 6 = 0 ve x² − 2x + k = 0 → k = 0 veya k = −3.

Dönüşebilen Denklemler

x⁴ ve x² varsa x² = t.

Aynı ifade tekrar ediyorsa o ifade t.

Kareköklü denklemde kare al, kökleri kontrol et.

Mutlak değerli denklemde |x| = t, t ≥ 0.

Örnek: x⁴ − 10x² + 9 = 0 → x = ±1, ±3.

Örnek: √(x + 6) = x → x = 3.

Parabol Bağlantısı

y = ax² + bx + c ile x ekseni kesişimi denklemin kökleridir.

Δ > 0 iki nokta, Δ = 0 teğet, Δ < 0 kesişim yok.

Parabol ve doğru: eşitle, Δ’ya bak.

Geçmiş AYT Soru Kalıpları

• diskriminant ve kök sayısı,
• kökler toplamı, çarpımı, kökler cinsinden ifadeler,
• kökler arasındaki ilişki,
• yeni denklem kurma,
• aynı veya zıt işaretli kökler,
• ortak kök,
• x² = t dönüşümü ve kareköklü denklemler,
• parabol ve doğru ilişkisi.

Sık Karıştırılanlar

• Kökler toplamı −b/a, işaret.
• Çarpım c/a, a = 1 değilse bölme.
• Δ = 0 çakışık kök.
• a ≠ 0 koşulu.
• x’e bölünce 0 kökü kaybolur.
• Karekökte yabancı kök.

Kısa Özet

Önce a, b, c yaz. Kök isteniyorsa çarpanlara ayır ya da formülü kullan. Toplam, çarpım, ifade ve parametre isteniyorsa S, P ve Δ ile çalış. Karekök ve dönüşüm sorularında sonuçları kontrol et.