AYT Matematik İntegral Ders Notu

İntegral – Ders Notu

Belirsiz İntegral

Türevin ters işlemidir: ∫ f(x) dx = F(x) + c.

∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + c, ∫ 1/x dx = ln|x| + c, ∫ eˣ dx = eˣ + c.

Örnek: f'(x) = 2x + 1, f(0) = 3 ise f(2) = 9.

Belirli İntegral

∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a).

Örnek: ∫₀² x dx = 2.

Örnek: ∫₁² 3x² dx = 7.

Örnek: ∫₀^π sin x dx = 2.

Özellikler

Aralık birleştirme: ∫ₐᵇ + ∫ᵇᶜ = ∫ₐᶜ.

Doğrusallık: ∫ (2f + 1) = 2 ∫ f + (b − a).

Örnek: ∫₀² f = 5 ve ∫₂⁵ f = 3 ise ∫₀⁵ f = 8.

Değişken Değiştirme

İç fonksiyonu u al; sınırları da değiştir.

Örnek: ∫₀² 2x(x² + 1)³ dx = 156.

Örnek: ∫₀^(π/2) sin x cos x dx = 1/2.

Kısmi İntegral

∫ u dv = u v − ∫ v du.

Örnek: ∫₀¹ x eˣ dx = 1.

Örnek: ∫₀^π x sin x dx = π.

Mutlak Değer ve Parçalı

İşaret değişiminde aralığı böl.

Örnek: ∫₀² |x − 1| dx = 1.

Örnek: ∫₀² |x² − 1| dx = 2.

Çift ve Tek Fonksiyon

Tek fonksiyon simetrik aralıkta 0; çift fonksiyonda 2 · ∫₀ᵃ.

Örnek: ∫₋₁¹ x³ dx = 0; ∫₋₁¹ x² dx = 2/3.

İntegralin Türevi

d/dx ∫ₐˣ f(t) dt = f(x).

Örnek: F(x) = ∫₀ˣ t² dt ise F'(3) = 9.

Örnek: G(x) = ∫₁^(x²) (t + 1) dt ise G'(2) = 20.

Alan

Eğri–eksen: ∫ |f|. İki eğri: üstteki − alttaki.

Örnek: y = x² ile x ekseni, 0 ≤ x ≤ 3: 9.

Örnek: y = x² ile y = x arası: 1/6.

Örnek: y = x² ile y = 4 arası: 32/3.

Geçmiş AYT Soru Kalıpları

• temel formülle belirli integral,
• integral özellikleri,
• değişken değiştirme,
• integral ve türev ilişkisi,
• alan hesabı,
• simetri.

Sık Karıştırılanlar

• Belirsiz integralde c unutulmaz.
• Değişken değiştirmede sınırlar değişir.
• Mutlak değerde aralık bölünür.
• Alan negatif olamaz.

Kısa Özet

Antitürevi bul, sınırları yerine yaz. Yöntem gerekiyorsa değişken değiştirme veya kısmi integral kullan. Alanda işaret değişimini ayır.