C(n, r), özellikler, Pascal özdeşliği, komite seçimi, en az ve en çok koşulları, gruplara ayırma, alt küme ve geometrik sayma ile çözümlü AYT tarzı sorular.
Kombinasyon
Kombinasyon, bir kümeden sıra gözetmeksizin eleman seçme işlemidir. Permütasyonda “kimin nereye geldiği” önemliyken kombinasyonda yalnız “kimlerin seçildiği” önemlidir. AYT Matematik’te kombinasyon soruları genellikle komite ve takım seçimi, “en az / en çok” koşulları, gruplara ayırma, alt küme sayısı ve geometrik sayma (doğru, üçgen, köşegen) biçiminde karşımıza çıkar. Bu konu aynı zamanda olasılık ve binom konularının temelidir.
Bu konunun sonunda bir öğrencinin:
sıranın önemli olup olmadığına bakarak permütasyon ile kombinasyonu ayırt edebilmesi,
C(n, r) değerini hesaplayabilmesi ve özelliklerini kullanabilmesi,
Pascal özdeşliğini uygulayabilmesi,
kombinasyon denklemlerini çözebilmesi,
belirli kişinin bulunduğu veya bulunmadığı seçimleri sayabilmesi,
“en az” ve “en çok” koşullarını doğrudan veya tümleyenle çözebilmesi,
gruplara ayırma sorularında isimli ve isimsiz grup farkını yapabilmesi,
alt küme sayısı sorularını çözebilmesi,
nokta, doğru, üçgen, köşegen ve paralelkenar sayma sorularını çözebilmesi,
seçip sıralama sorularını C(n, r) · r! ile kurabilmesi
gerekir.
Kombinasyon Nedir?
n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt kümelerinin sayısına n’in r’li kombinasyonu denir:
C(n, r) = n! / (r! · (n − r)!) (0 ≤ r ≤ n)
Permütasyonla ilişkisi: P(n, r) = C(n, r) · r!. Yani önce r eleman seçilir, sonra bu r eleman kendi aralarında sıralanır.
Kombinasyonun Özellikleri
C(n, 0) = C(n, n) = 1
C(n, 1) = n
C(n, r) = C(n, n − r)
C(n, r) + C(n, r + 1) = C(n + 1, r + 1) (Pascal özdeşliği)
C(n, r) = C(n, k) ise r = k veya r + k = n
C(n, 0) + C(n, 1) + ... + C(n, n) = 2ⁿ
Seçim Soruları
Temel Seçim
Belirli Kişi Komitede Olsun
Belirli kişi komitede olacaksa o kişi önceden seçilmiş sayılır, kalan yerler kalan kişilerden doldurulur.
Belirli Kişi Komitede Olmasın
İki Kişiden Yalnız Biri
Farklı Gruplardan Seçim
Her gruptan seçim ardışık olduğundan sonuçlar çarpılır.
En Az ve En Çok Koşulları
“En az” koşulu iki yolla çözülür:
durumları tek tek ayırıp toplamak,
tümleyen almak: toplam − istenmeyen durum.
Gruplara Ayırma
Farklı Büyüklükte Gruplar
Grupların büyüklükleri farklıysa gruplar kendiliğinden ayırt edilir. Sırayla seçilir.
Eşit Büyüklükte Gruplar
Eşit büyüklükte ve isimsiz gruplarda, grupların kendi aralarındaki sıralama sayısı kadar bölünür.
Gruplar isimli veya ayırt edilebiliyorsa bölme yapılmaz.
Gruplar isimsizse k grup için k! ile bölünür.
Alt Küme Sayısı
n elemanlı bir kümenin:
alt küme sayısı 2ⁿ,
r elemanlı alt küme sayısı C(n, r),
öz alt küme sayısı 2ⁿ − 1,
belirli bir elemanı içeren alt küme sayısı 2ⁿ⁻¹,
belirli bir elemanı içermeyen alt küme sayısı 2ⁿ⁻¹
olur.
Geometrik Sayma
Doğru ve Üçgen Sayısı
Düzlemde hiçbir üçü doğrusal olmayan n noktadan:
geçen doğru sayısı C(n, 2),
köşeleri bu noktalar olan üçgen sayısı C(n, 3)
tür. Doğrusal noktalar varsa bu noktalardan oluşan doğru veya üçgenler çıkarılır.
Köşegen Sayısı
Konveks n kenarlı çokgenin köşegen sayısı C(n, 2) − n = n(n − 3)/2’dir.
Paralelkenar Sayısı
Birbirine paralel m doğru ile başka bir doğrultuda birbirine paralel k doğru kesiştiğinde oluşan paralelkenar sayısı C(m, 2) · C(k, 2)’dir.
Zor Problemler (Adım Adım)
Geçmiş AYT’lerde Görülen Soru Kalıpları
Aşağıdaki örnekler AYT tarzı örneklerdir. Her kalıp için önce tanıma ipucu, sonra çözümlü örnek verilmiştir.
Sınavda En Önemli Bağlantılar
Sık Karıştırılan Noktalar
Soru Çözerken Kullanılabilecek Yaklaşım
Seçim Sorusu
Kaç kişi seçilecek, hangi gruptan seçilecek? Her grup için C yaz, ardışık seçimleri çarp.
En Az / En Çok Sorusu
Durum sayısı azsa tek tek topla. Çoksa toplam − istenmeyen durum.
Gruplara Ayırma Sorusu
Grup büyüklükleri eşit mi, gruplar isimli mi? Eşit ve isimsizse grup sayısının faktöriyeline böl.
Geometri Sorusu
Noktaların doğrusal olup olmadığına bak. Doğrusal olanları toplamdan çıkar.
Denklem Sorusu
C(n, r) = C(n, k) ise r = k veya r + k = n. Diğer durumlarda ifadeleri açıp sadeleştir.
Konu Özeti
Kombinasyon: C(n, r) = n!/(r!(n − r)!).
Özellik: C(n, r) = C(n, n − r), Pascal: C(n, r) + C(n, r + 1) = C(n + 1, r + 1).
Seçim: belirli kişi var → C(n − 1, r − 1), yok → C(n − 1, r).
En az: tümleyen kullan.
Gruplama: isimsiz eşit gruplarda grup sayısının faktöriyeline böl.