AYT Matematik Limit ve Süreklilik Ders Notu

Limit ve Süreklilik – Ders Notu

Limit Kavramı

Limit, x bir noktaya yaklaşırken f(x)’in yaklaştığı değerdir.

Limitin var olması için soldan ve sağdan limit eşit olmalıdır.

Örnek: f(x) = x + 2 (x < 1), 3x − 1 (x ≥ 1) için soldan limit 3, sağdan limit 2’dir; limit yoktur.

Limit Kuralları

Toplam, fark, çarpım ve bölümün limiti limitlerden hesaplanır. Bölümde payda limiti sıfır olmamalıdır.

Örnek: x → 2 iken x³ − x → 6.

0/0 Belirsizliği

Çarpanlara ayır ve sadeleştir.

Örnek: (x² − 4)/(x − 2) → 4.

Örnek: (x² − 5x + 6)/(x² − 9) → 1/6.

Kök varsa eşlenikle çarp.

Örnek: (√x − 2)/(x − 4) → 1/4.

Sonsuzda Limit

Derece küçükse 0, eşitse baş katsayıların oranı.

Örnek: (3x + 1)/(x − 2) → 3.

Örnek: (2x³ + x)/(5x³ − 1) → 2/5.

∞ − ∞

Eşlenikle çarpıp böl.

Örnek: √(x² + 4x) − x → 2.

Mutlak ve Tam Değer

İşareti yaklaşılan yöne göre belirle.

Örnek: |x − 2|/(x − 2) için sağdan 1, soldan −1.

Örnek: x → 3 iken ⌊x⌋ için soldan 2, sağdan 3.

Trigonometrik Limit

sin x / x → 1 ve tan x / x → 1.

Örnek: sin 3x / x → 3.

Örnek: (1 − cos 2x)/x² → 2.

Asimptotlar

Yatay asimptot: sonsuzda limit. Düşey asimptot: sadeleşmeyen payda kökü.

Örnek: (2x + 1)/(x − 3) için y = 2 ve x = 3.

Süreklilik

Limit = f(a) olmalıdır.

Örnek: f(x) = 3x − 1 (x ≠ 2), f(2) = a → a = 5.

Örnek: x² + a (x < 2), 3x − 1 (x ≥ 2) → a = 1.

Geçmiş AYT Soru Kalıpları

• çarpanlara ayırma ile limit,
• sonsuzda limit,
• sağdan ve soldan limit,
• trigonometrik limit,
• parametreli süreklilik,
• asimptot.

Sık Karıştırılanlar

• Limit ile fonksiyon değerini karıştırma.
• 0/0 sonucu belirsizliktir, yok demek değildir.
• Sağdan ve soldan limit farklıysa limit yoktur.
• Sadeleşen çarpan düşey asimptot vermez.

Kısa Özet

Önce sayıyı yaz. Belirsizlikte çarpan, eşlenik veya derece yöntemini kullan. Süreklilikte soldan limit, sağdan limit ve fonksiyon değerini eşitle.