Pozitif Tam Sayıların Çarpanları ve Asal Çarpanları Konu Anlatımı

Pozitif Tam Sayıların Çarpanları ve Asal Çarpanları

Bu Konuda Neler Öğreneceğiz?

• Bir pozitif tam sayının bütün pozitif çarpanlarını eksiksiz bulacağız.
• Asal sayılarla asal olmayan sayıları ayırt edeceğiz.
• Bir sayıyı asal çarpanlarına ayırıp üslü gösterimle yazacağız.
• Çarpan bilgilerini sayı, tablo, bölünebilme ve günlük yaşam problemlerinde kullanacağız.

1. Çarpan (Bölen) Nedir?

Bir pozitif tam sayı, başka bir pozitif tam sayıya **kalansız** bölünüyorsa bölen sayı aynı zamanda ilk sayının **pozitif tam sayı çarpanıdır**. Örneğin 24 ÷ 6 = 4 işleminde kalan olmadığı için 6, 24'ün çarpanıdır. Aynı şekilde 24 = 6 × 4 olduğundan hem 6 hem 4 birer çarpandır.

Örneğin 24'ün çarpanlarını ikili çarpımlarla arayalım:

| Çarpan çifti | Sonuç | |---|---| | 1 × 24 | 24 | | 2 × 12 | 24 | | 3 × 8 | 24 | | 4 × 6 | 24 |

Bu çiftlerden çıkan sayıları küçükten büyüğe yazarsak **1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24** elde ederiz. 24'ün **8 farklı pozitif çarpanı** vardır.

Bir çarpan çiftini bulduğumuzda aynı sayıları ters sırayla yazıp yeniden saymayız. Örneğin 2 × 12 ve 12 × 2 aynı iki çarpanı verir.

Çarpan ile kat arasındaki ayrım

• **Çarpan**: 6 sayısı 24'ü kalansız böler; bu yüzden 6, 24'ün çarpanıdır.
• **Kat**: 24 sayısı 6 × 4 biçiminde yazılır; bu yüzden 24, 6'nın katıdır.

Bir sayının pozitif çarpanları sonlu sayıdadır. Pozitif katları ise 6, 12, 18, 24, … biçiminde sonsuza kadar devam eder.

2. Çarpanlar Nasıl Eksiksiz Bulunur?

1. **1 × sayı** ile başla.
2. 2, 3, 4, … değerlerini sırayla deneyerek kalansız bölünüp bölünmediğine bak.
3. Her başarılı işlemde bölen ile bölümün oluşturduğu **çifti** yaz.
4. Çarpan çiftleri tekrar etmeye başladığında dur; bulduklarını sıralayıp her sayıyı bir kez say.

3. Asal Sayılar

**1'den büyük** ve yalnızca **1'e ve kendisine** bölünebilen doğal sayıya **asal sayı** denir.

İlk asal sayılar: **2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, …**

• **2**, hem asal hem çift olan **tek** sayıdır.
• **1 asal değildir**, çünkü yalnız bir pozitif böleni vardır; asal sayının tam iki pozitif böleni bulunmalıdır.
• 1'den büyük ve asal olmayan doğal sayılara **bileşik sayı** denir. Örneğin 12, 2 × 6 olarak yazılabildiği için bileşiktir.

Bir sayının asal olup olmadığını kontrol ederken 1 ve kendisi dışındaki bölenleri araştır. Örneğin 29, 2'ye, 3'e ve 5'e kalansız bölünmez. Bu nedenle 29 asaldır. Buna karşılık 39 = 3 × 13 olduğundan asal değildir.

4. Asal Çarpan Nedir?

Bir sayıyı kalansız bölen asal sayılara o sayının **asal çarpanları** denir. Bir sayıyı asal sayıların çarpımı biçiminde yazmaya **asal çarpanlarına ayırma** denir.

Örneğin 30 = 2 × 3 × 5'tir. 30'un farklı asal çarpanları **2, 3 ve 5**tir.

Asal çarpanlarına ayırma, sayıyı bölme işlemleriyle de yapılır:

| Sayı | Bölündüğü asal | |---|---| | 60 | 2 | | 30 | 2 | | 15 | 3 | | 5 | 5 | | 1 | Bitti |

Buradan **60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 2² × 3 × 5** bulunur. Bölme işlemi 1'e ulaşıncaya kadar sürer. Kullanılan bölenlerin tamamı asal olmalıdır.

Çarpan ağacı yöntemi

60 önce 6 × 10 olarak ayrılabilir. Sonra 6 = 2 × 3 ve 10 = 2 × 5 yazılır. Böylece yine 60 = 2² × 3 × 5'e ulaşılır. Farklı yollardan başlanması sonucu değiştirmez: Sayının asal çarpanlara ayrılışı, sıralama dışında tektir.

5. Asal Çarpanları Üslü Biçimde Yazma

Bir asal çarpan tekrar ediyorsa üslü gösterim kullanılır:

• 72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = **2³ × 3²**.
• 84 = 2 × 2 × 3 × 7 = **2² × 3 × 7**.
• 125 = 5 × 5 × 5 = **5³**.

Üs, o asal çarpanın kaç kez çarpıldığını gösterir. Örneğin 2³, 2'nin üç kez çarpılmasıdır ve 8'e eşittir. 3² ise 9'dur; dolayısıyla 2³ × 3² = 8 × 9 = 72 olur.

6. Çarpanları Kısıtlarla Birlikte Düşünme

LGS sorularında çoğu zaman çarpanları yalnızca bulmak yetmez. Belirli aralıktaki, asal olan, çift olan, bir sayının katı olan veya belirli çarpanları içeren seçenekleri ayıklamak gerekir.

Sık Yapılan Hatalar

1. **1'i asal saymak:** Yanlış. Asal sayıların tam iki farklı pozitif çarpanı vardır; 1'in yalnız bir çarpanı bulunur.
2. **Çarpan ile katı karıştırmak:** 6, 24'ün çarpanıdır; 24 ise 6'nın katıdır.
3. **Çarpan çiftini iki kez saymak:** 2 × 18 ile 18 × 2, 36 için aynı çiftin ters yazımıdır.
4. **Tam karede ortadaki çarpanı iki kez saymak:** 36 = 6 × 6 işlemindeki 6 bir kez yazılır.
5. **Asal çarpan ile bütün çarpanları karıştırmak:** 60'ın asal çarpanları 2, 3, 5'tir; 4, 6, 10, 12 de pozitif çarpandır ama asal değildir.
6. **Üsteki sayıyı ayrı asal çarpan sanmak:** 2³ × 3² gösteriminde asal çarpanlar yine yalnızca 2 ve 3'tür.
7. **Koşulları okumamak:** Soru “kendisi hariç”, “en az”, “en çok”, “asal” ya da belirli bir aralık diyorsa sonuç ayrıca süzülmelidir.

Sık Karıştırılan Noktalar

| Karıştırılan iki bilgi | Doğru ayrım | |---|---| | **Çarpan** ve **kat** | 4, 28'in çarpanıdır; 28 ise 4'ün katıdır. Birincisinde sayı kalansız bölünür, ikincisinde sayının tam katı alınır. | | **Asal sayı** ve **asal çarpan** | 7 tek başına asal bir sayıdır. 84'ün asal çarpanları ise 2, 3 ve 7'dir. | | **Farklı asal çarpan** ve **tekrarlı asal çarpan** | 72 = 2³ × 3² gösteriminde 2 farklı asal çarpan, tekrarlarıyla 5 asal çarpan vardır. | | **Pozitif çarpan sayısı** ve **asal çarpan sayısı** | 12'nin 6 pozitif çarpanı vardır; bunlardan yalnız 2 ve 3 asaldır. | | **Tam karelerin ortadaki çarpanı** | 49 = 7 × 7'de 7 yalnız bir kez sayılır; 49'un çarpanları 1, 7, 49'dur. |

Özellikle “kaç **farklı** asal çarpan” ifadesinde **asal tabanları** say; üslere veya bütün pozitif bölenlere bakarak cevap verme.

Soru Çözerken Kullanılabilecek Yaklaşım

1. **İstenen şeyi belirle.** Soru bütün pozitif çarpanları mı, sadece asal çarpanları mı, çarpan çiftlerini mi soruyor?
2. **Sayıyı düzenle.** Gerekirse çarpan çiftlerini küçükten büyüğe yaz veya sayıyı asal çarpanlarına ayır.
3. **Koşulları tek tek uygula.** “Kendisi hariç”, “15'ten büyük”, “çift”, “asal” gibi her kısıtı ayrıca kontrol et.
4. **Tekrarları çıkar.** Dikdörtgenin döndürülmüş hâlini yeni bir çift sayma; tam karede ortadaki çarpanı ikinci kez yazma.
5. **Cevabı denetle.** Seçtiğin sayı gerçekten başlangıçtaki sayıyı kalansız bölüyor mu? Sayı aralığına ve bütün ek koşullara uyuyor mu?

LGS'de Nasıl Sorulur?

• **Doğrudan bilgi:** Bir sayının pozitif çarpanlarını veya asal çarpanlarını bulma.
• **Muhakeme:** Çarpanlar arasından birden çok koşulu sağlayanı seçme.
• **Modelleme:** Alanı belli bir dikdörtgenin tam sayı kenarlarını bulma.
• **Sayı ilişkileri:** Asal çarpanlar verilince eksik üssü veya sayıyı belirleme.

Konu Özeti

• Pozitif tam sayı çarpanı, sayıyı kalansız böler.
• 1 ve sayının kendisi, her pozitif tam sayının çarpanıdır.
• Asal sayının yalnız 1 ve kendisi olmak üzere iki pozitif böleni vardır.
• 1 asal sayı değildir; 2 tek çift asal sayıdır.
• Bileşik sayılar asal sayıların çarpımı olarak yazılabilir.
• Tekrar eden asal çarpanlar üslü gösterimle kısaltılır.
• Farklı asal çarpanları sayarken aynı asalı bir kez sayarız.
• LGS tipi sorularda çarpanlar bulunduktan sonra verilen koşullar kontrol edilir.

Konuyu Bitirdiğinde Bunları Yapabiliyor Olmalısın

• Verilen bir sayının bütün pozitif çarpanlarını ikili yöntemle listeleyebiliyorum.
• Asal sayı, bileşik sayı ve 1 arasındaki farkı açıklayabiliyorum.
• Bir sayıyı asal çarpanlarına ayırıp üslü biçimde yazabiliyorum.
• Farklı asal çarpan sayısıyla bütün pozitif bölen sayısını karıştırmıyorum.
• Günlük yaşam senaryosunda çarpan ve aralık koşullarını birlikte uygulayabiliyorum.