10. Sınıf Matematik Dik Koordinat Sisteminde Doğrunun Analitik İncelenmesi Konu Anlatımı

Dik Koordinat Sisteminde Doğrunun Analitik İncelenmesi

Bir rampanın ne kadar dik olduğunu, bir yolun hangisinde daha fazla yakıt harcanacağını, bir telefon tarifesinde konuşma süresi arttıkça ödenecek ücretin nasıl değiştiğini ya da Celsius ile Fahrenheit arasında nasıl dönüşüm yapılacağını düşünelim. Bu durumların hepsinde iki nicelik arasında doğrusal bir ilişki vardır ve bu ilişki dik koordinat sisteminde bir doğru ile gösterilir. Doğrunun eğimi değişimin hızını, denklemi ise doğru üzerindeki bütün noktaların koordinatları arasındaki ilişkiyi verir.

Bu konunun sonunda şunları yapabiliyor olmalısın:

• iki noktası bilinen bir doğrunun eğimini hesaplamak,
• eğim açısı ile eğim arasındaki ilişkiyi (m = tan α) kullanmak,
• eğimin işaretini eğim açısına göre yorumlamak,
• bir noktanın bir doğru üzerinde olup olmadığını test etmek,
• iki doğrunun paralel, çakışık, kesişen ya da dik olduğunu belirlemek,
• iki noktası ya da bir noktası ve eğim açısı bilinen doğrunun denklemini yazmak,
• gerçek yaşam durumlarını doğru denklemiyle modelleyip yorumlamak.

1. Eğim

**Eğim**, bir doğru üzerindeki iki nokta arasında her bir birim yatay değişime (x ekseni boyunca) karşılık gelen dikey değişimi (y ekseni boyunca) gösterir. Yani eğim, dikey değişimin yatay değişime oranıdır.

Doğru üzerindeki A(x₁, y₁) noktasından x eksenine, B(x₂, y₂) noktasından y eksenine paralel doğrular çizilirse bir dik üçgen oluşur. Dik kenarlardan biri yatay değişimi (x₂ − x₁), diğeri dikey değişimi (y₂ − y₁) gösterir. Buna göre

m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁).

2. Eğim Açısı ve Eğimin İşareti

Bir doğrunun x ekseniyle pozitif yönde (saat yönünün tersine) yaptığı açıya **eğim açısı** denir. Eğim açısının ölçüsü α ve eğimi m olan bir doğru için

m = tan α.

Eğim açısına göre eğimin işareti:

• α = 0° ⇒ m = 0 (doğru x eksenine paraleldir),
• 0° < α < 90° ⇒ m > 0 (doğru soldan sağa yükselir),
• α = 90° ⇒ m tanımsızdır (doğru x eksenine diktir),
• 90° < α < 180° ⇒ m < 0 (doğru soldan sağa alçalır).

3. Doğru Denklemi ve Doğru Üzerindeki Noktalar

Eğimi m ve y eksenini kestiği noktanın ordinatı n olan doğrunun denklemi

y = mx + n

biçimindedir. **Bir noktanın koordinatları, üzerinde bulunduğu doğrunun denklemini sağlar.** Bir noktanın doğru üzerinde olup olmadığı, koordinatları denklemde yerine yazılarak test edilir.

4. Doğru Denkleminin Yazılması

İki Noktası Bilinen Doğru

A(x₁, y₁) ve B(x₂, y₂) noktalarından geçen doğru üzerindeki herhangi bir P(x, y) noktası için eğim aynıdır:

m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁) olmak üzere m = (y − y₁)/(x − x₁) veya m = (y − y₂)/(x − x₂).

Alternatif olarak y = mx + n denkleminde y₁ = mx₁ + n ve y₂ = mx₂ + n yazılıp iki bilinmeyenli denklem sistemi çözülür.

Bir Noktası ve Eğim Açısı Bilinen Doğru

A(x₁, y₁) noktasından geçen ve eğim açısının ölçüsü α olan doğrunun denklemi

tan α = (y − y₁)/(x − x₁)

biçiminde yazılır.

• α = 0° ise doğru y eksenine diktir (x eksenine paraleldir): y = y₁.
• α = 90° ise doğru x eksenine diktir: x = x₁.

5. Doğruların Birbirine Göre Durumları

Dik koordinat sisteminde:

• Eğim açılarının ölçüleri eşit olan farklı iki doğru **paraleldir** (eğimleri eşit, n değerleri farklı).
• Eğim açılarının ölçüleri farklı olan iki doğru **kesişir**.
• Aynı iki noktadan geçen doğrular **çakışıktır** (denklemleri aynı doğruyu verir).
• Eksenlere paralel olmayan ve **dik kesişen** doğruların eğimlerinin çarpımı −1'dir: m₁ · m₂ = −1.

6. Gerçek Yaşam Modelleri

Doğrusal bir ilişkide başlangıç değeri n (x = 0 iken y), birim artış başına değişim m olarak alınır ve y = mx + n yazılır.

Benzer şekilde 5 saat dayanan ve düzgün azalan bir pilin kalan süresi y = 5 − x, 100 km'de 6 litre yakan aracın tüketimi y = 0,06x biçiminde modellenir.

Sınavlarda Sık Görülen Soru Kalıpları

Kalıp 1: İki Noktadan Eğim

Kalıp 2: Doğru Üzerindeki Nokta

Kalıp 3: Diklik ve Paralellik

Kalıp 4: İki Noktadan Denklem

Sık Karıştırılan Noktalar

• Eğim dikey değişimin yatay değişime oranıdır; tersi değildir.
• x eksenine paralel doğrunun eğimi 0'dır; x eksenine dik doğrunun eğimi tanımsızdır.
• Eğim açısı x ekseninin pozitif yönünden saat yönünün tersine ölçülür.
• Paralellik için eğimler eşit, diklik için eğimler çarpımı −1 olmalıdır.
• 2y = 2x + 2 gibi denklemler sadeleştirilmeden karşılaştırılırsa çakışık doğrular farklı sanılabilir.
• y = mx + n'de n, y eksenini kestiği noktanın ordinatıdır; x eksenini kestiği nokta y = 0 yazılarak bulunur.

Soru Çözerken Kullanılabilecek Yaklaşım

1. Verilen noktaları ya da denklemi belirle; gerekirse denklemi y = mx + n biçimine getir.
2. Eğimi iki noktadan ya da tan α'dan hesapla.
3. Doğru üzerindeki bilinmeyen koordinat için noktayı denklemde yerine yaz.
4. Paralellik ve diklik koşullarını eğimlerle kur.
5. Denklemi yazdıktan sonra bilinen noktalarla kontrol et.
6. Gerçek yaşam problemlerinde n'yi başlangıç değeri, m'yi birim değişim olarak yorumla.

Konu Özeti

Bir doğrunun eğimi m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁) ile bulunur ve eğim açısı α ise m = tan α'dır. Dar açılı doğruların eğimi pozitif, geniş açılıların negatif, x eksenine paralel doğrularınki 0'dır; x eksenine dik doğruların eğimi tanımsızdır. Doğrunun denklemi y = mx + n biçiminde yazılır; doğru üzerindeki her nokta bu denklemi sağlar. İki noktası bilinen doğru m = (y − y₁)/(x − x₁), bir noktası ve eğim açısı bilinen doğru tan α = (y − y₁)/(x − x₁) ile yazılır. Paralel doğruların eğimleri eşit, dik doğruların eğimleri çarpımı −1'dir. Tarifeler, sıcaklık dönüşümleri ve kâr-zarar gibi doğrusal ilişkiler doğru denklemleriyle modellenir.