10. Sınıf Matematik Cebirsel ve Fonksiyonel İşlemlerin Algoritmik Yapısı Konu Anlatımı

Cebirsel ve Fonksiyonel İşlemlerin Algoritmik Yapısı

Bir doğrusal fonksiyonun grafiğinin eksenleri kestiği noktaları bulmak için hangi adımları izlersin? Önce x = 0 yazıp y'yi, sonra y = 0 yazıp x'i hesaplarsın. Peki aynı işlemi yüz farklı fonksiyon için yapman gerekseydi? Her seferinde baştan düşünmek yerine adımları bir kez belirli bir sıraya koyar ve her fonksiyona aynı sırayla uygularsın. İşte bu sıralı adımlar dizisine **algoritma** denir.

Algoritmik yapı, karmaşık problem durumlarında çözüm adımlarının belirli bir sıraya göre düzenlenmesini sağlar; her adım doğru biçimde tamamlanmadan bir sonrakine geçilmez. Algoritmik düşünce ile aynı türden problemlere tekrar tekrar çözüm üretmek yerine sistematik bir çözüm yolu geliştirilir. Karmaşık cebirsel ifadelerin ya da fonksiyonların klasik yolla çözümü zor ve zaman alıcı olabilir; algoritmalar bu işlemleri kısa sürede, sistematik ve hatasız biçimde gerçekleştirebilir.

Bu konunun sonunda şunları yapabiliyor olmalısın:

• bir problemin koşullarını mantık bağlaçları ve niceleyicilerle ifade etmek,
• bir algoritmayı algoritmik doğal dil, sözde kod ve akış şeması ile ifade etmek,
• koşul ve döngü yapılarını kullanmak, bir algoritmanın çıktısını adım adım izlemek,
• ortalama alarak yineleme yöntemiyle bir fonksiyonun sıfırına yaklaşmak,
• Babil metodu ve tamkare yöntemiyle karekökün yaklaşık değerini bulmak,
• sıralama sayısı, basamak sayısı, mükemmel sayı gibi problemler için algoritma kurup test etmek.

1. Algoritmanın İfade Biçimleri

Bir algoritmanın işleyişi üç farklı biçimde ifade edilebilir:

• **Algoritmik doğal dil:** Adımlar "1. adım: Başla", "2. adım: Girdileri al" gibi numaralandırılmış cümlelerle yazılır.
• **Sözde kod:** Adımlar programlama diline benzeyen kısa ve kurallı ifadelerle yazılır.
• **Akış şeması:** Adımlar sembollerle ve aralarındaki oklarla görsel olarak gösterilir.

Akış şemasında kullanılan başlıca yapılar şunlardır: BAŞLA, VERİ GİRİŞİ, İŞLEM, KOŞUL, SONUÇ YAZDIR, BİTİR. Bunlara ek olarak tekrar eden işlemler için **döngü** sembolü, farklı işlem akışlarını birleştirmek veya akış sayfaları arasında bağlantı kurmak için **birleştirici** sembolü kullanılır.

Bir algoritmanın işleyişi birden fazla akış şemasıyla ifade edilebilir. Örneğin aynı tekrar, koşul sembolüyle de döngü sembolüyle de kurulabilir.

2. Mantık Bağlaçları ve Niceleyiciler

Algoritmalardaki koşullar mantık bağlaçlarıyla birleştirilir:

• **ve (∧):** İki koşulun ikisi de sağlanmalıdır.
• **veya (∨):** Koşullardan en az biri sağlanmalıdır.
• **ya da (⊻):** Koşullardan yalnızca biri sağlanmalıdır.
• **ise (⇒):** Koşulun karşılanması durumunda belirtilen işlemin gerçekleştirilmesini sağlar. Algoritmalarda farklı durumları değerlendirmek ve döngüler içinde karar vermek için kullanılır.
• **ancak ve ancak (⇔):** İki koşulun aynı anda doğru ya da aynı anda yanlış olduğu durumda doğru sonucu verir.

Niceleyiciler bir koşulun kimler için geçerli olduğunu belirtir:

• **her (∀):** Tüm elemanlar için,
• **bazı (∃):** En az bir eleman için.

Takdir alanlardan devamsızlık yapmamış olanlar ücretsiz geziye katılacaksa koşul (ortalama ≥ 85) ∧ (başarısız ders = 0) ∧ (davranış = 100) ∧ (devamsızlık = 0) biçiminde yazılır. Koşul, algoritmanın hangi yoldan devam edeceğine karar verir.

3. Koşul ve Döngü Yapıları

**Koşul** yapısında bir ifadenin doğru ya da yanlış olmasına göre algoritma iki farklı yoldan devam eder (evet/hayır).

**Döngü**, istenen koşullarda tekrar eden (yinelenen) işlemler için kullanılan yapıdır. Akış şemasında döngü oluşturulurken döngü değişkeni, başlangıç değeri, bitiş değeri ve artış-azalış değeri verilir:

i = a, N, b (ya da i, a, N, b)

Burada i döngü değişkeni, a başlangıç değeri, N bitiş değeri, b artış-azalış değeridir. Başlangıç değeri bitiş değerinden küçükse **artan döngü**, büyükse **azalan döngü** oluşur. Örneğin bir işlemi 5 kez tekrarlamak için i = 1, 5, 1 yazılır.

4. Ortalama Alarak Yineleme Yöntemi

Bir fonksiyonun sıfırının iki değer arasında kaldığı biliniyorsa bu iki değerin ortalaması alınarak sıfıra adım adım yaklaşılır. Bu yönteme **ortalama alarak yineleme yöntemi** denir.

1. adım: Sıfırın arasında olduğu tahmin edilen x₁ ve x₂ seçilir.
2. adım: f(x₁) ve f(x₂) hesaplanır; biri sıfırsa sıfır bulunmuştur.
3. adım: Değilse x₃ = (x₁ + x₂)/2 alınır.
4. adım: f(x₃) = 0 ise x₃ sıfırdır, bitirilir. Değilse f(x₃) ile f(x₁) aynı işaretliyse x₁ = x₃, zıt işaretliyse x₂ = x₃ yapılır.
5. adım: f(x₃) sıfıra yaklaşıncaya kadar adımlar tekrarlanır.

5. Karekökün Yaklaşık Değeri

Babil Metodu

Karekök hesaplama işlemi sayısal algoritmalarla ilk kez Babiller tarafından yapılmıştır. a karekökü alınacak sayı, x₀ > 0 başlangıç tahmini olmak üzere

xₙ₊₁ = (1/2) · (xₙ + a/xₙ), n = 0, 1, 2, …

formülü belirlenen hata payına ulaşılıncaya kadar tekrarlanır. Başlangıç tahmini gerçek köke ne kadar yakınsa adım sayısı o kadar azalır.

Algoritma: a belirlenir, x₀ girilir, formülle x₁ bulunur; |xₙ₊₁ − xₙ| < 0,001 ise bitirilir, değilse formül tekrar uygulanır.

Tamkare İfadelerden Yararlanma

a bir irrasyonel sayının karekökü alınacak sayı ve b, a'ya en yakın tamkare sayı olmak üzere

√a ≈ (a + b) / (2√b).

6. Cebirsel ve Fonksiyonel İşlemler İçin Algoritmalar

Doğrusal Fonksiyonun Sıfırı

f(x) = ax + b (a ≠ 0) için: a ve b girilir; a = 0 ise "doğrusal fonksiyon değildir" yazdırılır; değilse x = −b/a hesaplanır ve yazdırılır. f(x) = 3x − 12 için çıktı 4'tür.

Sıralama Sayısı (n!)

n kişinin yan yana sıralanma sayısı için: n girilir, sonuç = 1 alınır, i = 1, n, 1 döngüsünde sonuç = sonuç · i yapılır, sonuç yazdırılır. n = 5 için sonuç sırasıyla 1, 2, 6, 24, 120 olur.

Basamak Sayısı

Bir doğal sayının basamak sayısı için: sayı girilir, basamak = 0 alınır; sayı ≥ 1 olduğu sürece sayı 10'a bölünüp tam kısmı alınır ve basamak = basamak + 1 yapılır. 5302 için 5302 → 530 → 53 → 5 → 0 olduğundan basamak sayısı 4'tür.

Mükemmel Sayı

Kendisi hariç pozitif bölenlerinin toplamı kendisine eşit olan sayıya **mükemmel sayı** denir. Algoritma: sayı girilir, topla = 0 alınır, sayaç = 1, sayı/2, 1 döngüsünde sayı sayaca kalansız bölünüyorsa topla = topla + sayaç yapılır; sonunda sayı = topla ise "mükemmel sayıdır" yazdırılır.

Diğer Örnekler

• **Üçgenin alanı:** İki kenar a, b ve aradaki açı C girilir; alan = (1/2) · a · b · sin C hesaplanır.
• **Pozitif çift sayı:** (sayı > 0) ∧ (sayı 2'ye kalansız bölünür) koşulu sağlanıyorsa "pozitif çift sayıdır" yazdırılır.
• **Not sayımı:** 20 öğrencinin notu döngüyle okunur; not ≥ 50 ise adet bir artırılır.

Sınavlarda Sık Görülen Soru Kalıpları

Kalıp 1: Koşulu Mantık Bağlacıyla Yazma

Kalıp 2: Döngü Çıktısını Bulma

Kalıp 3: Ortalama Alarak Yineleme

Kalıp 4: Babil Metodu

Sık Karıştırılan Noktalar

• "veya" en az bir koşulun, "ya da" yalnızca bir koşulun sağlanmasını ister.
• "<" ile "≤" koşulları döngünün bir kez fazla ya da eksik dönmesine yol açar.
• Döngüde artış değeri 2 ise değişken birer birer değil ikişer ikişer artar.
• Ortalama alarak yinelemede yeni değer, f(x₃) ile aynı işaretli olan uç noktanın yerine yazılır.
• Babil metodunda a/xₙ terimindeki a, karekökü alınan sayıdır; xₙ değil.
• Mükemmel sayıda sayının kendisi bölenlerin toplamına katılmaz.
• Başlangıç değerinin (toplam = 0, çarpım = 1) yanlış seçilmesi tüm sonucu bozar.

Soru Çözerken Kullanılabilecek Yaklaşım

1. Girdileri, çıktıyı ve koşulları belirle.
2. Koşulları mantık bağlaçları ve niceleyicilerle yaz.
3. Değişkenlere başlangıç değeri ver.
4. Tekrar eden işlemleri döngüye ya da geri dönen bir koşula bağla.
5. Değişkenlerin değerlerini adım adım bir tabloda izle.
6. Algoritmayı küçük bir örnekle test et, sonucu elle hesapladığın değerle karşılaştır.

Konu Özeti

Algoritma, bir problemin çözüm adımlarının belirli bir sıraya konmasıdır ve algoritmik doğal dil, sözde kod ya da akış şemasıyla ifade edilir. Koşullar ve (∧), veya (∨), ya da (⊻), ise (⇒), ancak ve ancak (⇔) bağlaçlarıyla; kapsam her (∀) ve bazı (∃) niceleyicileriyle belirtilir. Tekrarlanan işlemler i = a, N, b biçimindeki döngülerle ya da koşula bağlı geri dönüşlerle yapılır. Ortalama alarak yineleme bir fonksiyonun sıfırına, Babil metodu ve tamkare yöntemi karekökün yaklaşık değerine ulaşır. n!, basamak sayısı, mükemmel sayı ve doğrusal fonksiyonun sıfırı gibi işlemler de algoritma ile sistematik biçimde hesaplanır.