10. Sınıf Matematik Sayma Stratejileri Konu Anlatımı

Sayma Stratejileri

Sayıların henüz kullanılmadığı dönemlerde göçebe topluluklar, sürülerindeki hayvanları taşlarla ya da çentiklerle eşleştirerek takip ederdi. Bugün ise bir otoparktaki park yerlerini numaralandırmaktan bir kilidin kaç farklı şifre alabileceğini hesaplamaya, bir takım kurmaktan bilgisayarın kaç farklı karakteri kodlayabileceğini bulmaya kadar pek çok durumda sayma yöntemlerini kullanırız. Nesneler az olduğunda hepsini tek tek listelemek yeterlidir; ancak nesne sayısı arttıkça listelemek zaman ve emek bakımından maliyetli hâle gelir. Bu yüzden toplama, çarpma, sıralama ve seçme gibi stratejiler geliştirilmiştir.

Bu konunun sonunda şunları yapabiliyor olmalısın:

• eşleştirme, toplama ve çarpma yoluyla sayma yöntemlerini ayırt edip kullanmak,
• tablo ve çizge yöntemiyle olası durumları listelemek,
• faktöriyel kavramını kullanarak n farklı nesnenin sıralanma sayısını bulmak,
• n farklı nesneden r tanesinin sıralanma sayısını hesaplamak,
• içinde özdeş nesneler bulunan bir topluluğun sıralanma sayısını bulmak,
• n farklı nesne arasından r tanesinin seçim sayısını hesaplamak,
• Pascal üçgenini oluşturup satırlar arasındaki ilişkiyi kullanmak,
• güvercin yuvası ilkesini problemlere uygulamak.

1. Eşleştirme Yoluyla Sayma

Bir nesne grubunun elemanlarını Z⁺ = {1, 2, 3, …} kümesinin elemanlarıyla sırasıyla bire bir eşleyerek eleman sayısını bulma işlemine **eşleştirme yoluyla sayma** denir. Grubun son elemanıyla eşleşen doğal sayı, grubun eleman sayısıdır. Bir otopark görevlisinin her park yerine 1, 2, 3, … diye numara kartı yapıştırması bu yönteme örnektir: son kartın numarası park yeri sayısını verir. Eşleştirme yoluyla sayma bilinen en eski sayma yöntemlerinden biridir.

2. Toplama Yoluyla Sayma

Ortak elemanı olmayan farklı nesne gruplarının eleman sayılarını toplayarak bulma işlemine **toplama yoluyla sayma** denir.

3. Çarpma Yoluyla Sayma

Ortak elemanı olmayan farklı nesne gruplarından birer eleman seçerek oluşturulan ikililerin (üçlülerin…) sayısını çarparak bulma işlemine **çarpma yoluyla sayma** denir.

Olası durumları görmek için iki görsel yöntem kullanılır:

• **Tablo yöntemi:** Bir grubun elemanları satırlara, diğerininkiler sütunlara yazılır; her hücre bir eşleşmedir.
• **Çizge (ağaç) yöntemi:** İlk seçimden dallar çıkar, her dalın ucundan bir sonraki seçimin dalları çıkar; uçlar olası durumları verir.

Şifre ve Kod Problemleri

Rakamların tekrar edip etmemesi sonucu değiştirir.

Bilgisayarda bilgi depolamanın en küçük birimi **bit**tir ve 0 ya da 1 değerini alır. 8 bitlik gruba **bayt** denir. n bitlik bir dizilimde her bit için 2 seçenek olduğundan 2ⁿ farklı karakter kümesi oluşturulabilir. Örneğin 5 bit ile 2⁵ = 32, 7 bitlik ASCII ile 2⁷ = 128, 8 bitlik genişletilmiş ASCII ile 2⁸ = 256 farklı karakter kodlanabilir.

4. Sıralama Sayısı ve Faktöriyel

Üç kardeş yan yana oturacaksa birinci yere 3, ikinci yere 2, üçüncü yere 1 kişi oturabilir: 3 · 2 · 1 = 6 sıralama vardır.

n ∈ ℕ olmak üzere 1'den n'ye kadar olan ardışık tam sayıların çarpımına **n faktöriyel** denir ve n! ile gösterilir:

n! = 1 · 2 · 3 · … · (n − 1) · n, ayrıca 0! = 1 kabul edilir.

1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, 5! = 120, 6! = 720. Ayrıca 7! = 7 · 6! = 7 · 6 · 5! gibi yazılabilir.

**n farklı nesne düz bir sıraya n! farklı şekilde sıralanabilir.**

n Farklı Nesneden r Tanesinin Sıralanması

n farklı nesneden r tanesi sıraya dizilecekse birinci yere n, ikinci yere n − 1, …, r'inci yere n − r + 1 nesne gelebilir. Sıralama sayısı n · (n − 1) · … · (n − r + 1)'dir.

5. İçinde Özdeş Nesneler Bulunan Sıralama

Sıralanacak nesnelerin bazıları özdeşse, özdeş nesnelerin kendi aralarında yer değiştirmesi yeni bir sıralama oluşturmaz. Bu yüzden tüm nesneler farklıymış gibi bulunan n! sayısı, özdeş grupların kendi aralarındaki sıralanma sayılarına bölünür.

n nesnenin r tanesi özdeş ise sıralama sayısı n!/r!'dir. Birden fazla özdeş grup varsa her grubun faktöriyeline bölünür.

En Kısa Yol Problemleri

Birbirini dik kesen sokaklarda A'dan C'ye en kısa yoldan gidilecekse yalnızca sağa (S) ve yukarı (Y) hareket edilir. 4 birim sağa ve 2 birim yukarı gidilecekse yol SSSSYY gibi bir dizilimle gösterilir. Yol sayısı 6!/(4! · 2!) = 15'tir.

6. Seçme Sayısı

Seçimde sıranın önemi yoktur. Örneğin 4 malzemeden 3'ü seçilerek yapılan pizzada "mantar, biber, sucuk" ile "sucuk, mantar, biber" aynı pizzadır.

n ve r birer sayma sayısı, r ≤ n olmak üzere n farklı nesne arasından r tanesinin seçim sayısı C(n, r) ile gösterilir (kitapta n üstte, r altta olacak şekilde parantez içinde yazılır). Bulmak için:

1. n nesnenin r'li sıralanışlarının sayısı bulunur: n · (n − 1) · … · (n − r + 1).
2. Aynı r nesne kendi arasında r! farklı şekilde sıralanır ve bunların hepsi aynı seçimi gösterir.
3. Sıralama sayısı r!'e bölünür.

Özdeş 3 mavi ve 2 kırmızı bilyenin 5 bölmeye yerleştirilmesinde mavilerin gideceği 3 bölmeyi seçmek yeterlidir: C(5, 3) = 10. Önce kırmızıların gideceği 2 bölme seçilirse C(5, 2) = 10 bulunur. İki yol da aynı sonucu verir.

7. Pascal Üçgeni

n eleman arasından 0, 1, 2, …, n tane elemanın seçim sayıları alt alta satırlar hâlinde yazıldığında üçgen şeklinde bir model elde edilir. Fransız matematikçi Blaise Pascal'a atfedildiği için **Pascal üçgeni** denir.

• n = 0: 1
• n = 1: 1 1
• n = 2: 1 2 1
• n = 3: 1 3 3 1
• n = 4: 1 4 6 4 1
• n = 5: 1 5 10 10 5 1

Örneğin 3 kişilik bir oylamada bir fotoğrafa 0, 1, 2 ya da 3 kişinin oy verme biçimlerinin sayısı C(3, 0), C(3, 1), C(3, 2), C(3, 3) yani 1, 3, 3, 1'dir.

Örneğin 1 4 6 4 1 satırından sonraki satır 1, 1 + 4 = 5, 4 + 6 = 10, 6 + 4 = 10, 4 + 1 = 5, 1 olur.

8. Güvercin Yuvası İlkesi (Çekmece Prensibi)

n tane güvercin m tane yuvaya yerleştiriliyorsa ve güvercin sayısı yuva sayısından fazlaysa (n > m), en az bir yuvada birden fazla güvercin bulunmak zorundadır.

Güvercinler yuvalara olabildiğince eşit dağıtıldığında en kalabalık yuvadaki sayı en küçük olur. Güvercin sayısı, yuva sayısının k katından fazlaysa en az bir yuvada kesin olarak en az k + 1 güvercin bulunur. Örneğin 4 yuva ve 9 güvercin varsa 9 = 2 · 4 + 1 olduğundan en az bir yuvada en az 3 güvercin vardır.

Sınavlarda Sık Görülen Soru Kalıpları

Kalıp 1: Tekrarlı ve Tekrarsız Şifre

Kalıp 2: Koşullu Sıralama

Kalıp 3: Özdeş Nesneler ve En Kısa Yol

Kalıp 4: Seçim ve Güvercin Yuvası

Sık Karıştırılan Noktalar

• Toplama ve çarpma: "biri ya da diğeri" toplama, "hem biri hem diğeri" çarpmadır.
• Sıralama ve seçme: Takım, grup, ekip, doğru parçası gibi durumlarda sıra önemsizdir; sıralama sayısını r!'e bölmeyi unutma.
• Rakam tekrarı: "farklı rakamlarla" ifadesi yoksa rakamlar tekrar edebilir.
• 0! = 1'dir, 0 değildir.
• Özdeş nesnelerde yalnızca n! yazmak fazla sayar; özdeş grupların faktöriyellerine bölmek gerekir.
• Güvercin yuvası ilkesinde "en az" sorulur; en kalabalık yuvanın en az kaç eleman içerdiği bulunur, kesin dağılım bulunmaz.
• Bölmeler ya da gruplar yer değiştirebiliyorsa bunun için ayrıca çarpmak gerekir.

Soru Çözerken Kullanılabilecek Yaklaşım

1. Sayılacak nesneleri ve aralarındaki ilişkiyi belirle.
2. Az durum varsa tablo ya da çizge ile listele; çoksa sayma ilkesine geç.
3. Sıranın önemli olup olmadığına karar ver.
4. Koşullu yerleri (baş, son, belirli bölme) önce doldur, kalanları sonra sırala.
5. Özdeş nesne varsa ilgili faktöriyellere böl.
6. Birden fazla aşama varsa aşamaları çarp; ayrık durumları topla.
7. Sonucu küçük bir durumda listeleyerek kontrol et.

Konu Özeti

Eşleştirme yoluyla sayma, nesneleri 1, 2, 3, … ile eşleyerek sayar. Ortak elemanı olmayan gruplardan biri seçilecekse toplama, her gruptan birer eleman seçilecekse çarpma kullanılır. n farklı nesne n! şekilde, n farklı nesneden r tanesi n · (n − 1) · … · (n − r + 1) şekilde sıralanır. Özdeş nesneler varsa n! özdeş grupların faktöriyellerine bölünür; en kısa yol problemleri de bu şekilde çözülür. n nesneden r tanesinin seçim sayısı C(n, r), r'li sıralama sayısının r!'e bölünmesiyle bulunur. Pascal üçgeninde C(n, r) + C(n, r + 1) = C(n + 1, r + 1) ilişkisi vardır. Güvercin yuvası ilkesine göre güvercin sayısı yuva sayısından fazlaysa en az bir yuvada birden fazla güvercin bulunur.