10. Sınıf Matematik Doğrusal, Karesel, Karekök ve Rasyonel Fonksiyonların Ters Fonksiyonları Konu Anlatımı

Doğrusal, Karesel, Karekök ve Rasyonel Fonksiyonların Ters Fonksiyonları

1 inç 2,54 cm'dir. İnç cinsinden verilen bir TV ekranının köşegenini santimetreye çeviren fonksiyon f(x) = 2,54x'tir. Peki santimetre cinsinden verilen uzunluğu inçe çevirmek istersek? Bu kez bağımsız ve bağımlı değişkenlerin rolü yer değiştirir: x santimetre ⇒ x / 2,54 inç. Bir fonksiyonun yaptığı işlemi geri alan bu yeni fonksiyona ters fonksiyon denir. Döviz dönüşümleri, sıcaklık dönüşümleri, indirimli fiyattan etiket fiyatını bulma, ödenen ücretten gidilen yolu bulma gibi birçok durumda ters fonksiyonlar kullanılır.

Bu konunun sonunda şunları yapabiliyor olmalısın:

• bir fonksiyonun tersini bağımlı ve bağımsız değişkenlerin yerini değiştirerek bulmak,
• tersin de fonksiyon olması için gereken şartları (bire bir ve örten) açıklamak,
• fonksiyon ile tersinin tanım ve görüntü kümeleri arasındaki ilişkiyi kullanmak,
• fonksiyon ile tersinin grafiklerinin y = x doğrusuna göre simetrik olduğunu kullanmak,
• doğrusal, karesel, karekök ve rasyonel fonksiyonların terslerini uygun tanım ve değer kümeleriyle bulmak.

1. Ters Fonksiyon Kavramı

f fonksiyonunda bağımsız değişken (x) ile bağımlı değişken (y) yer değiştirildiğinde elde edilen ilişkiye f'nin tersi denir ve f⁻¹ ile gösterilir. f(a) = b ise f⁻¹(b) = a'dır.

Tersi bulmak için:

1. y = f(x) yazılır.
2. x ile y'nin yerleri değiştirilir.
3. Yeni eşitlikte y yalnız bırakılır; bulunan ifade f⁻¹(x)'tir.

Elde edilen ilişkinin fonksiyon olması için f'nin bire bir ve örten olması gerekir:

• f bire bir değilse iki farklı x aynı y'ye gider; tersine çevrilince bu y iki farklı değere gider, ters ilişki fonksiyon olmaz.
• f örten değilse değer kümesinde bir eleman açıkta kalır; tersine çevrilince bu eleman tanım kümesinde açıkta kalır.

f: A → B bire bir ve örtense f⁻¹: B → A bir fonksiyondur.

Grafik İlişkisi

f(a) = b ise f grafiğinde (a, b), f⁻¹ grafiğinde (b, a) noktası vardır. (a, b) ile (b, a) noktaları y = x doğrusuna göre simetriktir. Bu yüzden bir fonksiyonun tersinin grafiği, fonksiyonun grafiğinin y = x doğrusuna göre simetriğidir.

2. Doğrusal Fonksiyonların Tersi

a ≠ 0 olmak üzere f(x) = ax + b doğrusal fonksiyonu ℝ'den ℝ'ye bire bir ve örtendir; bu yüzden tersi her zaman vardır ve tersi de doğrusal fonksiyondur.

y = ax + b ⇒ x = ay + b ⇒ y = (x − b) / a ⇒ f⁻¹(x) = (x − b) / a.

Örnekler: f(x) = 2x + 4 ⇒ f⁻¹(x) = (x − 4)/2; g(x) = 4x ⇒ g⁻¹(x) = x/4; h(x) = x − 2 ⇒ h⁻¹(x) = x + 2; k(x) = 3x + 1 ⇒ k⁻¹(x) = (x − 1)/3. f(x) = x fonksiyonunun tersi kendisidir.

3. Rasyonel Fonksiyonların Tersi

f: ℝ − {0} → ℝ, f(x) = 1/x fonksiyonu örten değildir (0 görüntü değildir); bu tanımla tersi fonksiyon olmaz. Değer kümesi ℝ − {0} seçilirse f bire bir ve örten olur. y = 1/x ⇒ x = 1/y ⇒ y = 1/x; yani f⁻¹(x) = 1/x'tir, rasyonel referans fonksiyonunun tersi kendisidir.

Genel olarak g(x) = a/(x + r) + k fonksiyonu g: ℝ − {−r} → ℝ − {k} olarak tanımlanırsa bire bir ve örtendir. Tersi:

y = a/(x + r) + k ⇒ x = a/(y + r) + k ⇒ x − k = a/(y + r) ⇒ y + r = a/(x − k) ⇒ g⁻¹(x) = a/(x − k) − r.

g⁻¹: ℝ − {k} → ℝ − {−r}.

4. Karesel Fonksiyonların Tersi

f: ℝ → ℝ, f(x) = x² fonksiyonu bire bir değildir: f(−1) = f(1) = 1. Değişkenler yer değiştirildiğinde 1 değeri hem −1 hem 1 ile eşleşir; ters ilişki fonksiyon olmaz. Ayrıca negatif sayılar görüntü olmadığından örten de değildir.

Tanım kümesi tepe noktasının bir tarafıyla sınırlandırılır ve değer kümesi görüntü kümesine eşit seçilirse fonksiyon bire bir ve örten olur:

• f: [0, ∞) → [0, ∞), f(x) = x² ⇒ f⁻¹(x) = √x.
• f: (−∞, 0] → [0, ∞), f(x) = x² ⇒ f⁻¹(x) = −√x.

Genel olarak g(x) = (x + r)² + k için tanım kümesi [−r, ∞) ya da (−∞, −r], değer kümesi [k, ∞) seçilir.

5. Karekök Fonksiyonların Tersi

f: [0, ∞) → [0, ∞), f(x) = √x fonksiyonu bire bir ve örtendir. y = √x ⇒ x = √y ⇒ y = x². Tersi f⁻¹: [0, ∞) → [0, ∞), f⁻¹(x) = x²'dir. Tersin tanım kümesi [0, ∞) olduğundan x² burada yalnız negatif olmayan x'lerde alınır.

Değer kümesi ℝ alınırsa √x örten değildir; tersin fonksiyon olması için değer kümesi görüntü kümesine eşit seçilmelidir.

Genel olarak g(x) = √(x + r) + k fonksiyonu g: [−r, ∞) → [k, ∞) olarak tanımlanırsa tersi g⁻¹(x) = (x − k)² − r, g⁻¹: [k, ∞) → [−r, ∞)'dur.

6. Tersin Nitel Özellikleri

• f'nin tanım kümesi f⁻¹'in görüntü kümesi, f'nin görüntü kümesi f⁻¹'in tanım kümesidir.
• f artan ise f⁻¹ de artandır; f azalan ise f⁻¹ de azalandır. (Su deposu örneğinde hem h hem t artandır.)
• f'nin grafiği y = x doğrusunu kesiyorsa kesim noktası f⁻¹ grafiğinde de bulunur.
• f(a) = b ise f⁻¹(b) = a: Tersin bir değerini bulmak için önce f⁻¹'in formülünü bulmak gerekmez; f(a) = b denklemi çözülebilir.

Sınavlarda Sık Görülen Soru Kalıpları

Kalıp 1: Doğrusal Fonksiyonun Tersi

Kalıp 2: Tersin Değeri

Kalıp 3: Kısıtlı Tanım Kümesiyle Ters

Kalıp 4: Rasyonel Fonksiyonun Tersi

Sık Karıştırılan Noktalar

• f⁻¹ bir üs değildir; f⁻¹(x), 1/f(x) anlamına gelmez.
• Her fonksiyonun tersi fonksiyon değildir; bire bir ve örten olmalıdır.
• f: ℝ → ℝ, f(x) = x² fonksiyonunun tersi fonksiyon değildir; tanım kümesi sınırlandırılmalıdır.
• Karesel fonksiyonun tersinde ± işaretinden hangisinin seçileceğini tanım kümesi belirler.
• Tanım ve görüntü kümeleri ters fonksiyonda yer değiştirir.
• Simetri doğrusu y = x'tir; x ekseni ya da y ekseni değildir.
• Rasyonel fonksiyonda tersin tanım kümesinden çıkarılan değer, fonksiyonun hiç almadığı k değeridir.

Soru Çözerken Kullanılabilecek Yaklaşım

• y = f(x) yaz, x ile y'nin yerini değiştir, y'yi yalnız bırak.
• Fonksiyonun bire bir ve örten olması için gerekiyorsa tanım ve değer kümelerini sınırla.
• Tersin tanım kümesi = fonksiyonun görüntü kümesi; tersin görüntü kümesi = fonksiyonun tanım kümesi.
• Karesel fonksiyonun tersinde tanım kümesine göre √ ya da −√ seç.
• f⁻¹(b) için f(x) = b denklemini çöz.
• Grafik sorularında y = x'e göre simetriyi kullan: (a, b) ⇒ (b, a).

Konu Özeti

Bir fonksiyonun bağımlı ve bağımsız değişkenleri yer değiştirildiğinde elde edilen ilişki ters fonksiyondur ve f⁻¹ ile gösterilir. Tersin fonksiyon olması için fonksiyon bire bir ve örten olmalıdır. f: A → B ise f⁻¹: B → A'dır ve f⁻¹'in grafiği f'nin grafiğinin y = x doğrusuna göre simetriğidir. Doğrusal fonksiyonların tersi doğrusal fonksiyondur: ax + b ⇒ (x − b)/a. Rasyonel fonksiyon a/(x + r) + k, ℝ − {−r} → ℝ − {k} olarak tanımlanınca tersi a/(x − k) − r olur. Karesel fonksiyonların tersi için tanım kümesi tepe noktasının bir yanıyla sınırlandırılır; x² için [0, ∞)'da tersi √x, (−∞, 0]'da −√x'tir. Karekök fonksiyonu √(x + r) + k'nın tersi (x − k)² − r'dir ve tanım kümesi [k, ∞)'dur.