10. Sınıf Matematik Gerçek Sayılarda Fonksiyon Olma Şartları Konu Anlatımı

Gerçek Sayılarda Fonksiyon Olma Şartları

Bir tankerden dakikada 20 litre yakıt akıyorsa depoda kalan yakıt zamana bağlıdır. Bir taksi yolculuğunun ücreti gidilen kilometreye bağlıdır. Gün boyunca hava sıcaklığı saate bağlı olarak değişir. Bu durumların her birinde bir nicelik diğerine bağlıdır ve bu bağlılık bir fonksiyonla modellenebilir. Ancak her ilişki fonksiyon değildir. Bu konuda bir ilişkinin ne zaman fonksiyon olduğunu ve bir fonksiyonun grafiğinden hangi bilgilerin okunabileceğini öğreneceğiz.

Günlük hayattaki bazı durumlar doğrusal fonksiyonlarla ifade edilebilir; serbest düşme hareketi ve gün içindeki sıcaklık değişimi gibi bazı durumlarda ise doğrusal olmayan fonksiyonlar kullanılır.

Bu konunun sonunda şunları yapabiliyor olmalısın:

• bir ilişkinin fonksiyon olma şartlarını tanım ve değer kümesine göre incelemek,
• tanım kümesi, değer kümesi ve görüntü kümesini ayırt etmek,
• bir grafiğin fonksiyon belirtip belirtmediğine karar vermek,
• grafikten sıfırları, pozitif ve negatif olduğu aralıkları, artan ve azalan olduğu aralıkları, maksimum ve minimum değerleri bulmak,
• bire bir ve örten fonksiyonları ayırt etmek,
• tek ve çift fonksiyonları cebirsel ve grafik olarak incelemek.

1. Fonksiyonun Tanımı

A ≠ ∅ ve A ⊂ ℝ olmak üzere her x ∈ A için bir ve yalnız bir f(x) ∈ ℝ varsa f'ye A'dan ℝ'ye tanımlı bir fonksiyon denir ve f: A → ℝ, y = f(x) biçiminde gösterilir.

• A kümesi tanım kümesidir. x bağımsız değişken, y = f(x) bağımlı değişkendir.
• Fonksiyonun değerlerini aldığı küme (burada ℝ) değer kümesidir.
• Tanım kümesindeki elemanların görüntülerinden oluşan küme görüntü kümesidir ve f(A) ile gösterilir. Görüntü kümesi değer kümesinin alt kümesidir.

Bir ilişkinin fonksiyon olması için iki şart vardır:

1. Tanım kümesindeki her eleman eşlenmelidir (açıkta eleman kalmamalıdır).
2. Tanım kümesindeki her eleman yalnızca bir elemanla eşlenmelidir.

Değer kümesinde açıkta eleman kalması ya da değer kümesindeki bir elemanın birden çok elemanın görüntüsü olması fonksiyon olmayı engellemez.

2. Grafiğin Fonksiyon Belirtmesi

Bir grafiğin tanım kümesi A olan bir fonksiyon belirtmesi için A'daki her x değerine grafikte bir ve yalnız bir nokta karşılık gelmelidir. Buna göre:

• Tanım kümesindeki bir x için grafikte hiç nokta yoksa (açıkta eleman varsa) grafik fonksiyon belirtmez.
• Tanım kümesindeki bir x için grafikte birden çok nokta varsa (x, iki farklı y ile eşleşiyorsa) grafik fonksiyon belirtmez.

Örneğin bir çember grafiğinde çemberin iç kısmına karşılık gelen x değerleri iki farklı y değeriyle eşleşir; bu yüzden çember bir fonksiyon grafiği değildir. Yan yatmış bir eğri de aynı nedenle fonksiyon belirtmeyebilir.

Grafiğin fonksiyon olup olmadığı tanım kümesine de bağlıdır: Örneğin yalnızca [0, 3]'te çizilmiş bir grafik, f: [0, 5] → ℝ için fonksiyon değildir çünkü (3, 5] aralığındaki elemanlar açıkta kalır.

3. Fonksiyonun Nitel Özellikleri

Bir fonksiyonun grafiğinden pek çok bilgi okunabilir. Aşağıda tanım kümesi [−3, 6) olan bir f fonksiyonu düşünelim: grafik (−3, 3) noktasından başlayıp (−1, 5) noktasına kadar yükseliyor, sonra (2, 0)'dan geçerek (4, −4)'e iniyor, ardından 6'ya doğru yeniden yükseliyor ve x = 6 tanım kümesinde değil.

Tanım ve Görüntü Kümesi

Grafiğin x eksenindeki izdüşümü tanım kümesini, y eksenindeki izdüşümü görüntü kümesini verir. Örnekte tanım kümesi [−3, 6), görüntü kümesi [−4, 5]'tir.

Fonksiyonun Sıfırı

f(x) = 0 eşitliğini sağlayan x değerine fonksiyonun sıfırı denir. Grafikte sıfırlar, grafiğin x eksenini kestiği noktaların apsisleridir. Örnekte f'nin sıfırı 2'dir.

Pozitif ve Negatif Olduğu Aralıklar

Grafiğin x ekseninin üstünde kaldığı aralıklarda f(x) > 0 (fonksiyon pozitif), altında kaldığı aralıklarda f(x) < 0'dır (fonksiyon negatif). Örnekte f, [−3, 2) aralığında pozitif, (2, 6) aralığında negatiftir. Sıfırlar hem pozitif hem negatif aralığa dâhil edilmez.

Artan ve Azalan Olduğu Aralıklar

Bir aralıktaki her a > b için f(a) > f(b) ise f bu aralıkta artan, f(a) < f(b) ise azalandır. Grafikte soldan sağa yükselen kısımlar artan, alçalan kısımlar azalan kısımlardır. Örnekte f, [−3, −1]'de artan, [−1, 4]'te azalan, [4, 6)'da artandır.

Maksimum ve Minimum

Bir [a, b] aralığındaki her x için f(x) ≤ f(m) ise f(m) maksimum değer, f(x) ≥ f(n) ise f(n) minimum değerdir. Örnekte maksimum değer 5'tir ve x = −1 noktasında alınır; minimum değer −4'tür ve x = 4 noktasında alınır.

Dikkat: Maksimum değer bir y değeridir; bu değerin alındığı nokta ise bir x değeridir.

4. Bire Bir ve Örten Fonksiyonlar

Bire Bir Fonksiyon

Tanım kümesindeki farklı elemanların görüntüleri de farklıysa fonksiyon bire birdir: a ≠ b iken f(a) ≠ f(b). Bir fonksiyon iki farklı x için aynı değeri alıyorsa bire bir değildir. Bir gün içindeki sıcaklık fonksiyonu genellikle bire bir değildir; çünkü farklı saatlerde aynı sıcaklık ölçülebilir (örneğin saat 3 ve 10'da 0 °C). Tüm tanım kümesinde artan (ya da tüm tanım kümesinde azalan) bir fonksiyon bire birdir.

Örten Fonksiyon

f: A → B olmak üzere B'deki her y0 için y0 = f(x0) olacak biçimde en az bir x0 ∈ A varsa f örtendir. Başka bir deyişle görüntü kümesi değer kümesine eşitse fonksiyon örtendir; değer kümesinde açıkta eleman kalmaz.

Örneğin bir şehirde belirli bir güne ait tüm geçmiş ölçümlerin aralığı [−10, 16] değer kümesi, o günkü ölçümlerin aralığı [−8, 12] görüntü kümesi olarak alınırsa fonksiyon örten değildir; değer kümesi [−8, 12] alınırsa örtendir.

5. Tek ve Çift Fonksiyonlar

f: ℝ → ℝ olmak üzere her x için

• f(−x) = f(x) ise f çift fonksiyondur. Çift fonksiyonların grafikleri y eksenine göre simetriktir.
• f(−x) = −f(x) ise f tek fonksiyondur. Tek fonksiyonların grafikleri orijine göre simetriktir.

Bir fonksiyon tek ya da çift olmak zorunda değildir.

Tek bir fonksiyon orijinde tanımlıysa f(0) = −f(0) olduğundan f(0) = 0'dır; yani tek fonksiyonun grafiği orijinden geçer. Grafiğin bir kısmı verilen tek ya da çift fonksiyonun diğer kısmı simetriyle tamamlanabilir: Çift fonksiyonda (a, b) noktası grafikteyse (−a, b) de grafiktedir; tek fonksiyonda (a, b) noktası grafikteyse (−a, −b) de grafiktedir.

Sınavlarda Sık Görülen Soru Kalıpları

Kalıp 1: Fonksiyon Olma Şartı

Bir ilişkinin ya da grafiğin fonksiyon olup olmadığı sorulur.

Kalıp 2: Grafikten Nitel Özellik

Sıfır, işaret, artan–azalan, maksimum–minimum istenir.

Kalıp 3: Tek–Çift

f(−x) hesaplanır.

Kalıp 4: Bire Bir ve Örten

Farklı x'lerin aynı değeri alıp almadığı ve değer kümesinin tamamına ulaşılıp ulaşılmadığı incelenir.

Sık Karıştırılan Noktalar

• Değer kümesinde açıkta eleman kalması fonksiyon olmayı engellemez; tanım kümesinde kalması engeller.
• Görüntü kümesi değer kümesinin alt kümesidir; her zaman eşit değildir.
• Maksimum değer y değeridir; alındığı nokta x değeridir.
• Fonksiyonun sıfırları x eksenini kestiği noktaların apsisleridir; y eksenini kestiği nokta sıfır değildir.
• Sıfırlar pozitif ya da negatif aralıklara dâhil edilmez.
• Bire bir ile örten farklı özelliklerdir: Biri tanım kümesindeki farklı elemanlarla, diğeri değer kümesinin tamamıyla ilgilidir.
• Çift fonksiyon y eksenine, tek fonksiyon orijine göre simetriktir; bir fonksiyon ikisi de olmayabilir.

Soru Çözerken Kullanılabilecek Yaklaşım

• Önce tanım ve değer kümesini yaz.
• Fonksiyon olma için tanım kümesindeki her x'in tek bir karşılığı olup olmadığını kontrol et.
• Grafikte x ekseniyle kesişimleri, yükselme–alçalma değişimlerini ve uç noktaları işaretle.
• Açık ve kapalı uçlara dikkat ederek aralıkları yaz.
• Tek–çift için f(−x)'i hesaplayıp f(x) ve −f(x) ile karşılaştır.

Konu Özeti

A ⊂ ℝ olmak üzere A'daki her x için bir ve yalnız bir f(x) ∈ ℝ varsa f bir fonksiyondur. A tanım kümesi, ℝ (ya da belirtilen B) değer kümesi, görüntülerin kümesi f(A) görüntü kümesidir. Bir grafik, tanım kümesindeki her x'e tek bir nokta karşılık geliyorsa fonksiyon belirtir. Grafikten fonksiyonun sıfırları, pozitif ve negatif olduğu aralıklar, artan ve azalan olduğu aralıklar, maksimum ve minimum değerleri okunur. Farklı elemanların görüntüleri farklıysa fonksiyon bire bir, değer kümesindeki her eleman bir görüntüyse örtendir. f(−x) = f(x) olan fonksiyon çift (y eksenine göre simetrik), f(−x) = −f(x) olan fonksiyon tektir (orijine göre simetrik).