10. Sınıf Matematik Bir Doğal Sayının Asal Çarpanları ve Bölenleri Konu Anlatımı

Bir Doğal Sayının Asal Çarpanları ve Bölenleri

72 kg unu eşit kütleli paketlere, her paket tam sayı kilogram olacak şekilde ayırmak isteyen bir çiftçi kaç farklı paketleme yapabilir? 24 öğrenciyi eşit sayıda kişiden oluşan gruplara ayırmak isteyen bir öğretmenin kaç seçeneği vardır? Bu soruların cevabı, sayının bölenlerinde saklıdır. Bölenleri tek tek yazmadan saymanın yolu ise sayıyı asal çarpanlarına ayırmaktan geçer.

Bu konunun sonunda şunları yapabiliyor olmalısın:

• bir doğal sayıyı asal çarpanlarına ayırmak ve üslü biçimde yazmak,
• bir sayının asal çarpanlarını ve pozitif tam sayı bölenlerini belirlemek,
• pozitif bölen sayısını asal çarpanların üslerinden hesaplamak,
• negatif bölenleri ve tam sayı bölenlerinin sayısını bulmak,
• bölenleri paketleme, gruplama, dikdörtgen boyutu ve şifreleme gibi problemlerde kullanmak.

1. Asal Sayı ve Asal Çarpanlara Ayırma

1'den ve kendisinden başka pozitif böleni olmayan, 1'den büyük doğal sayılara asal sayı denir: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ... En küçük asal sayı 2'dir ve 2 tek çift asal sayıdır. 1 asal sayı değildir.

1'den büyük her tam sayı ya asal bir sayıdır ya da asal sayıların çarpımı olarak yazılabilir. Örneğin 11 asaldır; 12 ise 12 = 2 · 2 · 3 biçiminde asal sayıların çarpımıdır. Birden büyük her tam sayı sonlu sayıda asal sayının çarpımı olarak yazılabilir ve bu yazılış (çarpanların sırası dışında) tek türlüdür.

A ve n pozitif tam sayılar, p1, p2, ..., pn farklı asal sayılar ve a1, a2, ..., an pozitif tam sayılar olmak üzere

A = p1^a1 · p2^a2 · ... · pn^an

yazılışına A'nın asal çarpanlarına ayrılışı denir. p1, p2, ..., pn sayıları A'nın asal çarpanlarıdır.

Bir sayıyı asal çarpanlarına ayırmak için sayı en küçük asal sayıdan başlayarak bölünebildiği sürece asal sayılara bölünür.

2. Pozitif Tam Sayı Bölenleri

A'yı kalansız bölen pozitif tam sayılara A'nın pozitif tam sayı bölenleri denir. Örneğin 24'ün pozitif bölenleri 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24'tür.

Bölenler çiftler hâlinde bulunur: d sayısı A'nın böleniyse A / d de A'nın bölenidir. 24 için (1, 24), (2, 12), (3, 8), (4, 6) çiftleri vardır. Bu çiftler “eşit paketleme” problemlerinin bütün çözümlerini verir: 72 kg un 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36 veya 72 kg'lık paketlere konabilir; her durumda paket sayısı ile paketteki un miktarının çarpımı 72'dir. 5 ve 7 kilogramlık paketler kullanılamaz çünkü 5 ve 7, 72'nin böleni değildir.

Pozitif Bölen Sayısı

24 = 2³ · 3 sayısının her pozitif böleni 2^x · 3^y biçimindedir; burada x, 0'dan 3'e kadar 4 farklı değer, y ise 0 ya da 1 olmak üzere 2 farklı değer alabilir. Her x seçimi her y seçimiyle birleşebildiği için bölen sayısı 4 · 2 = 8'dir.

Genel olarak A = p1^a1 · p2^a2 · ... · pn^an ise A'nın pozitif tam sayı bölenlerinin sayısı

(a1 + 1) · (a2 + 1) · ... · (an + 1)

olur. Her üs için “+1” eklenmesinin nedeni, o asal sayının bölende hiç bulunmaması (üssün 0 olması) durumunun da sayılmasıdır.

Bazı özel durumlar:

• Asal sayının pozitif bölen sayısı 2'dir (1 ve kendisi).
• p asal ise p² sayısının pozitif bölenleri 1, p ve p²'dir; bölen sayısı 3'tür. Pozitif bölen sayısı 3 olan sayılar asal sayıların kareleridir (4, 9, 25, 49, ...).
• 1'in yalnızca 1 pozitif böleni vardır.

3. Negatif Bölenler ve Tam Sayı Bölenleri

d, A'nın pozitif böleni ise −d de A'yı tam böler. Örneğin 6'nın pozitif bölenleri 1, 2, 3, 6; negatif bölenleri −1, −2, −3, −6'dır. Her pozitif bölene bir negatif bölen karşılık geldiğinden

• negatif bölenlerin sayısı pozitif bölenlerin sayısına eşittir,
• tam sayı bölenlerinin sayısı pozitif bölen sayısının 2 katıdır.

4. Bölenlerle Problem Çözme

Gruplama ve Paketleme

Dikdörtgen Boyutları

Alanı A olan ve kenar uzunlukları tam sayı olan dikdörtgenlerin kenarları, çarpımı A olan bölen çiftleridir. 60 m²'lik dikdörtgen bir alanın tam sayı kenarları (1, 60), (2, 30), (3, 20), (4, 15), (5, 12), (6, 10) olabilir. Bu dikdörtgenlerin çevreleri sırasıyla 122, 64, 46, 38, 34, 32 m'dir; kenarlar birbirine yaklaştıkça çevre azalır. En az çit için 6 m × 10 m seçilir.

Asal Çarpanlarla Şifreleme

Benzer bir kodlamada sayı 2^a · 3^b · 5^c · 7^d · ... biçiminde, en küçük asaldan başlayıp hiçbir asal atlanmadan yazılır ve üsler sırayla yazılarak kod oluşturulur. Örneğin 15 = 2⁰ · 3¹ · 5¹ ⇒ kod 011; 20 = 2² · 3⁰ · 5¹ ⇒ kod 201. Asal çarpanlara ayrılış tek türlü olduğu için her kod tek bir sayıya karşılık gelir.

Mükemmel Sayılar

Kendisi hariç pozitif bölenlerinin toplamı kendisine eşit olan sayılara mükemmel sayı denir. 6 mükemmel sayıdır: 1 + 2 + 3 = 6. Öklit–Euler teoremine göre 2^p − 1 asal ise 2^(p−1) · (2^p − 1) mükemmel sayıdır. p = 3 için 2³ − 1 = 7 asaldır ve 4 · 7 = 28 bulunur: 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28. p = 5 için 2⁵ − 1 = 31 asaldır ve 16 · 31 = 496 bulunur.

Sınavlarda Sık Görülen Soru Kalıpları

Kalıp 1: Pozitif Bölen Sayısı

Asal çarpanlara ayırıp formülü uygula.

Kalıp 2: Tam Sayı Bölenleri

Pozitif bölen sayısının 2 katı alınır.

Kalıp 3: Koşullu Bölen Sayma

Gruplama veya paketlemede bazı bölenler koşulla elenir.

Kalıp 4: Bölen Sayısından Sayıyı Bulma

Bölen sayısı verilip sayı istenir.

Sık Karıştırılan Noktalar

• 1 asal sayı değildir; en küçük asal sayı 2'dir.
• Asal çarpan sayısı ile pozitif bölen sayısı farklıdır: 24'ün 2 asal çarpanı, 8 pozitif böleni vardır.
• Bölen sayısında üslere 1 eklenir; üsler doğrudan çarpılmaz.
• Formül yalnız sayı asal çarpanlarına tam ayrıldıktan sonra uygulanır: 12² = 144 = 2⁴ · 3² ⇒ 15 bölen (12'nin 6 böleninin karesi değil).
• Tam sayı bölenleri sorulursa negatif bölenler de sayılır.
• Pozitif bölen sayısı tek olan sayılar tam karelerdir; çünkü bölenler çiftler hâlinde eşleşir, yalnız karekök kendisiyle eşleşir.
• Koşullu sorularda 1 ve sayının kendisi gibi uç bölenlerin koşulu sağlayıp sağlamadığını kontrol et.

Soru Çözerken Kullanılabilecek Yaklaşım

• Sayıyı en küçük asaldan başlayarak böl ve üslü biçimde yaz.
• Bölen sayısı için üsleri 1 artırıp çarp; tam sayı bölenleri için 2 ile çarp.
• Gerçek yaşam probleminde “eşit parça” ifadesini gör ve bölen kümesini yaz.
• Koşulları (en az, en çok) bölen çiftleri üzerinde uygula.
• Bölen sayısı verildiyse olası üs kalıplarını düşün: 2 ⇒ asal, 3 ⇒ asalın karesi.

Konu Özeti

1'den büyük her tam sayı ya asaldır ya da asal sayıların çarpımı olarak tek türlü yazılabilir. A = p1^a1 · p2^a2 · ... · pn^an yazılışında p'ler A'nın asal çarpanlarıdır. A'nın pozitif bölen sayısı (a1 + 1) · (a2 + 1) · ... · (an + 1)'dir; negatif bölenlerin sayısı pozitif bölenlerin sayısına eşittir ve tam sayı bölenlerinin sayısı bunun 2 katıdır. Bölenler çiftler hâlinde bulunur; bu çiftler eşit paylaştırma, gruplama ve tam sayı kenarlı dikdörtgen problemlerinin çözümlerini verir. Asal çarpanlara ayrılışın tek türlü olması şifreleme ve kodlama yöntemlerinde kullanılır.