10. Sınıf Matematik Bölünebilme Konu Anlatımı

Bölünebilme

Bir tam açının neden 360 derece seçildiğini hiç düşündün mü? Babilliler 60 tabanlı bir sayı sistemi kullanıyordu ve 60, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 gibi pek çok sayıya tam bölünebiliyordu. 360 da 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10 gibi sayıların hepsine tam bölünür; bu da hesapları kolaylaştırır. Bir sayının başka bir sayıya tam bölünüp bölünmediğini ya da bölümden kalanı, bölme işlemini yapmadan bulabilir miyiz? Bölünebilme kuralları bu işi görür.

Bu konunun sonunda şunları yapabiliyor olmalısın:

• bir doğal sayının 2, 5, 10, 4 ve 8 ile bölümünden kalanı son basamaklarına bakarak bulmak,
• bir doğal sayının 3 ve 9 ile bölümünden kalanı rakamları toplamıyla bulmak,
• bu kuralları basamak çözümlemesi ve bölme algoritmasıyla doğrulamak,
• aralarında asal çarpanlara ayrılan sayılarla (6, 12, 15, 45 gibi) bölünebilmeyi incelemek,
• bilinmeyen rakamları bölünebilme koşullarından bulmak ve kalan problemlerini çözmek.

1. Bölme Algoritması ve Basamak Çözümlemesi

a, b, c ve k doğal sayılar olmak üzere a = b · c + k ve k < b ise a'nın b ile bölümünden kalan k'dir. Kalan her zaman bölenden küçüktür.

Bir sayının basamak değerlerinin toplamı biçiminde yazılmasına çözümleme denir. Beş basamaklı abcde sayısı için

abcde = 10 000a + 1000b + 100c + 10d + e

yazılır. Bölünebilme kurallarının hepsi bu yazılıştan elde edilir.

2. 2, 5 ve 10 ile Bölünebilme

abcde = 10 · (1000a + 100b + 10c + d) + e biçiminde yazılabilir. 10 hem 2'nin hem 5'in katı olduğundan ilk kısım 2'ye, 5'e ve 10'a tam bölünür. Kalan yalnızca e'ye bağlıdır:

• Bir doğal sayının 2 ile bölümünden kalan, birler basamağındaki rakamın 2 ile bölümünden kalana eşittir. Son rakam çiftse kalan 0, tekse 1'dir.
• Bir doğal sayının 5 ile bölümünden kalan, birler basamağındaki rakamın 5 ile bölümünden kalana eşittir. Sayı 5'e tam bölünüyorsa son rakam 0 veya 5'tir.
• Bir doğal sayının 10 ile bölümünden kalan, birler basamağındaki rakama eşittir.

Örneğin 1279'un 2 ile bölümünden kalan 1, 5 ile bölümünden kalan 4, 10 ile bölümünden kalan 9'dur.

3. 4 ve 8 ile Bölünebilme

100, 4'ün katıdır; 1000, 8'in katıdır. Bu yüzden

abcde = 4 · (2500a + 250b + 25c) + de

olur ve 4 ile bölümden kalan son iki basamağın oluşturduğu de sayısına bağlıdır. Benzer şekilde abcde = 8 · (1250a + 125b) + cde olduğundan 8 ile bölümden kalan son üç basamağa bağlıdır.

• Bir doğal sayının 4 ile bölümünden kalan, son iki basamağını oluşturan sayının 4 ile bölümünden kalana eşittir.
• Bir doğal sayının 8 ile bölümünden kalan, son üç basamağını oluşturan sayının 8 ile bölümünden kalana eşittir.

4. 3 ve 9 ile Bölünebilme

10 = 9 + 1, 100 = 99 + 1, 1000 = 999 + 1 olduğundan

abcde = 9999a + 999b + 99c + 9d + (a + b + c + d + e) = 9 · (1111a + 111b + 11c + d) + (a + b + c + d + e)

yazılır. İlk kısım 9'a dolayısıyla 3'e de tam bölünür. Bu yüzden

• Bir doğal sayının 3 ile bölümünden kalan, rakamları toplamının 3 ile bölümünden kalana eşittir.
• Bir doğal sayının 9 ile bölümünden kalan, rakamları toplamının 9 ile bölümünden kalana eşittir.

Örneğin 1472 için rakamlar toplamı 14'tür; 1472'nin 3 ile bölümünden kalan 2, 9 ile bölümünden kalan 5'tir.

Rakamların Yer Değiştirmesi ve 9

Üç basamaklı ABC sayısının rakamlarının yerleri değiştirilerek elde edilen sayı ile ABC arasındaki fark her zaman 9'un katıdır. Örneğin

|ABC − ACB| = |9(B − C)|, |ABC − CBA| = |99(A − C)|, |ABC − BAC| = |90(A − B)|.

Bunun nedeni, iki sayının rakamları toplamının aynı olması ve bu yüzden 9 ile bölümden kalanlarının eşit olmasıdır. Bu özellik hatalı bir sonucu yakalamak için kullanılabilir: Böyle bir farkın 9'a bölünmediği görülürse işlemde hata vardır.

5. Aralarında Asal Çarpanlarla Bölünebilme

60 sayısı 2 ve 3 ile tam bölündüğü için 6 ile de tam bölünür. 80 sayısı 4 ve 5 ile tam bölündüğü için 20 ile de tam bölünür. Buradaki 2 ile 3, 4 ile 5 aralarında asaldır.

• Aralarında asal iki veya daha fazla sayının her birine tam bölünen sayı, bu sayıların çarpımına da tam bölünür.
• Bir doğal sayı başka bir doğal sayıya tam bölünüyorsa, bölen sayının aralarında asal çarpanlarına da tam bölünür. Örneğin 45 ile bölünen sayı 5 ve 9 ile; 12 ile bölünen sayı 3 ve 4 ile bölünür.

Dikkat: Çarpanlar aralarında asal olmalıdır. 60 sayısı 2 ve 4 ile bölünür ama 8 ile bölünmez; çünkü 2 ve 4 aralarında asal değildir.

Bu yüzden 6 ile bölünebilme için 2 ve 3, 12 için 3 ve 4, 15 için 3 ve 5, 18 için 2 ve 9, 36 için 4 ve 9, 45 için 5 ve 9, 72 için 8 ve 9 kuralları birlikte kullanılır.

Kalanlar Arasındaki İlişki

Bir sayının 12'ye bölümünden kalan a ise bu sayının 3'e ve 4'e bölümünden kalanlar, a'nın 3'e ve 4'e bölümünden kalanlara eşittir. Örneğin 175'in 12'ye bölümünden kalan 7'dir; 175'in 3'e bölümünden kalan 7'nin 3'e bölümünden kalan 1, 4'e bölümünden kalan 7'nin 4'e bölümünden kalan 3'tür. Aynı şekilde 175'in 45'e bölümünden kalan 40 olduğundan 5'e bölümünden kalan 0, 9'a bölümünden kalan 4'tür.

Tersi de kullanılabilir: Bir sayının 15'e bölümünden kalan 8 ise 3'e bölümünden kalan 2, 5'e bölümünden kalan 3'tür.

6. Kalan Bulma Yöntemlerini Karşılaştırma

Kalan iki yolla bulunabilir:

• Basamak çözümlemesi: 72 = 70 + 2 ⇒ 5 ile bölümden kalan 0 + 2 = 2.
• Kat ilişkisi: 72 = 5 · 14 + 2 ⇒ kalan 2.

Küçük sayılarda kat ilişkisi hızlıdır; büyük sayılarda bölünebilme kuralları ve basamak çözümlemesi işlemi çok kısaltır. Basamak çözümlemesi ayrıca kuralların neden doğru olduğunu gösterir.

Sınavlarda Sık Görülen Soru Kalıpları

Kalıp 1: Doğrudan Kalan

Kural uygulanarak kalan bulunur.

Kalıp 2: Bilinmeyen Rakam

Bölünebilme koşulu verilip rakam istenir.

Kalıp 3: Birleşik Bölen

Aralarında asal çarpanlara ayırarak çözülür.

Kalıp 4: Kalanlar Arası İlişki

Büyük bölene göre kalandan küçük bölenlere göre kalan bulunur.

Sık Karıştırılan Noktalar

• 4 için son iki, 8 için son üç basamak kullanılır; son rakam yetmez.
• 3 ve 9 kuralında rakamlar toplanır; son rakama bakılmaz.
• Kalan her zaman bölenden küçüktür.
• 2 ve 4'e bölünen sayı 8'e bölünmek zorunda değildir; çarpanlar aralarında asal olmalıdır.
• 9'a bölünen her sayı 3'e de bölünür; tersi doğru değildir.
• 10'a bölümden kalan doğrudan birler basamağıdır.
• Rakamların farklı olması koşulu bazı çözümleri eler.

Soru Çözerken Kullanılabilecek Yaklaşım

• Böleni aralarında asal çarpanlarına ayır (örneğin 45 = 5 · 9).
• Önce birler basamağını belirleyen kuralı uygula.
• Sonra rakamlar toplamı koşulunu yaz ve bilinmeyeni bul.
• Rakam koşullarını (0–9 arası, farklı rakam, ilk basamak 0 olamaz) kontrol et.
• “Kalan” sorularında sayıyı bölen · bölüm + kalan biçiminde düşün.

Konu Özeti

Bölme algoritmasına göre a = b · c + k ve k < b ise k kalandır. Basamak çözümlemesi bölünebilme kurallarını gösterir: 2, 5 ve 10 ile bölümden kalan birler basamağına, 4 ile son iki basamağa, 8 ile son üç basamağa, 3 ve 9 ile rakamlar toplamına bağlıdır. Aralarında asal sayıların her birine bölünen sayı çarpımlarına da bölünür; bir sayı bir sayıya bölünüyorsa onun aralarında asal çarpanlarına da bölünür. Bir sayının 12'ye bölümünden kalan, 3 ve 4'e bölümden kalanları belirler. Bu kurallar bilinmeyen rakamları bulmada, kalan problemlerinde ve hatalı sonuçları yakalamada kullanılır.