10. Sınıf Matematik En Büyük Ortak Bölen ve En Küçük Ortak Kat Konu Anlatımı

En Büyük Ortak Bölen ve En Küçük Ortak Kat

12 litre pekmez ile 18 litre tahin birbirine karıştırılmadan eşit hacimli şişelere doldurulacaksa şişeler kaç litrelik olabilir? Biri 12 dakikada, diğeri 18 dakikada bir durağa uğrayan iki otobüs aynı anda duraktan ayrıldıktan sonra en erken ne zaman yeniden buluşur? Bir bahçenin kenarlarına eşit aralıklarla en az sayıda ağaç dikmek için ağaçlar arasındaki uzaklık ne olmalıdır? Bu soruların ilki ve sonuncusu ortak bölenlerle, ikincisi ortak katlarla ilgilidir.

Bu konunun sonunda şunları yapabiliyor olmalısın:

• iki veya daha çok doğal sayının ortak bölenlerini ve en büyük ortak bölenini (EBOB) bulmak,
• iki veya daha çok doğal sayının ortak katlarını ve en küçük ortak katını (EKOK) bulmak,
• EBOB ve EKOK'u listeleme, asal çarpan algoritması, asal çarpan ağacı ve cebirsel gösterimle hesaplamak,
• aralarında asal sayıların EBOB ve EKOK'unu yorumlamak,
• A · B = EBOB(A, B) · EKOK(A, B) bağıntısını kullanmak,
• EBOB ve EKOK'u günlük hayat problemlerinde ayırt edip uygulamak.

1. Ortak Bölen ve EBOB

İki veya daha çok sayının her birini kalansız bölen sayıya bu sayıların ortak böleni denir. 12'nin pozitif bölenleri 1, 2, 3, 4, 6, 12; 18'in pozitif bölenleri 1, 2, 3, 6, 9, 18'dir. Ortak bölenler 1, 2, 3, 6'dır. Bu yüzden 12 litre pekmez ve 18 litre tahin 1, 2, 3 veya 6 litrelik şişelere ayrılabilir.

En az biri sıfırdan farklı iki veya daha çok doğal sayının pozitif ortak bölenlerinin en büyüğüne bu sayıların en büyük ortak böleni denir ve EBOB(A, B) ile gösterilir. EBOB(12, 18) = 6'dır.

Bazı özellikler:

• Farklı doğal sayıların pozitif ortak bölenlerinin en küçüğü her zaman 1'dir.
• EBOB, sayıların en küçüğünden büyük olamaz.
• Biri diğerinin katı olan iki sayının EBOB'u küçük olan sayıdır: EBOB(6, 12) = 6.
• 1'den başka pozitif ortak böleni olmayan sayılara aralarında asal sayılar denir. Aralarında asal sayıların EBOB'u 1'dir: EBOB(4, 9) = 1. Aralarında asal sayıların kendilerinin asal olması gerekmez.
• Ortak bölenlerin hepsi EBOB'un bölenleridir: 12 ve 18'in ortak bölenleri 1, 2, 3, 6; bunlar 6'nın bölenleridir.

2. Ortak Kat ve EKOK

İki veya daha çok sayının her birinin katı olan sayıya bu sayıların ortak katı denir. 4'ün katları 4, 8, 12, 16, 20, 24, ...; 6'nın katları 6, 12, 18, 24, ...'tür. Ortak katlar 12, 24, 36, ...'dır.

En az biri sıfırdan farklı iki veya daha çok doğal sayının pozitif ortak katlarının en küçüğüne bu sayıların en küçük ortak katı denir ve EKOK(A, B) ile gösterilir. EKOK(4, 6) = 12'dir.

• Ortak katların sonu yoktur; bu yüzden en büyük ortak kat yoktur.
• EKOK, sayıların en büyüğünden küçük olamaz.
• Biri diğerinin katı olan iki sayının EKOK'u büyük olan sayıdır: EKOK(6, 12) = 12.
• Aralarında asal sayıların EKOK'u çarpımlarıdır: EKOK(5, 6) = 30.
• Ortak katların hepsi EKOK'un katlarıdır.

3. EBOB ve EKOK'u Bulma Yöntemleri

Listeleme

Bölenler veya katlar yazılıp ortak olanlar seçilir. Küçük sayılarda kullanışlıdır; büyük sayılarda uzun sürer.

Asal Çarpanlara Ayırma (Cebirsel Gösterim)

Sayılar asal çarpanlarına ayrılır:

• EBOB için ortak asal çarpanlar alınır ve her birinin en küçük üssü kullanılır.
• EKOK için bütün asal çarpanlar alınır ve her birinin en büyük üssü kullanılır.

Asal Çarpan Algoritması (Ortak Bölme)

Sayılar yan yana yazılır ve en küçük asal sayıdan başlanarak bölünür; bölünemeyen sayı aynen aşağı indirilir. Tüm sayılar 1 olana kadar devam edilir.

• Soldaki bölenlerin tamamının çarpımı EKOK'u verir.
• Yalnızca bütün sayıları aynı anda bölen asal sayıların çarpımı EBOB'u verir.

Örneğin 8, 12 ve 18 için: 2 hepsini böler (4, 6, 9); 2 yalnız ilk ikisini böler (2, 3, 9); 2 yalnız ilkini böler (1, 3, 9); 3 ikisini böler (1, 1, 3); 3 sonuncuyu böler (1, 1, 1). EKOK = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 = 72. Hepsini aynı anda bölen yalnızca ilk 2 olduğundan EBOB = 2.

Asal Çarpan Ağacı

Her sayı dallara ayrılarak asal çarpanlarına bölünür; elde edilen çarpanlar cebirsel gösterimde kullanılır.

4. EBOB ile EKOK Arasındaki İlişki

60 = 2² · 3 · 5 ve 126 = 2 · 3² · 7 için EBOB = 2 · 3 = 6, EKOK = 2² · 3² · 5 · 7 = 1260. 60 · 126 = 7560 = 6 · 1260'tır.

Pozitif iki tam sayının çarpımı, bu sayıların EBOB'u ile EKOK'unun çarpımına eşittir:

A · B = EBOB(A, B) · EKOK(A, B).

Bunun nedeni şudur: Her asal çarpan için iki sayıdaki üslerden küçüğü EBOB'a, büyüğü EKOK'a gider; iki üssün toplamı ise A · B'deki üsse eşittir.

Bu bağıntı yalnız iki sayı için geçerlidir. Bir sayı ile EBOB ve EKOK biliniyorsa diğer sayı bulunabilir.

5. EBOB ve EKOK Problemleri

Problemde hangisinin kullanılacağına karar vermek için şuna bak: Büyük bir bütün eşit parçalara mı bölünüyor (EBOB), yoksa küçük parçalar yan yana getirilerek ortak bir uzunluk, zaman ya da sayı mı oluşturuluyor (EKOK)?

Eşit Aralıklarla Ağaç Dikme (EBOB)

Kapalı bir şeklin (örneğin üçgen bahçenin) çevresine köşeler dâhil eşit aralıklarla ağaç dikilirse başa ve sona aynı ağaç geldiğinden ağaç sayısı çevre / aralık olur. Kenarları 24, 40 ve 48 m olan üçgen bahçe için aralık EBOB(24, 40, 48) = 8 m, ağaç sayısı 112 / 8 = 14'tür.

Uç Uca Dizme ve Buluşma (EKOK)

Kare Oluşturma (EKOK)

Kenarları a ve b olan eş dikdörtgen fayanslarla boşluksuz ve en az sayıda fayans kullanılarak kare oluşturulacaksa karenin kenarı EKOK(a, b) olur. Kare bir alan eş kare parçalara en az sayıda bölünecekse ise kenar EBOB ile bulunur.

Kalanlı Problemler (EKOK)

Bu tür sorularda her bölme işleminde “bölen − kalan” farkı aynıysa (burada 3 − 2 = 5 − 4 = 9 − 8 = 1) sayı, EKOK'un katlarından bu fark çıkarılarak bulunur.

Sınavlarda Sık Görülen Soru Kalıpları

Kalıp 1: Asal Çarpanlarla EBOB ve EKOK

Sayılar asal çarpanlarına ayrılır.

Kalıp 2: A · B = EBOB · EKOK

Bir sayı veya çarpım istenir.

Kalıp 3: Eşit Aralık ve Eşit Parça

EBOB ile aralık veya parça uzunluğu bulunur.

Kalıp 4: Kalanlı Sayma

Bölen − kalan farkı sabittir.

Sık Karıştırılan Noktalar

• EBOB'da ortak asal çarpanların en küçük üssü, EKOK'ta bütün asal çarpanların en büyük üssü alınır; tersine çevrilmemelidir.
• EBOB sayılardan büyük, EKOK sayılardan küçük olamaz.
• Aralarında asal sayıların kendisi asal olmak zorunda değildir: 8 ve 9 aralarında asaldır.
• A · B = EBOB · EKOK yalnız iki sayı için geçerlidir; üç sayıda kullanılmaz.
• Açık bir yolda ağaç sayısı aralık sayısının 1 fazlası, kapalı bir çevrede aralık sayısına eşittir.
• En büyük ortak kat yoktur; ortak bölenlerin en küçüğü her zaman 1'dir.
• Asal çarpan algoritmasında yalnız bütün sayıları birlikte bölen asallar EBOB'a girer.

Soru Çözerken Kullanılabilecek Yaklaşım

• Problemde EBOB mu EKOK mu gerektiğini “bölme mi, birleştirme mi?” sorusuyla belirle.
• Sayıları asal çarpanlarına ayır; üsleri karşılaştır.
• Bir sayı eksikse A · B = EBOB · EKOK bağıntısını kullan; sonucu kontrol et.
• Kalanlı sorularda bölen − kalan farkını bul; sayıyı EKOK'un katlarına göre yaz.
• Ağaç ve parça sayısı sorularında uzunluğu EBOB'a bölüp açık/kapalı şekil durumuna göre 1 ekle veya ekleme.

Konu Özeti

İki veya daha çok sayının pozitif ortak bölenlerinin en büyüğü EBOB, pozitif ortak katlarının en küçüğü EKOK'tur. EBOB ortak asal çarpanların en küçük üsleriyle, EKOK bütün asal çarpanların en büyük üsleriyle bulunur; listeleme, asal çarpan algoritması ve asal çarpan ağacı da kullanılabilir. Aralarında asal sayıların EBOB'u 1, EKOK'u çarpımlarıdır; biri diğerinin katı olan sayılarda EBOB küçük, EKOK büyük sayıdır. İki pozitif tam sayı için A · B = EBOB · EKOK'tur. Eşit parçalara ayırma ve eşit aralık problemlerinde EBOB; yan yana dizme, buluşma, kare oluşturma ve sabit farklı kalan problemlerinde EKOK kullanılır.