10. Sınıf Matematik Gerçek Sayılarda Tanımlı Fonksiyonlarla İfade Edilebilen Denklem ve Eşitsizlikler Konu Anlatımı

Gerçek Sayılarda Tanımlı Fonksiyonlarla İfade Edilebilen Denklem ve Eşitsizlikler

Bir tiyatro kulübü bilet fiyatını 40 TL'den başlatıyor ve 300 izleyici bekliyor. Yapılan araştırmaya göre bilet fiyatındaki her 5 TL'lik artış 15 izleyici kaybına yol açıyor. Kulüp en yüksek geliri elde etmek için bileti kaç liraya satmalıdır? Gelirin belirli bir tutarın altına düşmemesi için fiyat en çok kaç lira olabilir? Bu tür soruların cevabı, bir fonksiyonun sıfırlarını bulmaya, fonksiyonun hangi aralıkta pozitif ya da negatif olduğunu belirlemeye ve fonksiyonun en büyük ya da en küçük değerini hesaplamaya dayanır. Yani gerçek yaşam problemleri, fonksiyonlarla ifade edilen denklem ve eşitsizliklere dönüşür.

Denklem ve eşitsizliklerin tarihi çok eskidir. Hintli matematikçi Brahmagupta ikinci dereceden denklemlerin çözümü üzerinde çalışmış; Harizmi ve Abdülhamid bin Türk bu denklemleri sistematik yöntemlerle ve geometrik yaklaşımlarla incelemiştir.

Bu konunun sonunda şunları yapabiliyor olmalısın:

• f(x) = 0, f(x) < 0, f(x) ≤ 0, f(x) > 0 ve f(x) ≥ 0 ifadelerini cebirsel ve grafik olarak çözmek,
• karesel bir ifadeyi birinci dereceden çarpanlarına ayırıp işaret tablosu yapmak,
• f(x) = ax² + bx + c fonksiyonunun maksimum veya minimum değerini bulmak,
• iki fonksiyonu f(x) = g(x), f(x) < g(x), f(x) > g(x) biçiminde karşılaştırmak,
• elde edilen çözümü problem bağlamında yorumlamak ve bağlama uymayan değerleri elemek.

1. Fonksiyonun Sıfırları ve f(x) = 0 Denklemi

Bir f fonksiyonunda f(x) = 0 eşitliğini sağlayan x değerlerine fonksiyonun sıfırları denir. Grafikte sıfırlar, grafiğin x eksenini kestiği ya da x eksenine değdiği noktaların apsisleridir.

Karesel bir fonksiyonun sıfırlarını bulmak için birkaç yol kullanılabilir:

• **Deneme-yanılma (tablo):** x yerine farklı değerler yazılır, f(x)'in sıfır olduğu değerler ve işaretin değiştiği yerler tablodan okunur.
• **Tam kareye tamamlama:** İfade a(x − r)² + k biçimine getirilir, ardından iki kare farkı ile birinci dereceden çarpanlara ayrılır.
• **Grafik:** Grafik çizilir (elle veya matematik yazılımıyla), x eksenini kestiği noktalar okunur.

Deneme-yanılma tablosunda da aynı sonuca ulaşılır: x = 3 için f(3) = −9 + 42 − 40 = −7, x = 4 için f(4) = 0, x = 7 için f(7) = 9, x = 10 için f(10) = 0, x = 11 için f(11) = −7'dir. Değerlerin işareti 4 ve 10'da değişir.

2. İşaret Tablosu ile Eşitsizlik Çözümü

Karesel bir ifade birinci dereceden iki çarpana ayrıldıktan sonra her çarpanın işareti ayrı ayrı incelenir. Birinci dereceden bir ifade, sıfırının solunda ve sağında farklı işaret alır. Çarpımın işareti, çarpanların işaretlerinin çarpımıdır.

Eşitsizlikte "<" ya da ">" varsa sıfırlar çözüme katılmaz (açık aralık); "≤" ya da "≥" varsa sıfırlar çözüme dâhil edilir (kapalı uç).

Grafik yorumu da aynıdır: h fonksiyonunun grafiği −2 ile 4 arasında x ekseninin altında, bu aralığın dışında x ekseninin üstündedir. Kolları yukarı doğru olan (a > 0) bir parabolde fonksiyon iki sıfırın arasında negatif, dışında pozitiftir. Kolları aşağı doğru olan (a < 0) bir parabolde ise iki sıfırın arasında pozitif, dışında negatiftir.

Problem Bağlamında Yorum

Bir göletin belirli bir noktasındaki derinlik ya da bir firmanın kârı gibi büyüklükler karesel fonksiyonlarla modellendiğinde f(x) > 0 eşitsizliği "kâr ediliyor", f(x) = 0 "ne kâr ne zarar", f(x) < 0 "zarar ediliyor" gibi anlamlara gelir. Bulunan aralık, problemdeki doğal kısıtlarla (uzunluk, süre, kişi sayısı pozitif olmalıdır; kişi sayısı tam sayıdır) birlikte değerlendirilir.

3. Karesel Fonksiyonun Maksimum ve Minimum Değeri

a, b, c gerçek sayılar ve a ≠ 0 olmak üzere f(x) = ax² + bx + c fonksiyonu için:

• a > 0 ise x = −b/(2a) noktasında **minimum** değeri vardır ve bu değer f(−b/(2a))'dır.
• a < 0 ise x = −b/(2a) noktasında **maksimum** değeri vardır ve bu değer f(−b/(2a))'dır.

Bu nokta parabolün tepe noktasıdır. Fonksiyon tam kareye tamamlanarak a(x − r)² + k biçimine getirildiğinde tepe noktası (r, k) olarak doğrudan okunur: (x − r)² hiçbir zaman negatif olmadığından a > 0 ise en küçük değer k, a < 0 ise en büyük değer k'dir.

Gelir Problemi

Girişteki tiyatro probleminde x, 5 TL'lik artış sayısı olsun. Bilet fiyatı 40 + 5x, izleyici sayısı 300 − 15x olur. Gelir:

G(x) = (40 + 5x)(300 − 15x).

G(x) = 0 ⇒ x = −8 veya x = 20. Parabolün kolları aşağı doğrudur (x² katsayısı −75), tepe noktası sıfırların ortasındadır: x = (−8 + 20)/2 = 6. Bilet fiyatı 40 + 30 = 70 TL, izleyici sayısı 300 − 90 = 210 olur ve en yüksek gelir 70 · 210 = 14 700 TL'dir.

4. İki Fonksiyonun Karşılaştırılması: f(x) = g(x), f(x) < g(x), f(x) > g(x)

İki farklı durumu modelleyen f ve g fonksiyonlarının hangi x değerlerinde eşit olduğu ya da hangisinin daha büyük olduğu sorulduğunda:

1. f(x) = g(x), f(x) < g(x) veya f(x) > g(x) yazılır.
2. Bütün terimler bir tarafa toplanarak h(x) = f(x) − g(x) fonksiyonu oluşturulur.
3. h(x) = 0, h(x) < 0 veya h(x) > 0 işaret tablosuyla çözülür.
4. Sonuç bağlama göre yorumlanır.

Grafik olarak f(x) = g(x) denkleminin çözümleri, f ve g grafiklerinin **kesim noktalarının apsisleridir**. f(x) < g(x) olan aralıkta f'nin grafiği g'nin grafiğinin altında kalır.

Ters ve Doğru Orantılı Modeller

İki değişkenin çarpımı sabit kalıyorsa ters orantılıdırlar ve k ≠ 0 olmak üzere f(x) = k/x biçiminde modellenir. Oranları sabit kalıyorsa doğru orantılıdırlar ve g(x) = k·x biçiminde modellenir.

Sınavlarda Sık Görülen Soru Kalıpları

Kalıp 1: Sıfırları Bulma

Kalıp 2: Eşitsizliği Sağlayan Tam Sayılar

Kalıp 3: Maksimum ve Minimum Değer

Kalıp 4: İki Fonksiyonu Karşılaştırma

Sık Karıştırılan Noktalar

• "<" ile "≤" arasındaki fark: Sıfırlar yalnız "≤" ve "≥" durumunda çözüme katılır.
• a < 0 olan bir parabolde fonksiyon sıfırların arasında pozitiftir; a > 0 olanla karıştırılmamalıdır.
• Tepe noktasının apsisi −b/(2a)'dır; maksimum ya da minimum değer ise f(−b/(2a))'dır. Apsis ile değer karıştırılmamalıdır.
• f(x) = g(x) denkleminin çözümü kesim noktasının apsisidir; ordinatı ise o noktadaki ortak değerdir.
• Problem bağlamında negatif uzunluk, negatif maliyet ya da kesirli kişi sayısı kabul edilmez.
• x² + 4 > 0 gibi ifadeler her x için doğrudur; x² + 4 < 0 ise hiçbir x için sağlanmaz.

Soru Çözerken Kullanılabilecek Yaklaşım

1. Problemdeki bağımsız ve bağımlı değişkeni belirle, fonksiyonun cebirsel temsilini yaz.
2. Sorulan durumu denklem ya da eşitsizlik olarak ifade et.
3. Tüm terimleri bir tarafa topla, birinci dereceden çarpanlara ayır (gerekirse tam kareye tamamla).
4. Sıfırları bul, işaret tablosu yap ya da grafiği yorumla.
5. Maksimum-minimum soruluyorsa x = −b/(2a) ve f(−b/(2a)) değerlerini hesapla.
6. Bulduğun sonucu bağlamın kısıtlarına göre süz ve problemin diliyle yorumla.

Konu Özeti

Gerçek yaşam durumlarını modelleyen doğrusal, karesel ve rasyonel fonksiyonlar f(x) = 0, f(x) < 0, f(x) ≥ 0 gibi denklem ve eşitsizliklere dönüşür. Karesel ifadeler deneme-yanılma, tam kareye tamamlama veya grafik yardımıyla çarpanlarına ayrılır; işaret tablosu ile hangi aralıkta pozitif ya da negatif olduğu belirlenir. f(x) = ax² + bx + c fonksiyonu x = −b/(2a)'da a > 0 ise minimum, a < 0 ise maksimum değerini alır. İki fonksiyon karşılaştırılırken farkları alınır; eşitlik noktaları grafiklerin kesişim apsisleridir. Sonuçlar her zaman problem bağlamında yorumlanır.