Çokgenlerle İlgili Problemler Konu Anlatımı

Çokgenlerle İlgili Problemler

Konuya Giriş

Bu bölümde amaç, önceki başlıklarda öğrenilen dörtgen ve çokgen özelliklerini gerçek yaşam problemlerinde birlikte kullanmaktır. MEB kitabında problem durumları; fayans döşeme, mimari tasarım, şadırvan, kilim motifleri, düzgün çokgen biçimli süslemeler ve uçuş rotaları üzerinden kurulmuştur.

Bir problemde yalnız formülü bilmek yeterli değildir. Verilen bilgilerin hangi geometrik kavramlarla ilişkili olduğunu belirlemek, uygun modeli kurmak, çözüm stratejisini sistematik biçimde uygulamak ve sonucu kontrol etmek gerekir.

1. Çokgen Problemlerinde Matematiksel Model Kurma

Bir gerçek yaşam probleminde önce geometrik şekiller belirlenir. Ardından:

• hangi uzunlukların bilindiği,
• hangi açıların kullanılacağı,
• alan veya çevre bilgisinin gerekip gerekmediği,
• benzerlik ya da simetri ilişkisinin bulunup bulunmadığı,
• maliyet gibi ek niceliklerin geometriyle nasıl bağlandığı

tespit edilir.

2. Selçuklu Yıldızı Problemi

MEB kitabında Selçuklu yıldızı, merkezleri aynı ve eşit büyüklükte iki kareden birinin diğerine göre 45° döndürülmesiyle oluşturulan bir yapı üzerinden incelenir.

Bu yapı:

• düzgün çokgenleri tanıma,
• köşe noktalarından yeni çokgen oluşturma,
• alan ve yürüyüş yolu uzunluğu gibi gerçek yaşam problemlerini modelleme

için kullanılır.

3. Fayans Döşeme Probleminde Strateji

1. Uygulamada dikdörtgen bir mutfak zemini:

• eşkenar dörtgen,
• düzgün altıgen

şeklindeki fayanslarla modellenir.

Fayanslar kesilmeyecektir. İki modelde:

• fayans sayısı aynıdır,
• fayansların metrekare fiyatı aynıdır,
• işçilik aynıdır,
• boşluklar fayansın metrekare fiyatının iki katı pahalı dolgu malzemesiyle kapatılır.

Bu nedenle ekonomik modeli belirlemek için yalnız fayans sayısına değil, fayansların kapladığı toplam alan ile dolgu yapılacak boş alan birlikte incelenmelidir.

4. Fayans Probleminin Matematiksel İfadesi

Zemin alanı S, fayansla kaplanan alan T, fayansın metrekare fiyatı c olsun.

Boş alan: **S - T**

Dolgu fiyatı: **2c**

Toplam malzeme maliyeti: **cT + 2c(S - T)**

Bu ifade: **2cS - cT** şeklinde düzenlenebilir.

Buna göre S ve c sabitken T büyüdükçe toplam maliyet azalır.

5. Çözüm Stratejisini Kontrol Etme

MEB kitabı yalnız çözümü bulmayı değil, farklı çözüm yollarını karşılaştırmayı da ister.

Bir stratejinin:

• verilen tüm koşulları kullanıp kullanmadığı,
• geometrik açıdan mümkün olup olmadığı,
• sonuca ulaştırıp ulaştırmadığı,
• başka problemlere uyarlanıp uyarlanamayacağı

değerlendirilmelidir.

6. Kümbet Problemi

MEB kitabında Çifte Kümbet, kare zemin üzerinde düzgün sekizgen bir yapı bağlamında ele alınır.

Problemde:

• kare zeminin bir kenarı 4 metredir,
• kare içine sığabilecek en büyük düzgün sekizgen modellenir,
• bu düzgün sekizgenin alanı istenir.

Bu tür problemlerde kare köşelerinden eş ikizkenar dik üçgenler ayrılarak düzgün sekizgen oluşturulabilir.

7. Kare İçine Yerleştirilen En Büyük Düzgün Sekizgen

Karenin bir kenarı 4 metre ve köşelerden kesilen eş dik üçgenlerin dik kenarı x olsun.

Düzgün sekizgenin yatay kenarı: **4 - 2x**

Eğik kenarı: **x√2**

Düzgünlük için: **4 - 2x = x√2**

Buradan: **x = 4 - 2√2**

Düzgün sekizgenin bir kenarı: **4(√2 - 1)**

olarak bulunur.

Alan, büyük karenin alanından dört köşe üçgeninin alanı çıkarılarak:

**32(√2 - 1) m²**

elde edilir.

8. Şadırvan Problemi: Çokgeni Belirleme

1. Örnekte şadırvan zemininin her bir iç açısı 135° olan düzgün çokgenden oluşacağı belirtilir.

Düzgün çokgende: **bir iç açı = 180° - 360°/n**

olduğundan:

135 = 180 - 360/n

360/n = 45

n = 8

Yani şadırvanın üstten görünümü düzgün sekizgen biçimindedir.

9. Şadırvan Problemi: Benzerlik ve Alan Oranı

Şadırvanda:

• içteki düzgün sekizgenin merkezden köşeye uzaklığı 1 m,
• dıştaki düzgün sekizgenin merkezden köşeye uzaklığı 3 m

olarak verilmiştir.

Benzer şekillerde uzunluk oranı: **3/1 = 3**

Alan oranı: **3² = 9**

olur.

10. Şadırvan Problemi: Simetri

Düzgün sekizgende:

• köşelerden geçen,
• karşılıklı kenarların orta noktalarından geçen

simetri doğruları birlikte düşünüldüğünde toplam:

**8 simetri ekseni**

vardır.

11. Şadırvan Problemi: Musluk ve Oturak Maliyeti

Şadırvan 8 kenarlıdır. Her kenarda:

• 3 musluk,
• 3 oturak

bulunur.

Toplam musluk: **8 · 3 = 24**

Toplam oturak: **8 · 3 = 24**

Musluk maliyeti: **24 · 150 = 3600 TL**

Oturak maliyeti: **24 · 300 = 7200 TL**

Toplam: **10 800 TL**

12. Babaanne Battaniyesi Problemi

1. Örnekte düzgün beşgen motifler birleştirildiğinde ortada düzgün bir çokgen oluşur.

Düzgün beşgenin bir iç açısı: **108°**

Merkezde bir köşede: **108° + 108° + α = 360°**

olduğundan:

**α = 144°**

Düzgün çokgende: **180° - 360°/n = 144°**

buradan: **n = 10**

Sonuç olarak ortada düzgün ongen oluşur.

13. Düzgün Ongenin Alanı

Ortadaki düzgün ongenin en uzun köşegeni 40 cm ise simetri merkezinden köşeye uzaklık:

**20 cm**

olur.

Düzgün ongen merkezden köşelere birleştirildiğinde:

• 10 eş ikizkenar üçgen oluşur,
• merkez açısı 36° olur.

MEB kitabında: **sin36° ≈ 0,58** alınır.

Bir üçgenin alanı: **(1/2) · 20 · 20 · sin36° = 116 cm²**

Toplam alan: **10 · 116 = 1160 cm²**

14. Kilim Problemi

1. Örnekte:

• kilim boyutları 150 cm × 200 cm,
• iki eş düzgün sekizgen vardır,
• sekizgenler arası uzaklık 20 cm,
• kısa kenarlara uzaklıkları 40 cm,
• uzun kenarlara uzaklıkları eşittir.

Uzun doğrultuda: **40 + a + 20 + a + 40 = 200**

buradan: **a = 50 cm**

Kısa doğrultuda: **b + 50 + b = 150**

buradan: **b = 50 cm**

Yani sekizgenlerin kilimin uzun kenarlarına uzaklığı: **50 cm**

15. Kameriye Problemi

MEB kitabındaki “Sıra Sizde 16” bölümünde:

• kullanım alanı düzgün altıgen olan bir kameriye,
• ikizkenar yamuk biçimli bank parçaları,
• simetri,
• uzaklık,
• alan

ilişkileri birlikte kullanılır.

Bu tür sorularda düzenli çokgenin açı ve simetri yapısı ile özel dörtgenlerin alan özellikleri aynı problem içinde bir araya gelir.

16. KAAN Uçuş Rotası Problemi

Alıştırmada KAAN:

• A noktasından başlar,
• düzgün çokgen biçimli rotayı sabit hızla izler,
• ikinci kez F noktasına 10 dakikada,
• üçüncü kez F noktasına 18 dakikada

gelir.

İkinci ve üçüncü F geçişleri arasındaki süre:

**18 - 10 = 8 dakika**

Bu süre bir tam tur süresidir.

A'dan F'ye ilk gelişte: A-B-C-D-E-F

olmak üzere 5 kenar geçilir.

Bir kenarın geçilme süresi t, kenar sayısı n olsun.

İkinci F geçişi: **5t + nt = 10**

Bir tam tur: **nt = 8**

Buradan: **5t = 2** ve **t = 0,4 dakika**

Sonra: **n = 8 / 0,4 = 20**

Rota düzgün 20-gendir.

17. KAAN Rotasında Açı

Düzgün 20-gende bir merkez açı:

**360° / 20 = 18°**

A, F ve K köşeleri kullanıldığında ∠AFK açısı, F'yi içermeyen AK yayının yarısıdır.

İlgili yay 11 merkez açıya karşılık gelir:

**11 · 18° = 198°**

Buna göre:

**m(∠AFK) = 198° / 2 = 99°**

18. Problem Çözmede Uygun Strateji Seçimi

Bu bölümde farklı problemler aynı formülle çözülmez.

Örneğin:

• maliyet → alan ve fiyat ilişkisi,
• şadırvan → düzgün çokgen açısı + benzerlik + simetri,
• battaniye → açı toplamı + düzgün çokgen + alan,
• kilim → doğrusal uzunlukların toplamı,
• KAAN → zaman + düzgün çokgen + simetri + açı

gerektirir.

19. Stratejiyi Başka Problemlere Uyarlama

MEB kitabı kullanılan çözüm stratejilerinin:

• eşkenar üçgen,
• düzgün beşgen,
• düzgün sekizgen

gibi farklı geometrik şekiller içeren problemlere nasıl uyarlanabileceğini sorgular.

Burada amaç belirli bir çözümü ezberlemek değil, aynı düşünme biçimini yeni geometrik modele taşımaktır.

20. Sonucu Kontrol Etme

Bir problem çözüldüğünde:

• birimlerin doğru olup olmadığı,
• bulunan uzunluğun şekle uygun olup olmadığı,
• alan oranının uzunluk oranıyla uyumlu olup olmadığı,
• maliyetin verilen fiyat ilişkisine uygun olup olmadığı,
• simetri sayısının çokgen yapısıyla uyumlu olup olmadığı

kontrol edilmelidir.

Sık Karıştırılan Noktalar

• uzunluk oranı / alan oranı
• düzgün çokgenin iç açısı / merkez açısı
• en uzun köşegen / yarıçap
• fayans alanı / dolgu alanı
• simetri ekseni sayısı / kenar sayısı
• şeklin toplam alanı / bir eş üçgensel parçanın alanı
• gerçek yaşam verisi / matematiksel model
• verilen tüm bilgiyi kullanmak / gereksiz işlem yapmak
• A-F ilk geçişi / F noktasına ikinci ve üçüncü geliş
• süre farkı / tam tur süresi

Soru Çözerken Kullanılabilecek Yaklaşım

1. Problemdeki geometrik şekilleri belirle.
2. Verilen uzunluk, açı, alan, simetri ve maliyet bilgilerini ayır.
3. Hangi bilgilerin aynı şekle ait olduğunu netleştir.
4. Uygun geometrik bağıntıyı seç.
5. Gerekirse şekli eş veya benzer parçalara ayır.
6. Maliyet probleminde kaplanan ve boş kalan alanları ayrı hesapla.
7. Düzgün çokgende iç açı, merkez açı ve simetri ilişkilerini kullan.
8. Benzer şekillerde alan oranını uzunluk oranının karesiyle ilişkilendir.
9. Zaman-hareket probleminde bir tur süresini ve bir kenarın geçilme süresini ayır.
10. Sonucu birim ve geometrik uygunluk açısından kontrol et.
11. Gerekirse farklı stratejiyle sonucu doğrula.

Konu Özeti

**Fayans problemi**

• dolgu fiyatı fayansın 2 katı,
• daha fazla alanı fayansla kaplayan model daha ekonomiktir.

**Kümbet**

• 4 m kenarlı kare içine en büyük düzgün sekizgen,
• alan = 32(√2 - 1) m².

**Şadırvan**

• iç açı 135° → düzgün sekizgen,
• yarıçap oranı 3 → alan oranı 9,
• simetri ekseni 8,
• 24 musluk + 24 oturak,
• toplam maliyet 10 800 TL.

**Battaniye**

• merkezde düzgün ongen,
• en uzun köşegen 40 cm → yarıçap 20 cm,
• merkez açı 36°,
• alan 1160 cm².

**Kilim**

• iki düzgün sekizgen,
• hesaplanan uzaklık = 50 cm.

**KAAN**

• tam tur 8 dakika,
• bir kenar 0,4 dakika,
• rota düzgün 20-gen,
• simetri ekseni 20,
• küçük açı 99°.

Konuyu Bitirdiğinde Bunları Yapabiliyor Olmalısın

• gerçek yaşam durumunu geometrik modele dönüştürebilmelisin.
• çokgenlerde alan, açı, simetri ve köşegen bilgilerini aynı problemde kullanabilmelisin.
• maliyet problemlerinde alan-fiyat ilişkisi kurabilmelisin.
• düzgün çokgenlerde benzerlik ve alan oranını uygulayabilmelisin.
• düzenli çokgeni eş üçgenlere ayırarak alan hesaplayabilmelisin.
• zaman ve düzgün çokgen yapısını birleştiren problemleri çözebilmelisin.
• bir çözüm stratejisini kontrol edip başka probleme uyarlayabilmelisin.