Çemberin Analitik İncelenmesi Ders Notu

Çemberin Analitik İncelenmesi — Ders Notu

Çember, merkez ve yarıçap

Merkez M(a,b)'ye uzaklığı r>0 olan noktaların kümesi çemberdir. Bir P(x,y) noktası için uzaklığın karesi (x−a)²+(y−b)² olur. **Çemberin standart denklemi (x−a)²+(y−b)²=r²** biçimindedir. x+a yazılması merkezin x koordinatının −a olduğunu gösterir. Merkeze uzaklığın karesi r²'den küçükse nokta içeride, büyükse dışarıdadır.

Merkez ve nokta; çap uçları

Merkez ve P(u,v) verilmişse **r²=(u−a)²+(v−b)²** bulunur. Çapın uçları A(x₁,y₁), B(x₂,y₂) ise merkez **((x₁+x₂)/2,(y₁+y₂)/2)**, yarıçap **|AB|/2** olur. Örnek: A(−2,0), B(4,4) için M(1,2), r²=(6²+4²)/4=13; denklem (x−1)²+(y−2)²=13'tür.

Özel merkezler ve eksenlere teğetlik

Merkez x eksenindeyse (a,0): (x−a)²+y²=r². Merkez y eksenindeyse (0,b): x²+(y−b)²=r². Merkez orijindeyse x²+y²=r². x eksenine teğet çemberde **r=|b|**, y eksenine teğette **r=|a|**. İkisine de teğette |a|=|b|=r; I,II,III,IV bölgelerde merkez sırasıyla (r,r), (−r,r), (−r,−r), (r,−r) olur. Merkez ayrıca bir doğru üzerindeyse bu koordinatlar doğrunun denkleminde yerine konur.

Doğruya ve başka bir çembere teğetlik

M(a,b) merkezli çember Ax+By+C=0 doğrusuna teğetse **r=|Aa+Bb+C|/√(A²+B²)**. İki çember dıştan teğetse merkezler uzaklığı r₁+r₂, içten teğetse |r₁−r₂| olur. 'Teğetlik' ile 'iki noktada kesişme' farklı durumlardır.

Genel denklem, merkez ve gerçek çember koşulu

**x²+y²+Dx+Ey+F=0** biçiminde merkez (−D/2,−E/2), r²=(D²+E²−4F)/4. x² ve y² katsayıları eşit ve sıfırdan farklı olmalı; önceden ortak katsayıya bölünebilir. **K=D²+E²−4F** için K>0 gerçek çember, K=0 yalnız merkez noktası, K<0 gerçek noktası olmayan denklemdir. Örnek: x²+y²−6x+8y=0 ⇒ M(3,−4), r²=25, r=5.

Üç noktadan geçen çember

Doğrusal olmayan üç noktadan geçen çemberi bulmak için x²+y²+Dx+Ey+F=0'da noktaları yerlerine yazıp D,E,F çözülür. Doğrusal üç nokta bir çemberi belirlemez.

Çember-doğru ilişkisi ve kesişimler

Çemberde doğru denklemi yerine konup ikinci derece denklem elde edilir: **Δ>0** iki ortak nokta, **Δ=0** teğetlik, **Δ<0** ortak nokta yoktur. Daha hızlı karar için merkezin doğruya uzaklığı d karşılaştırılır: **d<r** iki noktada kesişme, **d=r** teğetlik, **d>r** kesişmeme. Doğrunun x=s veya y=t biçiminde olması bu yöntemi değiştirmez.

Kirişler, eksen kesimleri ve uygulamalar

x eksenini kestiği noktalar için y=0; y ekseni kesimleri için x=0 alınır. Merkezden kirişin doğrusu uzaklığı d ise **L=2√(r²−d²)**. Çember içindeki P'den geçen en kısa kiriş **2√(r²−MP²)**, en uzun kiriş çap **2r**'dir. Kapsama alanı sorusunda çember yayı sınırdır; içerideki noktalar da kapsanır. Sorudaki koordinat birimini korumak gerekir.

Kısa Özet

Merkez ve r → standart denklem. Genel denklem → kare tamamlama veya D,E,F. Eksen teğetliği → |a| ya da |b|. Doğru-çember → d ile r veya Δ. Kiriş → dik uzaklık + Pisagor + ikiyle çarpma. Her sonuçta merkezin işareti, r>0 ve koşulun sağlandığı kontrol edilmelidir.