AYT Matematik Karmaşık Sayılar Ders Notu

Karmaşık Sayılar – Ders Notu

Sanal Birim

i² = −1.

i¹ = i, i² = −1, i³ = −i, i⁴ = 1.

iⁿ: n’yi 4’e böl, kalanı kullan.

Ardışık dört kuvvetin toplamı 0.

Örnek: i²⁰²⁵ = i¹ = i.

Örnek: i + i² + ... + i²⁰²⁵ = i.

Karmaşık Sayı

z = a + bi, a ve b reel.

Re(z) = a, Im(z) = b.

b = 0 → reel. a = 0 ve b ≠ 0 → saf sanal.

a + bi = c + di ⇔ a = c ve b = d.

Örnek: z = 5 − 3i → Re = 5, Im = −3.

Dört İşlem

Toplama/çıkarma: kısım kısım.

Çarpma: (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i.

Bölme: paydayı eşlenikle çarp.

(1 + i)² = 2i. (1 − i)² = −2i.

Örnek: (3 + 2i)(1 + i) = 1 + 5i.

Örnek: (3 + i)/(1 − i) = 1 + 2i.

Örnek: (1 + i)⁸ = (2i)⁴ = 16.

Eşlenik

z̄ = a − bi.

z + z̄ = 2a, z − z̄ = 2bi, z · z̄ = a² + b².

z reel ⇔ z̄ = z. z saf sanal ⇔ z̄ = −z.

Eşlenik toplam, çarpım ve bölümde dağılır.

Örnek: z = 3 + 4i → z + z̄ = 6, z − z̄ = 8i, z · z̄ = 25.

Modül

|z| = √(a² + b²).

|z|² = z · z̄.

|z₁ z₂| = |z₁||z₂|, |z₁/z₂| = |z₁|/|z₂|, |zⁿ| = |z|ⁿ.

|z₁ + z₂| ≤ |z₁| + |z₂|.

Örnek: |3 − 4i| = 5.

Örnek: |z₁| = 2, |z₂| = 3 → |z₁² z₂| = 12.

Reel ve Saf Sanal

Reel: sanal kısım 0.

Saf sanal: gerçek kısım 0, sanal kısım ≠ 0.

Örnek: (1 + mi)(2 − i) reel → m = 1/2.

Karmaşık Düzlem

z = a + bi ↔ (a, b).

|z| orijine uzaklık.

|z₁ − z₂| iki nokta arası uzaklık.

|z − z₀| = r → çember.

|z − z₁| = |z − z₂| → orta dikme.

Karmaşık Kökler

Δ < 0 → x = (−b ± i√(−Δ)) / (2a).

Kökler eşlenik çiftidir.

Toplam −b/a, çarpım c/a geçerli.

Örnek: x² − 2x + 5 = 0 → 1 ± 2i.

Örnek: x² + 2x + 5 = 0 → x₁² + x₂² = −6.

z² = a + bi

z = x + yi, x² − y² ve 2xy eşitle.

Örnek: z² = 3 + 4i → z = ±(2 + i).

Geçmiş AYT Soru Kalıpları

• i’nin kuvvetleri ve toplamlar,
• dört işlem ve bölme,
• eşlenikli denklemler,
• modül ve özellikleri,
• reel veya saf sanal olma koşulu,
• çember ve orta dikme,
• karmaşık kökler.

Sık Karıştırılanlar

• Im(z) = b, bi değil.
• |z₁ + z₂| ≠ |z₁| + |z₂|.
• Kalan 0 ise iⁿ = 1.
• (a + bi)² = a² − b² + 2abi.
• Bölmede paydayı eşlenikle çarp.
• 0 saf sanal değildir.

Kısa Özet

i’nin kuvveti için mod 4. Bölme için eşlenik. Denklemde z = a + bi alıp gerçek ve sanal kısmı eşitle. Modülde çarpım ve bölüm özelliklerini kullan. |z − z₀| = r çemberdir.