AYT Matematik Logaritma Ders Notu

Logaritma – Ders Notu

Tanım

log_a b = x ⇔ aˣ = b.

Şart: a > 0, a ≠ 1, b > 0.

Örnek: log₂ 8 = 3.

Örnek: log₃ 81 = 4.

Örnek: log₂ (1/8) = −3.

Temel Değerler

log_a 1 = 0, log_a a = 1, log_a aⁿ = n.

log x tabanı 10, ln x tabanı e.

Örnek: log 1000 = 3, ln e² = 2.

Özellikler

log_a (xy) = log_a x + log_a y.

log_a (x/y) = log_a x − log_a y.

log_a xⁿ = n log_a x.

log_(aᵐ) xⁿ = (n/m) log_a x.

a üzeri log_a x = x.

Örnek: log₂ 4 + log₂ 8 = 5.

Örnek: log₂ 24 − log₂ 3 = 3.

Örnek: log₈ 4 = 2/3.

Taban Değiştirme

log_a b = log_c b/log_c a.

log_a b = 1/log_b a.

log_a b · log_b c = log_a c.

Örnek: log₃ 2 · log₂ 9 = 2.

Verilen Değere Göre Yazma

Sayıyı asal çarpanlarına ayır.

Örnek: log₂ 3 = a → log₂ 12 = a + 2.

Örnek: log 2 = a → log 5 = 1 − a.

Örnek: log 2 = a, log 3 = b → log 12 = 2a + b.

Denklemler

Tanım şartı, çöz, kontrol et.

Örnek: log₂ (x − 1) = 3 → x = 9.

Örnek: log₂ x + log₂ (x − 2) = 3 → x = 4 (x = −2 olmaz).

Örnek: (log₂ x)² − 3 log₂ x + 2 = 0 → x = 2 veya 4.

Eşitsizlikler

Taban > 1: yön korunur. Taban 0 ile 1 arası: yön değişir.

Örnek: log₂ x > 3 → x > 8.

Örnek: log₃ (x − 1) < 2 → 1 < x < 10.

Örnek: log_(1/2) x > 1 → 0 < x < 1/2.

Üstel Dönüşüm

aˣ = b ⇔ x = log_a b.

Örnek: 2ˣ = 3, 3ʸ = 4 → xy = 2.

Geçmiş AYT Soru Kalıpları

• değer hesaplama,
• taban değiştirme ve zincir kuralı,
• verilen değere göre yazma,
• logaritmik denklem,
• logaritmik eşitsizlik,
• üstel–logaritmik dönüşüm.

Sık Karıştırılanlar

• log_a (x + y) ≠ log_a x + log_a y.
• Kökleri tanım şartıyla kontrol et.
• Taban 0 ile 1 arasındaysa yön değişir.
• log_(aᵐ) xⁿ = (n/m) log_a x.

Kısa Özet

Önce tanım şartı. Toplamı çarpıma, farkı bölüme çevir. Üssü katsayı yap. Zincir kuralıyla sadeleştir. Denklemde kökleri kontrol et. Eşitsizlikte tabana dikkat.