AYT Matematik Polinomlar Ders Notu

Polinomlar – Ders Notu

Polinom

P(x) = aₙxⁿ + ... + a₁x + a₀, kuvvetler doğal sayı.

Derece der(P) = n, başkatsayı aₙ, sabit terim a₀.

x⁻², √x, 1/x içeren ifade polinom değildir.

Sabit polinomun derecesi 0, sıfır polinomun derecesi tanımsız.

Özel Değerler

Katsayılar toplamı: P(1).

Sabit terim: P(0).

Çift dereceli katsayılar toplamı: (P(1) + P(−1)) / 2.

Tek dereceli katsayılar toplamı: (P(1) − P(−1)) / 2.

Örnek: (x − 2)²(x + 3) → P(1) = 4, P(0) = 12.

Derece Kuralları

der(P ± Q) = en büyük derece (dereceler farklıysa).

der(P · Q) = m + n.

der(P / Q) = m − n.

der(Pᵏ) = k · m.

der(P(xᵏ)) = k · m.

der(P(Q(x))) = m · n.

Örnek: der(P) = 4, der(Q) = 3 → der(P² · Q) = 11.

Polinom Eşitliği

Aynı dereceli terimlerin katsayıları eşit.

Sıfır polinomda tüm katsayılar sıfır.

Örnek: (a − 1)x² + (b + 2)x + (c − 3) sıfır polinom → a + b + c = 2.

Bölme

P(x) = B(x) · Q(x) + K(x).

der(K) < der(B), der(Q) = der(P) − der(B).

K(x) = 0 ise tam bölünür.

Horner: ilk katsayıyı indir, a ile çarpıp sonrakine ekle.

Örnek: x³ − 2x² + 3x + 4 ÷ (x − 2) → bölüm x² + 3, kalan 10.

Kalan Teoremi

x − a ile bölümden kalan P(a).

ax + b ile bölümden kalan P(−b / a).

Örnek: P(x) = x³ + x − 3, 2x − 4 ile → P(2) = 7.

P(x) ÷ (x − 3) kalan 5 ise P(2x − 1) ÷ (x − 2) kalan P(3) = 5.

İkinci Derece Bölen

Kalan K(x) = ax + b.

Her kök için K(kök) = P(kök).

Örnek: x − 1 ile kalan 3, x + 2 ile kalan 6 → K(x) = −x + 4.

Özel Bölenler

x² − 1 ile: x² = 1.

x² + 1 ile: x² = −1.

Örnek: x¹⁰ ÷ (x² − 1) → kalan 1.

x⁵ + 2x³ + x + 4 ÷ (x² + 1) → kalan 4.

Çarpan ve Kök

P(a) = 0 ⇔ (x − a) çarpan ⇔ a kök.

Derecesi n olan polinomun en fazla n kökü vardır.

Tam sayı kökler sabit terimin bölenlerindendir.

Örnek: x³ + kx² − x − 10, kök 2 → k = 1.

Özdeşlikler

a² − b² = (a − b)(a + b)

(a ± b)² = a² ± 2ab + b²

a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)

a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)

(a ± b)³ = a³ ± 3a²b + 3ab² ± b³

x² + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)

Örnek: 101² − 99² = 2 · 200 = 400.

Kök – Katsayı Bağıntıları

İkinci derece: x₁ + x₂ = −b / a, x₁x₂ = c / a.

Üçüncü derece: toplam −b / a, ikişerli çarpımlar toplamı c / a, çarpım −d / a.

x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² − 2x₁x₂

x₁³ + x₂³ = (x₁ + x₂)³ − 3x₁x₂(x₁ + x₂)

1/x₁ + 1/x₂ = (x₁ + x₂) / (x₁x₂)

Örnek: x² − 5x + 3 → a² + b² = 19, a³ + b³ = 80.

Geçmiş AYT Soru Kalıpları

• katsayılar toplamı ve sabit terim,
• derece hesabı,
• birinci derece bölende kalan,
• ikinci derece bölende kalan,
• bölme eşitliğinde değer yazma,
• bölünebilme ve bilinmeyen katsayı,
• çarpanlara ayırma,
• kök-katsayı bağıntıları,
• özel bölenle kalan.

Sık Karıştırılanlar

• Katsayılar toplamı P(1), sabit terim P(0).
• Çarpımda dereceler toplanır, bileşkede çarpılır.
• ax + b ile bölümde kalan P(−b / a).
• Kalanın derecesi bölenden küçüktür.
• Kök-katsayıda toplam −b / a.
• x² + 1 ile bölmede x² = −1.

Kısa Özet

Katsayı için P(1), sabit terim için P(0). Kalan için bölenin kökünü yaz. İkinci derece bölende K = ax + b al. Çarpan için P(a) = 0 yaz. Kök toplamı ve çarpımı için katsayılara bak.