AYT Matematik Türev Ders Notu

Türev – Ders Notu

Türevin Tanımı

f'(a) = lim (h → 0) (f(a + h) − f(a))/h.

Geometrik anlamı: teğetin eğimi.

Örnek: f(x) = x³ için f'(2) = 12.

Temel Formüller

(xⁿ)' = n · xⁿ⁻¹, (sin x)' = cos x, (cos x)' = −sin x, (eˣ)' = eˣ, (ln x)' = 1/x.

Örnek: f(x) = x³ − 2x → f'(2) = 10.

Örnek: f(x) = ln x → f'(2) = 1/2.

Türev Kuralları

Çarpım: f' · g + f · g'.

Bölüm: (f' · g − f · g')/g².

Zincir: f'(g(x)) · g'(x).

Örnek: f(x) = (2x + 1)³ → f'(0) = 6.

Örnek: f(x) = x · eˣ → f'(1) = 2e.

Teğet ve Normal

Teğet: y − f(a) = f'(a)(x − a). Normalin eğimi −1/f'(a).

Örnek: f(x) = x² + 1, x = 3 → eğim 6.

Artan ve Azalan

f' > 0 artan, f' < 0 azalan.

Örnek: f(x) = x³ − 3x² azalan aralığı 0 < x < 2.

Ekstremum

f'(a) = 0 ve işaret değişimi.

Örnek: f(x) = x³ − 12x yerel maksimum değeri 16.

Örnek: f(x) = x² − 4x + 5 en küçük değeri 1.

İkinci Türev ve Büküm

f'' = 0 ve işaret değişimi büküm noktasıdır.

Örnek: f(x) = x³ − 6x² + 2x büküm apsisi 2.

Mutlak Ekstremum

Uç noktalar ve kritik noktalar karşılaştırılır.

Örnek: f(x) = x² − 4x + 1 için 0 ≤ x ≤ 3 aralığında en küçük değer −3.

Optimizasyon

Çevresi 40 olan dikdörtgenin en büyük alanı 100.

Kenarı 12 olan kareden yapılan kutunun en büyük hacmi 128.

L’Hospital

0/0 ve ∞/∞ için pay ve paydanın türevini al.

Örnek: lim (x → 0) (eˣ − 1 − x)/x² = 1/2.

Geçmiş AYT Soru Kalıpları

• kurallarla türev alma,
• limit tanımıyla türev,
• teğet ve normal,
• ekstremum ve monotonluk,
• maksimum–minimum problemleri,
• L’Hospital.

Sık Karıştırılanlar

• Çarpımın türevi türevlerin çarpımı değildir.
• Zincir kuralında içteki türevi çarp.
• f'(a) = 0 ekstremum için yeterli değildir.
• Kapalı aralıkta uç noktaları kontrol et.

Kısa Özet

Önce fonksiyonun yapısını belirle. Uygun kuralı uygula. Ekstremumda f' = 0 çöz ve işaret tablosu yap. Optimizasyonda tek değişkenli fonksiyon kur.