Üstel Fonksiyonların Ters Fonksiyonları Ders Notu

Üstel Fonksiyonların Ters Fonksiyonları — Ders Notu

Temel İlişki

f(x)=a^x

a>0, a≠1

Tersi:

f⁻¹(x)=log_a x

Tanım ve Görüntü

Üstel:

Tanım: R

Görüntü: (0,∞)

Logaritmik ters:

Tanım: (0,∞)

Görüntü: R

Üstel-Logaritmik Dönüşüm

a^b=c

eşdeğerdir:

log_a c=b

Temel Sonuçlar

log_a1=0

log_aa=1

log_a(a^x)=x

a^(log_a x)=x

Grafik İlişkisi

Fonksiyon ile tersi:

y=x

doğrusuna göre simetriktir.

(p,q) → (q,p)

Artanlık-Azalanlık

a>1: üstel ve logaritmik tersi artan

0<a<1: üstel ve logaritmik tersi azalan

Doğal Logaritma

e^x fonksiyonunun tersi:

ln x

Türetilmiş Üstel Fonksiyonun Tersi

Adımlar:

1. y=f(x)
2. x-y yer değiştir
3. üstel terimi yalnız bırak
4. logaritmik biçime geç
5. tanım-görüntü kümelerini değiştir

Gerçek Yaşam

Karbon-14: A(t)=A₀·2^(-t/5730)

A/A₀=1/3 için:

t=5730·log₂3

log₂3≈1,58

t≈9053 yıl

Antibiyotik: M(t)=1000·(0,6)^t

M=216 mg için:

t=3 saat

Sık Karıştırılan Noktalar

• ters fonksiyon ile 1/f(x) aynı değildir
• üstel tanım kümesi R, logaritmik tersin tanımı (0,∞)
• y=x simetrisi kullanılır
• a>1 ise her ikisi artan
• 0<a<1 ise her ikisi azalan

Kısa Özet

Üstel ↔ logaritmik ters

a^b=c ↔ log_a c=b

Grafikler y=x'e göre simetriktir.