Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlarla İfade Edilebilen Denklem ve Eşitsizlikler İçeren Problemler Konu Anlatımı

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlarla İfade Edilebilen Denklem ve Eşitsizlikler İçeren Problemler

Konuya Giriş

Bu konuda üstel ve logaritmik fonksiyonlar yalnızca cebirsel ifadeler olarak değil, gerçek yaşam durumlarını modellemek için kullanılan araçlar olarak ele alınır. Bir büyüklüğün zamanla katlanarak artması ya da belirli bir oranda azalması üstel fonksiyonlarla; bir büyüklüğün üstel yapı içindeki bilinmeyenini ortaya çıkarmak, farklı büyüklükleri ölçeklendirmek veya logaritmik bir modelle karşılaştırmak ise logaritmik fonksiyonlarla ifade edilebilir.

Problemlerde temel amaç, verilen durumu doğru matematiksel modele dönüştürmek, bu modelden bir denklem veya eşitsizlik kurmak, çözümü uygun yöntemle elde etmek ve bulunan sonucu problem bağlamında yorumlamaktır. MEB kitabındaki uygulamalarda cebirsel çözümün yanında grafik ve elektronik tablo temsilleri de kullanılır. Bu nedenle yalnızca işlemin sonucuna değil, kullanılan temsilin ne anlattığına da dikkat edilmelidir.

1. Radyoaktif Maddenin Yarılanma Süresi

Yarılanma süresi, başlangıçta bulunan radyoaktif maddenin yarısının bozunması için gereken süredir. Kitaptaki başlangıç probleminde yarılanma süresi 1 gün, başlangıç miktarı 160 kg'dır. Kalan madde miktarı

A(t)=160·(1/2)^t

fonksiyonu ile modellenir. Burada t gün cinsinden geçen süreyi, A(t) ise kalan madde miktarını gösterir.

Model incelendiğinde t=0 için 160 kg, t=1 için 80 kg, t=2 için 40 kg ve t=3 için 20 kg elde edilir. Grafik, zaman arttıkça kalan miktarın azaldığını gösterir. Belirli bir miktara hangi zamanda ulaşıldığını bulmak için A(t) o miktara eşitlenir.

Kalan miktarın 15 kg olması için de aynı düşünceyle

160·(1/2)^t=15

denklemi oluşturulur. Böylece gerçek yaşam durumu bir üstel denkleme dönüştürülmüş olur.

2. Üstel Denklem ve Eşitsizliklerin Temel Mantığı

a>0 ve a≠1 olmak üzere aynı tabanlı iki üstel ifade eşitse üsler eşittir:

a^(f(x))=a^(g(x)) ise f(x)=g(x).

Tabanlar aynı biçime getirilemiyorsa logaritmadan yararlanılabilir. Kitabın kontrol noktasında

a^(f(x))=g(x)

eşitliği için g(x)>0 koşuluyla

f(x)=log_a(g(x))

ilişkisi verilir.

Üstel eşitsizliklerde tabanın 1'e göre konumu belirleyicidir. a>1 ise üstel fonksiyon artandır ve karşılaştırma yönü korunur. 0<a<1 ise üstel fonksiyon azalandır ve karşılaştırma yönü tersine döner.

Bu kural, üstel eşitsizliklerde en sık yapılan yön hatasını önler.

3. Logaritmik Denklem ve Eşitsizliklerde Tanım Koşulları

Logaritmada taban pozitif olmalı ve 1'e eşit olmamalıdır. Ayrıca logaritmanın içindeki ifade mutlaka pozitif olmalıdır.

a>0, a≠1 olmak üzere

log_a(f(x))=g(x)

ise

f(x)=a^(g(x))

olur ve f(x)>0 koşulu dikkate alınır.

Aynı tabanlı iki logaritma eşitse

log_a(f(x))=log_a(g(x))

eşitliğinden

f(x)=g(x)

elde edilir; ancak hem f(x)>0 hem de g(x)>0 olmalıdır.

Tabanın kendisi de değişkene bağlıysa koşullar genişler. Kitaptaki kontrol noktasına göre

log_(h(x))(f(x))=g(x)

eşitliğinde f(x)>0, h(x)>0 ve h(x)≠1 koşulları birlikte kontrol edilir.

Logaritmik eşitsizliklerde de tabanın 1'e göre durumu önemlidir. a>1 için logaritmik fonksiyon artan, 0<a<1 için azalandır.

4. EBA Akademik Destek ve MEBİ Modeli

Kitaptaki uygulamada EBA Akademik Destek kullanıcı sayısı başlangıçta 900 bin ve aylık artış oranı %8'dir. Bu nedenle x ay sonraki kullanıcı sayısı

900000·(1,08)^x

ile modellenir.

MEBİ kullanıcı sayısı başlangıçta 1 milyon 200 bin ve aylık artış oranı %5 olduğundan x ay sonraki kullanıcı sayısı

1200000·(1,05)^x

olur.

Her iki platform için hedef 2 milyon kullanıcıdır. Buna göre hedefte eksik kullanıcı sayılarını gösteren fonksiyonlar

f(x)=2000000-900000·(1,08)^x

g(x)=2000000-1200000·(1,05)^x

şeklinde yazılır.

Bir fonksiyonun sıfırı, hedefte eksik kullanıcı sayısının sıfıra indiği zamanı gösterir. Örneğin f(x)=0 denklemi EBA Akademik Destek platformunun 2 milyon kullanıcı hedefine ulaştığı zamanı ifade eder.

İki platformun hedefte eksik kullanıcı sayılarının eşit olduğu zaman f(x)=g(x) denklemiyle bulunur. f(x)<g(x) olduğunda EBA'nın hedefte eksik kullanıcı sayısı MEBİ'den daha azdır; g(x)<f(x) olduğunda ise MEBİ hedefe daha yakındır.

Bu ilişkiler grafik üzerinde de görülebilir. Kesişim noktası eşitliği, grafiklerden birinin diğerinin altında kaldığı bölge ise ilgili eşitsizliği temsil eder.

5. Richter Ölçeği ve Logaritmik Model

Kitapta depremin maksimum genliği d mikron, Richter büyüklüğü R olmak üzere

R=log d

modeli kullanılır. Buradaki logaritma 10 tabanındadır.

Bu modelde en önemli adımlardan biri birim dönüşümüdür. Genlik milimetre ya da santimetre verilmişse önce mikrona çevrilir. Kitapta

1 mm=10^3 mikron

bilgisi kullanılır. Buna göre 1 cm=10^4 mikrondur.

Örneğin maksimum genliği 10 cm olan bir depremde d=10^5 mikron olur ve

R=log(10^5)=5

bulunur.

Maksimum genlik 20 mm ise d=20000=2·10^4 mikrondur. Kitapta log2≈0,301 verildiği için

R=log(2·10^4)=log2+4≈4,301

elde edilir.

Kitaptaki hasar sınıflandırması şöyledir:

• 0<R≤2: hasar yok
• 2<R≤4: hafif hasar
• 4<R≤6: orta hasar
• 6<R≤8: ağır hasar

Bu tablo, logaritmik eşitsizliğin gerçek yaşam yorumuna örnektir. Orta ve ağır hasarın birlikte ele alındığı durumda 4<R≤8 olur. R=log d olduğundan

10^4<d≤10^8

mikron aralığı elde edilir.

6. Kitap Satış Stratejilerinin Karşılaştırılması

Kitaptaki örnekte satış miktarı p(t)=log_2 t referans fonksiyonundan türetilen modellerle ifade edilir. Birinci stratejide 1. ayda 400, 8. ayda 1000 kitap satılmıştır. İkinci stratejide 1. ayda 700, 4. ayda 900 kitap satılmıştır.

Birinci model

f(t)=a·log_2 t+b

biçiminde alınır. f(1)=400 olduğundan b=400; f(8)=1000 olduğundan a=200 bulunur:

f(t)=200·log_2 t+400.

İkinci modelde aynı yöntemle

g(t)=100·log_2 t+700

elde edilir.

İki stratejide eşit satış miktarı için

f(t)=g(t)

yazılır:

200·log_2 t+400=100·log_2 t+700

100·log_2 t=300

log_2 t=3

t=8.

Kesişim noktasının apsisi olan 8, her iki stratejinin aynı satış miktarına ulaştığı ayı gösterir.

Birinci stratejinin daha fazla satış yaptığı dönem için

f(t)>g(t)

yazılır. Çözüm

log_2 t>3

ve buradan

t>8

olur.

7. Salgın Modelinde Cebirsel ve Grafiksel Çözüm

Kitapta bir salgında hasta sayısının başlangıçta üstel büyüdüğü, pikten sonra ise logaritmik azaldığı bir model incelenir. P(0) başlangıçtaki hasta sayısı, r enfeksiyon oranı, t0 pik süresi olmak üzere

P(t)=P(0)·e^(rt), t<t0

ve

P(t)=150-20·ln t, t≥t0

biçiminde parçalı bir model kullanılır.

Başlangıç hasta sayısı 40 ve r=1/80 olduğunda 20. gündeki hasta sayısı

P(20)=40·e^(20/80)=40·e^(1/4)

olur. Kitapta e^(1/4)≈1,284 alınarak sonuç yaklaşık 51 kişi bulunur.

Pik zamanını belirlemek için artış modeli

f(t)=40·e^(t/80)

ile azalış modeli

g(t)=150-20·ln t

aynı grafikte incelenir. Grafiklerin kesişim noktası yaklaşık t=47,76 değerindedir. Buna göre salgının pik seviyesine ulaşması yaklaşık 48 gün sürer.

Bu örnek, her problemde cebirsel yöntemin en kullanışlı yöntem olmayabileceğini gösterir. Karmaşık bir denklemin yaklaşık çözümünde grafiksel temsil daha kullanışlı olabilir.

8. pH ve Hidrojen İyon Derişimi

Kitapta bir çözeltinin pH değeri

pH=-log(H⁺ derişimi)

ile modellenir. Burada H⁺ derişimi, hidrojen iyon derişimini mol/L cinsinden gösterir.

İnsan cildinin sağlıklı olabilmesi için gereken hidrojen iyon derişimi 10^-4 ile 10^-6 mol/L aralığındadır. Bu aralık pH bakımından 4 ile 6 arasına karşılık gelir.

Bir temizlik ürününün pH değeri verilmişse derişim

H⁺ derişimi=10^(-pH)

biçiminde bulunabilir. Örneğin pH değeri 12 olan bir ürün için derişim 10^-12 mol/L olur.

Bu tür sorularda pH değeri ile hidrojen iyon derişimi arasındaki ters yönlü ilişki dikkatle yorumlanmalıdır.

9. Kitaptaki Dört Temel Çözüm Örneği

9.1. Üstel denklem

5^(x+1)-3=17

eşitliğinde

5^(x+1)=20

ve

5·5^x=20

olduğundan

5^x=4

elde edilir. Sonuç

x=log_5 4

şeklindedir.

9.2. Tabanı 0 ile 1 arasında olan üstel eşitsizlik

(1/3)^(x+14)>(1/27)^(7-2x)

eşitsizliğinde 1/27=(1/3)^3 olduğundan sağ taraf

(1/3)^(21-6x)

şeklinde yazılır. Taban 0 ile 1 arasında olduğu için üsler karşılaştırılırken yön ters döner:

x+14<21-6x

7x<7

x<1.

9.3. İç içe logaritmik denklem

log(5·log(x+3))-1=0

denkleminden

log(5·log(x+3))=1

ve

5·log(x+3)=10

bulunur. Buradan

log(x+3)=2

x+3=10^2

x=97

elde edilir.

9.4. Logaritmik eşitsizlik

log_3 x-4≤0

ise

log_3 x≤4.

Taban 3>1 olduğu için

x≤3^4=81

olur. Logaritmanın tanımından x>0 şartı da gerekir. Çözüm

0<x≤81

şeklindedir.

10. Üstel Nüfus Modeli

Kitaptaki soruda bir ülkenin nüfusu

N(t)=A·e^(0,02t)

ile modellenir. Başlangıç nüfusu 20 milyon olduğunda

N(t)=20·e^(0,02t)

olur.

Nüfusun 54 milyonu geçmesi için

20·e^(0,02t)>54

yazılır. e≈2,7 verildiğinden 54/20=2,7≈e olur. Bu durumda

e^(0,02t)>e

ve

0,02t>1

elde edilir. t>50 olduğundan tam yıl olarak nüfus en az 51 yıl sonra 54 milyonu geçer.

11. Raflardaki Kitap Genişlikleri

Kitaptaki raf probleminde pembe kitapların eni log_2 a, mavi kitapların eni log_3 b cm'dir. Üst rafta 3 mavi ve 2 pembe kitap yerleştirilip 11 cm boşluk kaldığı için kullanılan toplam genişlik 29 cm'dir:

2·log_2 a+3·log_3 b=29.

Alt rafta 2 mavi ve 3 pembe kitap yerleştirilip 9 cm boşluk kaldığından

3·log_2 a+2·log_3 b=31

olur.

u=log_2 a ve v=log_3 b denirse doğrusal denklem sistemi

2u+3v=29 3u+2v=31

elde edilir. Çözüm u=7 ve v=5'tir. Bu nedenle

a=2^7=128 b=3^5=243

bulunur.

12. Logaritmik Eşitsizlik Örnekleri

Kitapta

2<log_2(x+1)<3

eşitsizliği çözülür. Taban 2>1 olduğu için

2^2<x+1<2^3

yani

4<x+1<8

ve

3<x<7

bulunur.

Bir diğer örnek

log_(1/2)(x+3)≥-4

eşitsizliğidir. Taban 0 ile 1 arasında olduğu için yön tersine döner:

x+3≤(1/2)^(-4)=16.

Buradan x≤13 bulunur. Tanım koşulu x+3>0 olduğundan x>-3 olmalıdır. Sonuç

-3<x≤13

şeklindedir.

13. Logaritmalarla Karşılaştırma ve Sıralama

Kitaptaki bir soruda

log_5 400<x<log_3 250<y<log_2 1000

eşitsizliği verilir ve x ile y tam sayıdır.

5^3<400<5^4 olduğundan log_5 400 değeri 3 ile 4 arasındadır. 3^5=243<250<3^6 olduğundan log_3 250 değeri 5 ile 6 arasındadır. 2^9=512<1000<2^10 olduğundan log_2 1000 değeri 9 ile 10 arasındadır.

Buna göre x∈{4,5} ve y∈{6,7,8,9} olur. x+y'nin en küçük değeri 10, en büyük değeri 14 olduğundan bu iki değerin toplamı 24'tür.

Uzunlukları log_3 25, log_2 100 ve log_7 345 olan bordürlerde

log_3 25<log_7 345<log_2 100

olduğundan kısa olandan uzuna doğru renk sırası kırmızı, yeşil, mavi olur.

14. Çokgen Gösterimli Logaritmik Eşitsizlik

Kitaptaki gösterimde n kenarlı bir çokgenin içine yazılan pozitif a sayısı log_n a anlamına gelir. Kare içindeki x ifadesi log_4 x, altıgen içindeki 36 ifadesi log_6 36 olur.

Verilen

(log_4 x)/(log_6 36)≥3/2

eşitsizliğinde log_6 36=2 olduğundan

(log_4 x)/2≥3/2

ve

log_4 x≥3

elde edilir. Taban 4>1 olduğundan

x≥4^3=64

bulunur.

15. Alıştırmalardaki Temel Sonuçlar

Kitabın alıştırmalarında konu farklı türlerde yeniden uygulanır.

• log_3(x+3)≤2 eşitsizliğinde x tam sayı ise -2≤x≤6 olur ve bu tam sayıların toplamı 18'dir.
• İlk gün kumbarada 3 TL bulunup miktar her gün 3 katına çıktığında 729 TL'ye 6. günde ulaşılır.
• 2016'da 10000 olan ve her yıl %10 artan nüfus N(t)=10000·(1,1)^t biçiminde modellenir; 17000'i ilk kez 2022 yılında geçer.
• İlk yıl maliyeti 1000 TL olan ve her yıl %10 azalan üründe model 1000·(0,9)^t biçimindedir; 729 TL'nin altına en az 4 yıl sonra düşer.
• (2/3)^(3x-1)<(9/4)^(x+3) eşitsizliğinin çözümü x>-1'dir.
• log_3(log_2(x-1))<1 eşitsizliğinde tanım koşullarıyla birlikte 2<x<9 bulunur.
• Kenar uzunlukları 3, 6 ve 2^x olan üçgende x tam sayı ise x∈{2,3} olur; toplamları 5'tir.
• 3^(log_x 8)·2^(log_x 3)=9 denkleminin çözümü x=4'tür.
• log_4(x^2+12x+m) fonksiyonunun her gerçek x için tanımlı olması için x^2+12x+m>0 olmalıdır; en küçük tam sayı m=37'dir.
• log_7(-4x^2+4x+15) fonksiyonunun tanım aralığı -3/2<x<5/2'dir.

Sık Karıştırılan Noktalar

• a>1 ile 0<a<1 durumlarında eşitsizlik yönünün farklı davranması
• logaritmanın içinin pozitif olma koşulunu unutmak
• değişken tabanlı logaritmada tabanın pozitif ve 1'den farklı olması gerektiğini atlamak
• aynı tabanlı üstel ifadelerde tabanı değil üsleri karşılaştırmak
• aynı tabanlı logaritmalarda yalnız içleri eşitleyip tanım koşulunu unutmamak
• f(x)=g(x) ile f(x)>g(x) ifadelerinin problemde farklı anlamlara gelmesi
• grafik kesişiminin yaklaşık çözüm verebileceği durumlarla cebirsel kesin çözümü ayırmak
• santimetre ve milimetreyi mikrona çevirmeden Richter modelini kullanmak
• pH değerinin artmasıyla hidrojen iyon derişiminin aynı yönde artacağını sanmak
• bulunan cebirsel sonucu zaman, uzunluk, kullanıcı sayısı gibi problem koşullarına göre kontrol etmemek

Soru Çözerken Kullanılabilecek Yaklaşım

1. Sorunun hangi niceliği istediğini belirle.
2. Verilen artış veya azalış oranından üstel modeli kur.
3. Logaritmik model verilmişse taban ve iç ifade koşullarını yaz.
4. Eşitlik isteniyorsa denklem, "daha fazla", "daha az", "en az", "en çok" gibi bir karşılaştırma isteniyorsa eşitsizlik kur.
5. Üstel ifadelerde mümkünse tabanları aynı biçime getir.
6. Taban 0 ile 1 arasındaysa eşitsizlik yönünün tersine döndüğünü kontrol et.
7. Logaritmik eşitlikte üstel biçime geçmeden önce tanım koşullarını gözden geçir.
8. Birden fazla fonksiyon karşılaştırılıyorsa kesişimi ve grafiklerin göreli konumunu yorumla.
9. Birim dönüşümü gerekiyorsa modeli kurmadan önce yap.
10. Cebirsel denklem çok karmaşıksa kitapta yapıldığı gibi grafiksel çözüm kullan.
11. Sonucu tanım kümesi ve problem bağlamıyla yeniden kontrol et.

Konu Özeti

Üstel ve logaritmik denklem-eşitsizlik problemlerinde temel amaç gerçek yaşam durumunu matematiksel modele dönüştürmektir.

Üstel denklemlerde aynı tabanlı ifadeler için üsler karşılaştırılır. Tabanlar uygun biçimde eşitlenemediğinde logaritma kullanılabilir.

Üstel eşitsizliklerde a>1 için yön korunur; 0<a<1 için yön tersine döner.

Logaritmik denklemlerde logaritmanın içi pozitif olmalıdır. Değişken taban varsa taban da pozitif ve 1'den farklı olmalıdır.

Logaritmik eşitsizliklerde a>1 için yön korunur; 0<a<1 için yön tersine döner.

Kitapta bu bilgiler; radyoaktif madde, çevrim içi öğrenme platformları, Richter ölçeği, kitap satışları, salgın modeli, pH, nüfus artışı, maliyet değişimi ve farklı cebirsel alıştırmalar üzerinden uygulanır.

Konuyu Bitirdiğinde Bunları Yapabiliyor Olmalısın

• üstel denklem ve eşitsizlikleri tabanın durumuna göre çözebilmelisin.
• logaritmik denklem ve eşitsizliklerde bütün tanım koşullarını uygulayabilmelisin.
• değişken tabanlı logaritmalarda taban koşullarını kontrol edebilmelisin.
• gerçek yaşam durumundan üstel veya logaritmik model kurabilmelisin.
• iki fonksiyonun eşit olduğu veya birinin diğerinden büyük olduğu aralığı belirleyebilmelisin.
• cebirsel, grafiksel ve tablo temsillerini problem bağlamında yorumlayabilmelisin.
• Richter, pH, nüfus, satış, salgın ve maliyet gibi kitapta verilen modellerde birim ve aralık kontrolü yapabilmelisin.
• bulunan çözümün problem koşullarına uygun olup olmadığını değerlendirebilmelisin.