Üstel ve Logaritmik Denklem ve Eşitsizlik Problemleri Ders Notu

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlarla İfade Edilebilen Denklem ve Eşitsizlikler İçeren Problemler — Ders Notu

Üstel Denklemler

a>0 ve a≠1 için aynı tabanlı üstel ifadelerde

a^(f(x))=a^(g(x))

ise f(x)=g(x) olur.

Tabanlar aynı biçime getirilemiyorsa

a^(f(x))=g(x)

eşitliği g(x)>0 koşuluyla f(x)=log_a(g(x)) biçimine dönüştürülebilir.

Üstel Eşitsizlikler

a>1 olduğunda üstel fonksiyon artandır; eşitsizlik yönü korunur.

0<a<1 olduğunda üstel fonksiyon azalandır; eşitsizlik yönü tersine döner.

Logaritmik Denklemler

log_a(f(x))=g(x)

ise f(x)=a^(g(x)) olur. f(x)>0 koşulu gereklidir.

log_a(f(x))=log_a(g(x))

ise f(x)=g(x) yazılır; f(x)>0 ve g(x)>0 olmalıdır.

Taban h(x) ise ayrıca h(x)>0 ve h(x)≠1 koşulları sağlanmalıdır.

Logaritmik Eşitsizlikler

a>1 için logaritmik fonksiyon artandır ve yön korunur.

0<a<1 için logaritmik fonksiyon azalandır ve yön tersine döner.

Her durumda bütün logaritma içleri pozitiftir.

Radyoaktif Madde

Kitaptaki model

A(t)=160·(1/2)^t

şeklindedir. Başlangıç miktarı 160 kg, yarılanma süresi 1 gündür. Belirli bir miktara ulaşılan zaman A(t) o miktara eşitlenerek bulunur.

EBA Akademik Destek ve MEBİ

EBA kullanıcı sayısı: 900000·(1,08)^x

MEBİ kullanıcı sayısı: 1200000·(1,05)^x

Hedef 2 milyon olduğundan eksik kullanıcı sayıları

f(x)=2000000-900000·(1,08)^x

g(x)=2000000-1200000·(1,05)^x

şeklindedir.

f(x)=0 veya g(x)=0 hedefe ulaşma zamanını, f(x)=g(x) iki platformun hedefte eksik kullanıcı sayılarının eşit olduğu zamanı gösterir.

Richter Modeli

Deprem büyüklüğü

R=log d

ile hesaplanır; d mikron cinsindendir.

1 mm=10^3 mikron olduğundan birim dönüşümü önce yapılmalıdır.

Kitaptaki hasar aralıkları:

0<R≤2: hasar yok 2<R≤4: hafif hasar 4<R≤6: orta hasar 6<R≤8: ağır hasar

Kitap Satışları

Birinci strateji:

f(t)=200·log_2 t+400

İkinci strateji:

g(t)=100·log_2 t+700

Eşit satış için f(t)=g(t) yazılır ve t=8 bulunur.

Birinci stratejinin daha fazla satış yaptığı dönem f(t)>g(t) ile gösterilir ve t>8 elde edilir.

Salgın Modeli

P(t)=40·e^(t/80), t<t0

P(t)=150-20·ln t, t≥t0

1. günde hasta sayısı yaklaşık 51 kişidir. İki grafiğin kesişimi yaklaşık t=47,76 olduğundan pik süresi yaklaşık 48 gündür.

Karmaşık denklemlerde grafiksel çözüm yaklaşık sonuca ulaşmak için kullanılabilir.

pH Modeli

pH=-log(H⁺ derişimi)

bağıntısı kullanılır. Hidrojen iyon derişimi 10^-4 ile 10^-6 mol/L aralığında olduğunda pH 4 ile 6 arasındadır.

Kitaptaki Temel Sonuçlar

5^(x+1)-3=17 denklemi için x=log_5 4.

(1/3)^(x+14)>(1/27)^(7-2x) için x<1.

log(5·log(x+3))-1=0 için x=97.

log_3 x-4≤0 için 0<x≤81.

2<log_2(x+1)<3 için 3<x<7.

log_(1/2)(x+3)≥-4 için -3<x≤13.

N(t)=20·e^(0,02t) modeli 54 milyonu ilk kez 51 yıl sonra geçer.

Raf probleminde a=128 ve b=243 bulunur.

log_5 400<x<log_3 250<y<log_2 1000 koşulunda en küçük ve en büyük x+y değerlerinin toplamı 24'tür.

Çokgen gösterimli eşitsizlikte x≥64 bulunur.

Alıştırma Sonuçları

log_3(x+3)≤2 eşitsizliğini sağlayan tam sayıların toplamı 18'dir.

Kumbarada 729 TL'ye 6. günde ulaşılır.

%10 artan nüfus 17000'i 2022 yılından itibaren geçer.

%10 azalan 1000 TL maliyet 729 TL'nin altına en az 4 yıl sonra iner.

(2/3)^(3x-1)<(9/4)^(x+3) için x>-1.

log_3(log_2(x-1))<1 için 2<x<9.

Kenarları 3, 6 ve 2^x olan üçgende x tam sayı değerlerinin toplamı 5'tir.

3^(log_x 8)·2^(log_x 3)=9 denklemi için x=4.

log_4(x^2+12x+m) her gerçek x için tanımlıysa en küçük tam sayı m=37'dir.

log_7(-4x^2+4x+15) için tanım aralığı -3/2<x<5/2'dir.

Sık Karıştırılan Noktalar

Üstel ve logaritmik eşitsizliklerde yönün tabana bağlı olduğu unutulmamalıdır. Logaritmada iç ifade her zaman pozitif olmalıdır. Değişken tabanlı logaritmada tabanın pozitif ve 1'den farklı olma şartı ayrıca kontrol edilir. Gerçek yaşam problemlerinde birim dönüşümü yapılmadan modele geçilmemeli ve bulunan sonuç problem bağlamında yeniden değerlendirilmelidir.

Kısa Özet

Modeli kur, denklem veya eşitsizliği yaz, taban ve tanım koşullarını kontrol et, uygun cebirsel ya da grafiksel yöntemle çöz ve sonucu problemdeki niceliğe göre yorumla.