Logaritma Fonksiyonu Ders Notu

Tanım ve Ters Fonksiyon

**a>0, a≠1, x>0** için **log_a x=y ⇔ a^y=x**. f(x)=a^x (R→R⁺) ile f⁻¹(x)=log_a x (R⁺→R) ters fonksiyonlardır. Ters fonksiyon grafiklerinde (u,v) ile (v,u) noktaları eşleşir; simetri doğrusu **y=x**'tir.

Tanım Kümesi

log_(g(x))h(x) için üç koşul birlikte gereklidir: **g(x)>0**, **g(x)≠1**, **h(x)>0**. Örneğin log_(x−1)(6−x)'in tanım kümesi **(1,2)∪(2,6)** olur. İkinci derece bir iç ifadenin her x için pozitif kalması sorularında başkatsayı pozitif ve Δ<0 koşulu kullanılabilir.

Grafik ve Artış-Azalış

Üstel grafikle logaritma grafiği y=x'e göre simetriktir. Logaritma grafiği y eksenini kesmez ve x=0 dikey asimptottur. Taban 1'den büyükse x→0⁺ iken fonksiyon −∞'ye, x→∞ iken +∞'ye yönelir; taban 0 ile 1 arasındaysa bunun tersi görülür.

log_a x grafiği **(1,0), (a,1), (1/a,−1)** noktalarından geçer. Tanım kümesi (0,∞), görüntü kümesi R; x=0 dikey asimptottur. **a>1** ise artan, **0<a<1** ise azalan fonksiyondur. Artan tabanda içlerin sırası korunur, azalan tabanda tersine döner.

Onluk ve Doğal Logaritma

**log x=log₁₀x**, **ln x=log_e x**; e≈2,71828. log100=2, log0,01=−2, ln(e³)=3 ve ln1=0. e^x ile ln x ters fonksiyonlardır.

Özel Değerler ve Terslik

• log_a1=0; log_a a=1.
• log_a(a^t)=t; a^(log_a x)=x (x>0).
• log₅(1/25)=−2; log_(1/2)8=−3.

Çarpım, Bölüm, Kuvvet

Pozitif x,y için:

• **log_a(xy)=log_a x+log_a y**
• **log_a(x/y)=log_a x−log_a y**
• **log_a(x^t)=t log_a x** (t gerçek)

Örneğin log₂24−log₂3=log₂8=3; log₃81=4. log₃a=p ve log₃b=q ise log₃(a²/b)=2p−q bağıntısı elde edilir. Toplamın logaritmasını parçalara ayırmaya çalışma; kurallar çarpım, bölüm ve kuvvet içindir. Logaritma toplama üzerine dağılmaz: log_a(x+y) genel olarak log_a x+log_a y değildir.

Taban Değiştirme ve Zincir

**log_a x=log_c x/log_c a=ln x/ln a** (c>0, c≠1). **log_a b=1/log_b a**. Zincirde **log_a b · log_b c=log_a c**. Örneğin log₂5·log₅8=log₂8=3.

Kuvvetli Taban ve Logaritmalı Üstel

**log_(a^n)(b^m)=(m/n)log_a b** (n≠0 ve taban koşulları geçerli). **a^(log_b c)=c^(log_b a)**; özellikle a^(log_a x)=x. Örneğin log₂₇9=2/3, log_(1/9)27=−3/2.

İşlemli Örnek ve Kontrol

Önce taban ve iç koşullarını yaz, sonra logaritmik eşitliği üstel biçime dönüştür. Tanım kümesi aralıklarında açık uçlar unutulmamalıdır: log_(x−2)(6−x) için 2<x<6 ve x≠3 gerekir. Karşılaştırma sorusunda taban 0<a<1 ise sıralama tersine döner.

log₃u=2 ve log₂(u+v)=4 için u=9, u+v=16, v=7 bulunur. Bu tür sorularda sonuç doğrulandıktan sonra **u>0 ve u+v>0** koşulları da korunmalıdır. Ters fonksiyonda y=log₂(x−4) ise x=2^y+4 ve f⁻¹(x)=2^x+4.

Kısa Özet

Önce tanım koşullarını denetle; sonra üs–logaritma dönüşümü, artış-azalış, çarpım-bölüm-kuvvet ve taban değiştirme kurallarını uygula. Sonucun bulunması kadar **hangi değerlerde geçerli olduğunun** denetlenmesi de zorunludur.