Üstel, Logaritmik Denklemler ve Eşitsizlikler Ders Notu

Üstel, Logaritmik Denklemler ve Eşitsizlikler – Ders Notu

Üstel Denklemler

İçinde bilinmeyen üs bulunan denklemler üstel denklemdir. a>0, a≠1 için **a^u=a^v ⇔ u=v**. Tabanlar aynı yapılabiliyorsa önce üsler eşitlenir. Örnek: 9^(x−1)=3^(x+3) ⇒ 2x−2=x+3 ⇒ x=5.

Tabanlar farklı ve ortak tabana çevrilemiyorsa her iki tarafa logaritma uygulanır: 2^x=7 ⇒ x=ln7/ln2=log₂7. Örnek: 3^(x+1)=5 ⇒ x=ln5/ln3−1.

Değişken Değiştirme ve Çarpanlara Ayırma

**a^(2x)=(a^x)²** kullanılarak t=a^x>0 seçilir. t²−5t+6=0 ise t=2,3 olabilir; fakat t²+t−2=0 denkleminden gelen t=−2 elenir. Üstel çarpanlar pozitif olduğu için (x−4)e^x=0 ⇒ x=4'tür.

Logaritmik Denklemler

log_a f(x)=c ⇔ f(x)=a^c ve **f(x)>0**; log_a f(x)=log_a g(x) için f(x)=g(x) yanında **f(x)>0, g(x)>0** gerekir. Değişken tabanlı log_(g(x)) f(x)=c için g(x)>0, g(x)≠1, f(x)>0 ve f(x)=g(x)^c koşulları birlikte aranır.

İç içe logaritmada dış logaritmanın içi de pozitif olmalıdır: log₂(log₃ x) tanımlıysa x>1. (log₂x)²−3log₂x+2=0 için t=log₂x alınarak x=2,4 bulunur.

Üstel Eşitsizlikler

• **a>1:** a^u≤a^v ⇔ u≤v.
• **0<a<1:** a^u≤a^v ⇔ u≥v.

Örnek: (1/2)^(x−2)≥(1/2)^3 ⇒ x−2≤3 ⇒ x≤5. Gerekirse elde edilen polinom eşitsizliği işaret tablosuyla çözülür.

Logaritmik Eşitsizlikler

• Önce bütün logaritma içleri **pozitif** olmalı.
• **a>1:** log_a u≤log_a v ⇔ u≤v.
• **0<a<1:** log_a u≤log_a v ⇔ u≥v.

Örnek: log₃(x−1)<2 için 0<x−1<9 ve **1<x<10**. log_(1/2)(x+2)≥−1 için 0<x+2≤2 ve **−2<x≤0** olur.

Logaritma karesi içeren eşitsizlikte t=log_a x dönüşümü uygulanabilir: (log₂x)²≤4 ⇒ −2≤log₂x≤2 ⇒ **1/4≤x≤4**.

Üstel Modelleme

**y=n·e^(kt)**; n başlangıç, t süre, k değişim sabiti. k>0 büyüme, k<0 bozunmadır. Bilinen y ve t için k=ln(y/n)/t. Aynı oranla büyüyen bir nicelikte süre iki katına çıkınca büyüme katsayısının karesi alınır.

**Yarılanma ömrü T** için y=n·(1/2)^(t/T). Kitapta karbon-14 için T≈5730 yıl alınır. Oran 1/4 ise iki yarılanma süresi, yani 11.460 yıl geçmiştir.

Her ay r oranında artırılan tasarrufun n'inci ay tutarı **A_n=A_1(1+r)^(n−1)**. Toplam tasarruf, dönem tutarlarının toplamıdır.

Logaritmik Ölçekler

**Richter:** R=log(L/L₀); fark ΔR ise L oranı 10^(ΔR).

**Desibel:** B=10log(I/I₀), I₀=10^(−12) W/m²; fark ΔB ise şiddet oranı 10^(ΔB/10).

Örnek: 20 dB fark ⇒ ses şiddetleri oranı 10²=100; Richter'de 2 birim fark ⇒ ilgili L değerleri oranı 10²=100.

Kısa Özet

Denklemlerde dönüşüm yöntemini, eşitsizliklerde tabanın 1'e göre durumunu; bütün logaritmalı sorularda başlangıç tanım koşullarını; modellemede başlangıç miktarı ve süreyi aynı anda kontrol et.