9. Sınıf Matematik Gerçek Sayı Aralıkları ve Küme Sembolleri Konu Anlatımı

Gerçek Sayı Aralıklarının Gösterimi ve Aralıklarla İlgili İşlemlerde Küme Sembollerinin Kullanımı

Günlük hayatta pek çok kural bir sayı değeri yerine bir değer aralığıyla verilir. Bir iş ilanında “18-30 yaş arası”, bir oyuncağın girişinde “boyu en az 120 cm”, bir trafik levhasında “hız en fazla 50 km/sa” yazar. Bu ifadelerin her biri tek bir sayıyı değil, belirli bir koşulu sağlayan sayıların tamamını anlatır. Bu konuda bu tür sayı topluluklarını matematik diliyle nasıl yazacağımızı öğreneceğiz.

Konu üç adımda ilerler. Önce sayı kümelerini ve küme sembollerini (∈, ∉, ∪, ∩, \, ′, ⊆, s(A), ∅) tanırız. Ardından gerçek sayı aralıklarını dört farklı biçimde gösteririz: cebirsel temsil, sayı doğrusu, aralık gösterimi ve küme gösterimi. Son olarak aralıklar arasında birleşim, kesişim, fark ve tümleme işlemleri yaparız ve aralıkları mutlak değerli eşitsizlikle ifade ederiz.

Bu konunun sonunda şunları yapabiliyor olmalısın:

• bir sayı kümesini listeleme yöntemiyle ve ortak özellik yöntemiyle yazmak,
• ∈, ∉, ⊆, s(A), ∪, ∩, \, A′ ve ∅ sembollerini doğru okumak ve kullanmak,
• sözel olarak verilen bir durumu gerçek sayı aralığına çevirmek,
• bir aralığı cebirsel temsil, sayı doğrusu, aralık ve küme gösterimiyle ifade etmek,
• açık, kapalı ve yarı açık aralıkları ayırt etmek,
• iki aralığın birleşimini, kesişimini, farkını ve bir aralığın tümleyenini bulmak,
• bir aralığı mutlak değerli eşitsizlikle, mutlak değerli bir eşitsizliği de aralıkla göstermek,
• gerçek yaşam problemlerini bu gösterimlerle çözmek.

1. Sayı Kümeleri ve Küme Gösterimi

Sayı doğrusu üzerinde iki farklı nokta arasında kalan gerçek sayılar bir aralık oluşturur. Ancak her sayı topluluğu aralıkla gösterilemez. Örneğin 1 ile 6 arasındaki doğal sayılar yalnızca 2, 3, 4 ve 5'tir. Bu sayılar sayı doğrusunda tek tek noktalar olarak durur; aralarında boşluk vardır. Bu yüzden böyle topluluklar aralıkla değil, küme gösterimiyle yazılır. Önce kümeyi ve kümeyle ilgili sembolleri tanıyalım.

Küme, Eleman ve Kümelerin Adlandırılması

Belirli bir özelliği taşıyan sayıların oluşturduğu topluluğa sayı kümesi denir. Doğal sayılar, tam sayılar, çift tam sayılar, 3'ün katı olan doğal sayılar ve rasyonel sayılar birer sayı kümesidir. Bir kümeyi oluşturan her bir sayıya o kümenin elemanı denir.

Kümeler A, B, C gibi büyük harflerle adlandırılır.

• a sayısı A kümesinin elemanıysa a ∈ A yazılır ve “a, A'nın elemanıdır” diye okunur.
• a sayısı A kümesinin elemanı değilse a ∉ A yazılır ve “a, A'nın elemanı değildir” diye okunur.

Örneğin A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} ise 4 ∈ A ve 12 ∉ A olur.

Bir kümede her eleman yalnızca bir kez yazılır. {2, 3, 3, 5} yazmak yerine {2, 3, 5} yazılır.

Listeleme Yöntemi

Listeleme yönteminde kümenin elemanları küme parantezi { } içine yazılır ve aralarına virgül konur. Genel olarak

A = {x₁, x₂, x₃, ..., xₙ}

biçiminde gösterilir. Örneğin 10'dan küçük asal sayılar kümesi A = {2, 3, 5, 7} şeklinde listelenir.

Eleman sayısı çok fazla olan ama belirli bir düzenle devam eden kümelerde üç nokta (...) kullanılır. Tam sayılar kümesi bu şekilde yazılır:

ℤ = {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...}

Ortak Özellik Yöntemi

Ortak özellik yönteminde elemanlar tek tek yazılmaz. Bunun yerine elemanların hepsinin taşıdığı şart yazılır:

A = {x | x'in sahip olduğu tanımlayıcı özellikler}

Buradaki “|” sembolü “öyle ki” anlamına gelir. Bu gösterim “A kümesi, x elemanlarından oluşur; öyle ki x şu özellikleri taşır” diye okunur. x bir değişkendir; kümenin elemanlarını temsil eder.

Örneğin karesi 100'den küçük pozitif tam sayılar kümesi iki yolla yazılabilir:

• Listeleme: A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
• Ortak özellik: A = {x | x² < 100, x ∈ ℤ⁺}

Ortak özellik yönteminde kümenin hangi sayılardan seçildiğini mutlaka belirtmek gerekir (x ∈ ℕ, x ∈ ℤ, x ∈ ℝ gibi). Aynı şart farklı sayı kümelerinde farklı kümeler verir. Örneğin “1 < x < 4” şartını x ∈ ℤ için yalnız 2 ve 3 sağlar; x ∈ ℝ için ise 1 ile 4 arasındaki sonsuz sayıda gerçek sayı sağlar.

Bazı önemli kümelerin ortak özellik yöntemiyle yazılışı:

• Doğal sayılar: ℕ = {x | x ≥ 0, x ∈ ℤ} = {0, 1, 2, 3, ...}
• 3'ün katı olan doğal sayılar: K = {x | x = 3k, k ∈ ℕ} = {0, 3, 6, 9, ...}
• Çift tam sayılar: Ç = {x | x = 2k, k ∈ ℤ}
• Tek rakamlar: T = {x | x = 2k + 1, 0 ≤ k ≤ 4, k ∈ ℤ} = {1, 3, 5, 7, 9}

Bu örneklerde k yardımcı bir değişkendir. 2k her zaman çift, 2k + 1 her zaman tek, 3k her zaman 3'ün katıdır. k'nin hangi değerleri alacağı yazılan koşulla sınırlanır.

Listeleme Ne Zaman Yapılamaz?

Bir kümenin elemanları sonlu sayıdaysa veya belirli bir düzenle sıralanabiliyorsa listeleme yapılabilir. Rasyonel ve gerçek sayılarda ise iki sayı arasında her zaman sonsuz sayıda başka sayı vardır ve bunları sırayla yazmak mümkün değildir. Örneğin “2'den küçük pozitif rasyonel sayılar” kümesinde 1'den sonraki elemanı yazamayız; çünkü 1 ile 2 arasına 3/2, 5/4, 9/8... gibi istediğimiz kadar rasyonel sayı sığar. Bu nedenle böyle kümeler yalnız ortak özellik yöntemiyle yazılır:

C = {x | 0 < x < 2, x ∈ ℚ}

1/2 ile 16/3 arasındaki rasyonel sayılar da aralık şeklinde gösterilemez. Bir aralık iki sayı arasındaki bütün gerçek sayıları, yani irrasyonel sayıları da içerir. Rasyonel sayılarla sınırlı bir topluluk ancak {x | 1/2 < x < 16/3, x ∈ ℚ} biçiminde ortak özellikle yazılır.

Eleman Sayısı ve Boş Küme

Bir A kümesinin eleman sayısı s(A) ile gösterilir. A = {2, 3, 5, 7} ise s(A) = 4 olur.

Hiç elemanı olmayan kümeye boş küme denir ve ∅ ile gösterilir. Örneğin hem tek hem çift olan tam sayıların kümesi boş kümedir.

Küme İşlemleri ve Sembolleri

İki küme arasında yapılan işlemler aşağıdaki sembollerle gösterilir.

Birleşim (∪): A ve B kümelerinin elemanlarının tamamından oluşan kümedir. A ∪ B yazılır, “A birleşim B” diye okunur. Her iki kümede bulunan bir eleman birleşimde bir kez yazılır. Sözel ifadelerde “veya” bağlacı birleşimi gösterir.

Kesişim (∩): A ve B kümelerinin ortak elemanlarından oluşan kümedir. A ∩ B yazılır, “A kesişim B” diye okunur. Sözel ifadelerde “hem ... hem de ...” kalıbı kesişimi gösterir.

Fark (\): A kümesinde olup B kümesinde olmayan elemanların oluşturduğu kümedir. A \ B yazılır, “A fark B” diye okunur. A \ B ile B \ A genellikle farklı kümelerdir.

Tümleyen (′): Üzerinde çalışılan bütün elemanları içeren kümeye evrensel küme denir. Bir A kümesinin elemanı olmayıp evrensel kümede bulunan elemanların kümesine A'nın tümleyeni denir. A′ yazılır, “A tümleyen” diye okunur. Tümleyen her zaman bir evrensel kümeye göre bulunur.

Alt küme (⊆): A kümesinin bütün elemanları B kümesinde de bulunuyorsa A, B'nin alt kümesidir. A ⊆ B yazılır, “A alt kümesidir B'nin” diye okunur. Bu sembol, A'nın B'ye eşit olabileceğini de kapsar.

Bu sembollerin özeti:

• ∪: birleşim
• ∩: kesişim
• \: fark
• A′: A kümesinin tümleyeni
• ∅: boş küme
• ∈: elemanıdır
• ∉: elemanı değildir
• ⊆: alt küme
• s(A): A kümesinin eleman sayısı
• A = {x₁, x₂, ..., xₙ}: listeleme yöntemiyle gösterim

Sayı Kümeleri Arasındaki İlişki ve Evrensel Küme

Her doğal sayı aynı zamanda bir tam sayıdır. Her tam sayı a/1 biçiminde yazılabildiği için rasyonel sayıdır. Rasyonel ve irrasyonel sayıların hepsi gerçek sayıdır. Bu ilişki alt küme sembolüyle şöyle yazılır:

ℕ ⊆ ℤ ⊆ ℚ ⊆ ℝ ve ℚ′ ⊆ ℝ

Gerçek sayılar kümesi (ℝ); doğal sayılar (ℕ), tam sayılar (ℤ), rasyonel sayılar (ℚ) ve irrasyonel sayılar (ℚ′) kümelerini kapsayan en geniş kümedir. Bu nedenle sayı kümeleriyle yapılan işlemlerde evrensel küme olarak gerçek sayılar kümesi alınabilir.

Tam sayılar kümesinde olup doğal sayılar kümesinde olmayan sayılar negatif tam sayılardır:

ℤ \ ℕ = {..., −3, −2, −1} = {x | x < 0, x ∈ ℤ}

2. Gerçek Sayı Aralıkları

Bir sporcunun kütlesi, bir insanın boyu, bir sıvının sıcaklığı gibi ölçülen nicelikler tam sayı olmak zorunda değildir. Boyu 160 cm olan Ayşe'den uzun, 175 cm olan Can'dan kısa birinin boyu 168 cm olabileceği gibi 168,5 cm veya 170,25 cm de olabilir. Bu değerler sonsuz sayıdadır ve tek tek listelenemez. Böyle durumlarda gerçek sayı aralıkları kullanılır.

Gerçek sayı aralıkları ve bu aralıklarla yapılan işlemlerde evrensel küme gerçek sayılar kümesidir. Sayı doğrusu da gerçek sayıların bir temsilidir; doğrunun her noktası bir gerçek sayıya karşılık gelir.

Bir Aralığın Dört Gösterimi

“Boyu (x cm) 160 cm'den uzun, 175 cm'den kısa” ifadesini dört farklı biçimde yazabiliriz.

Cebirsel temsil: x ∈ ℝ olmak üzere 160 < x < 175

Sayı doğrusu gösterimi: 160 ve 175 noktaları içi boş daire ile işaretlenir, aradaki bölge boyanır. İçi boş daire, o sayının aralığa dâhil olmadığını gösterir.

Aralık gösterimi: (160, 175). Bu aralığa açık aralık denir.

Küme gösterimi: A = {x | 160 < x < 175, x ∈ ℝ}

Koşul değişirse gösterimler de değişir:

“Boyu Ayşe'nin boyuna eşit veya ondan uzun, Can'dan kısa” ifadesinde 160 aralığa girer, 175 girmez. Cebirsel temsil 160 ≤ x < 175, aralık gösterimi [160, 175) olur. Sayı doğrusunda 160 dolu nokta, 175 içi boş noktadır.

“Ayşe'den uzun, Can'ın boyuna eşit veya ondan kısa” ifadesinde 160 < x ≤ 175 yazılır. Aralık (160, 175] olur.

“Ayşe'nin boyuna eşit veya uzun, Can'ın boyuna eşit veya kısa” ifadesinde iki uç da aralığa girer: 160 ≤ x ≤ 175. Aralık [160, 175] olur. Bu aralığa kapalı aralık denir.

Bu dört gösterim aynı sayı topluluğunu anlatır; aralarındaki fark yalnızca yazılış biçimidir. Hangisinin kullanılacağı duruma göre seçilir:

• Cebirsel temsil, problemi eşitsizlik olarak kurmaya ve hesap yapmaya uygundur.
• Sayı doğrusu, aralıkları gözle karşılaştırmayı ve küme işlemlerini görmeyi kolaylaştırır.
• Aralık gösterimi en kısa yazımdır.
• Küme gösterimi, aralığa bir ad verip ∪, ∩, \ gibi işlemlerde kullanmayı sağlar.

Açık, Kapalı ve Yarı Açık Aralıklar

a, b ∈ ℝ ve a < b olmak üzere sınırlı aralıklar dört türlüdür:

• (a, b): a < x < b. Açık aralık. İki uç da dâhil değildir; sayı doğrusunda iki uç içi boş noktadır. Küme gösterimi A = {x | a < x < b, x ∈ ℝ}.
• [a, b): a ≤ x < b. Yarı açık aralık. a dâhil, b dâhil değildir; a dolu, b içi boş noktadır. Küme gösterimi B = {x | a ≤ x < b, x ∈ ℝ}.
• (a, b]: a < x ≤ b. Yarı açık aralık. a dâhil değil, b dâhildir; a içi boş, b dolu noktadır. Küme gösterimi C = {x | a < x ≤ b, x ∈ ℝ}.
• [a, b]: a ≤ x ≤ b. Kapalı aralık. İki uç da dâhildir; iki uç da dolu noktadır. Küme gösterimi D = {x | a ≤ x ≤ b, x ∈ ℝ}.

Kural kısaca şudur: Parantez “(” veya “)”, “<” işaretine ve içi boş noktaya karşılık gelir. Köşeli parantez, “≤” işaretine ve dolu noktaya karşılık gelir.

Sınırsız Aralıklar

Bazı koşullarda yalnızca bir sınır vardır: “en az 18 yaşında”, “sıcaklığı 0 °C'un altında” gibi. Bu durumda aralık bir yönde sınırsız devam eder. Sınırsız devam eden yön sonsuz sembolüyle gösterilir: sağa doğru ∞ (artı sonsuz), sola doğru −∞ (eksi sonsuz).

a, b ∈ ℝ olmak üzere:

• (−∞, a): x < a veya a > x. a dâhil değildir. F = {x | x < a, x ∈ ℝ}
• (−∞, a]: x ≤ a veya a ≥ x. a dâhildir. G = {x | x ≤ a, x ∈ ℝ}
• (b, ∞): x > b veya b < x. b dâhil değildir. H = {x | x > b, x ∈ ℝ}
• [b, ∞): x ≥ b veya b ≤ x. b dâhildir. I = {x | x ≥ b, x ∈ ℝ}

Sayı doğrusunda bu aralıklar, uç noktadan başlayıp sola veya sağa doğru sonsuza giden bir ışın olarak boyanır. Ucun dolu ya da içi boş olması yine o sayının dâhil olup olmamasına bağlıdır.

Sözel İfadeyi Aralığa Çevirmek

Gerçek yaşam problemlerinde kullanılan kelimeler eşitsizlik işaretini belirler:

• “en az a” → x ≥ a
• “en fazla b”, “b'yi aşamaz” → x ≤ b
• “a'dan büyük, a'nın üstünde” → x > a
• “b'den küçük, b'nin altında” → x < b
• “a ile b arasında (a ve b dâhil)” → a ≤ x ≤ b
• “a ile b arasında” (dâhil olduğu söylenmemişse) → a < x < b

3. Gerçek Sayı Aralıklarıyla Yapılan İşlemler

Aralıklar birer gerçek sayı kümesi olduğu için kümelerde öğrendiğimiz birleşim, kesişim, fark ve tümleme işlemleri aralıklara da uygulanır. Bu işlemleri yapmanın en güvenli yolu sayı doğrusudur. Her aralık ayrı bir sayı doğrusu üzerinde, aynı ölçekle ve alt alta çizilir. Sonuç sayı doğrusundan okunur.

Uç Noktaların Kuralı

Bir uç noktanın sonuç kümeye girip girmediği, o noktanın her aralıkta dâhil olup olmamasına göre belirlenir:

• Kesişim (A ∩ B): Nokta hem A'da hem B'de varsa dâhildir.
• Birleşim (A ∪ B): Nokta A'da veya B'de varsa dâhildir.
• Fark (A \ B): Nokta A'da var, B'de yoksa dâhildir.
• Tümleyen (A′): Nokta A'da yoksa dâhildir. Evrensel küme ℝ'dir.

Bu kuralın önemli bir sonucu vardır: Fark ve tümleme işlemlerinde uç noktaların durumu tersine döner. A'da dâhil olan bir uç A′'ye girmez; A'da dâhil olmayan bir uç A′'ye girer.

Kesişim ve Birleşim

Bir satranç kursu saat 9.00'da başlayıp 15.00'te, bir yüzme kursu 10.00'da başlayıp 12.00'de bitsin. Bu tür bir zaman probleminde kurs süreleri aralık olarak yazılır ve iki aralığın üst üste geldiği bölge kesişim, toplam kapladıkları bölge birleşim olur. Kısa bir aralık uzun aralığın tamamen içindeyse kesişim kısa aralığın kendisi, birleşim ise uzun aralığın kendisidir.

Kesişim, iki koşulun aynı anda sağlanmasını ister. “Hem ... hem de ...”, “ve”, “her iki koşulu da” ifadeleri kesişim demektir. Birleşim ise koşullardan en az birinin sağlanmasıdır. “veya”, “en az biri” ifadeleri birleşim demektir.

İki aralık hiç üst üste gelmiyorsa kesişimleri boş kümedir. Örneğin (1, 3) ∩ [3, 7] = ∅ olur, çünkü 3 ilk aralığa dâhil değildir. Bu durumda birleşim tek bir aralık olarak yazılamaz; iki aralığın birleşimi olarak bırakılır: (1, 3) ∪ (5, 9) gibi.

Fark

A \ B kümesini bulmak için A aralığından, B ile çakışan bölge çıkarılır. Sonuç tek bir aralık olabileceği gibi iki aralığın birleşimi de olabilir.

Tümleyen

Aralıklarda evrensel küme ℝ olduğu için A′, sayı doğrusunda A'nın dışında kalan bütün bölgedir.

• [a, b]′ = (−∞, a) ∪ (b, ∞). Cebirsel temsil: x < a veya x > b.
• (a, b)′ = (−∞, a] ∪ [b, ∞). Cebirsel temsil: x ≤ a veya x ≥ b.
• [a, ∞)′ = (−∞, a)
• (−∞, a)′ = [a, ∞)

Örneğin bir cihaz için uygun yükseklik aralığı A = [80, 95] ise uygun olmayan yükseklikler A′ = (−∞, 80) ∪ (95, ∞), yani x < 80 veya x > 95 olur.

4. Aralıkların Mutlak Değerle Gösterimi

Mutlak Değer ve Uzaklık

Sayı doğrusunda x ile a arasındaki uzaklık |x − a| ile gösterilir. Uzaklık negatif olamaz; |x − a| her zaman sıfır veya pozitiftir. Örneğin |7 − 3| = 4 ve |−1 − 3| = 4'tür. Hem 7 hem −1 sayısı 3'e 4 birim uzaklıktadır.

Bu fikri bir iple düşünelim: 4 birim uzunluğundaki bir ipin bir ucu sayı doğrusunda 2 noktasına sabitlenip öbür ucu gergin şekilde sağa ve sola uzatılırsa ip en fazla 2 − 4 = −2 ile 2 + 4 = 6 noktalarına ulaşır. İpin temas edebildiği sayılar, 2'ye uzaklığı en fazla 4 olan sayılardır:

|x − 2| ≤ 4 ⇔ −2 ≤ x ≤ 6 ⇔ x ∈ [−2, 6]

İpin ulaşamadığı sayılar ise 2'ye uzaklığı 4'ten büyük olan sayılardır:

|x − 2| > 4 ⇔ x < −2 veya x > 6 ⇔ x ∈ (−∞, −2) ∪ (6, ∞)

Mutlak Değerli Eşitsizlikten Aralığa

x, a ∈ ℝ ve b ∈ ℝ⁺ olmak üzere:

• |x − a| < b ifadesinin aralık gösterimi (−b + a, b + a) biçimindedir.
• |x − a| ≤ b ifadesinin aralık gösterimi [−b + a, b + a] biçimindedir.
• |x − a| > b ifadesinin aralık gösterimi (−∞, −b + a) ∪ (b + a, ∞) biçimindedir.
• |x − a| ≥ b ifadesinin aralık gösterimi (−∞, −b + a] ∪ [b + a, ∞) biçimindedir.

Bu kuralların anlamı şudur: a merkez, b ise merkezden izin verilen uzaklıktır. “Küçüktür” işareti merkeze yakın sayıları, yani tek bir aralığı verir. “Büyüktür” işareti merkezden uzak sayıları, yani iki yöne giden iki aralığın birleşimini verir. Eşitlik (≤ veya ≥) varsa uç noktalar dâhildir.

|x + 5| gibi bir ifadede merkezi bulmak için ifadeyi |x − (−5)| biçiminde düşün. Merkez −5'tir.

Aralıktan Mutlak Değerli Eşitsizliğe

Bir aralık mutlak değerli eşitsizlikle yazılırken iki değer bulunur:

• Merkez (orta nokta): c = (a + b) / 2
• Uç noktaların merkeze uzaklığı (aralık uzunluğunun yarısı): d = |a − b| / 2

Buna göre:

• (a, b) aralığının mutlak değerli gösterimi x ∈ ℝ olmak üzere |x − c| < d biçimindedir.
• [a, b] aralığının mutlak değerli gösterimi x ∈ ℝ olmak üzere |x − c| ≤ d biçimindedir.

Bir aralık mutlak değerle gösterilirken uç noktaların ikisi de aynı durumda olmalıdır: ya ikisi de dâhil ya ikisi de dâhil değil. Merkezin iki yanında eşit uzaklıkta, sonsuza giden iki aralığın birleşimi de |x − c| > d veya |x − c| ≥ d biçiminde yazılır.

5. Gerçek Yaşam Problemlerinde Çözüm Yöntemi

Bu konudaki problemlerin çoğu aynı adımlarla çözülür:

1. Değişkeni belirle: x neyi gösteriyor (boy, sıcaklık, saat, puan)?
2. Her koşulu ayrı bir aralık olarak yaz. “En az”, “en fazla”, “arasında (dâhil)” gibi kelimelere göre uç noktaların durumunu belirle.
3. Koşulların nasıl bağlandığına bak: “ve, hem ... hem de” ise kesişim; “veya, en az biri” ise birleşim; “... olup ... olmayan” ise fark; “dışında kalan, uymayan” ise tümleyen.
4. Aralıkları sayı doğrusunda alt alta çizip işlemi yap.
5. Sonucu istenen gösterimle (cebirsel, aralık, küme veya mutlak değer) yaz ve uç noktaları son kez kontrol et.

Sınavlarda Sık Görülen Soru Kalıpları

Kalıp 1: Aralıktaki Tam Sayıları Sayma

Soruda bir aralık veya mutlak değerli eşitsizlik verilir, aralıktaki tam sayıların sayısı ya da toplamı istenir.

Kalıp 2: İki Aralıkla Küme İşlemi

İki aralık verilir; kesişim, birleşim, fark veya tümleyen istenir. Seçenekler çoğunlukla yalnız uç noktaların durumunda ayrışır.

Kalıp 3: Mutlak Değer ile Aralık Arasında Dönüşüm

Ya mutlak değerli bir eşitsizlik verilip aralık istenir ya da aralık verilip eşitsizlik istenir.

Kalıp 4: Sözel Problemden Aralık Kurma

Boy, sıcaklık, puan, saat gibi koşullar verilir; birden fazla koşulu birlikte sağlayan veya birini sağlayıp diğerini sağlamayan değerler istenir.

Sık Karıştırılan Noktalar

• (a, b) ile [a, b]: Parantez ucu dışarıda, köşeli parantez içeride bırakır.
• ∈ ile ⊆: ∈ bir elemanla küme arasında, ⊆ iki küme arasında kullanılır. 3 ∈ A yazılır, {3} ⊆ A yazılır.
• A \ B ile B \ A: Genellikle farklı kümelerdir.
• Tümleyende uçlar: [1, 7]′ = (−∞, 1) ∪ (7, ∞); 1 ve 7 tümleyene girmez.
• |x − c| < d ile |x − c| > d: Birincisi tek aralık, ikincisi iki ışının birleşimidir.
• |x + 5|: Merkez 5 değil, −5'tir.
• ℕ: Bu kitapta doğal sayılar 0'dan başlar.
• Rasyonel sayılar topluluğu: Aralıkla gösterilmez, ortak özellikle gösterilir.

Soru Çözerken Kullanılabilecek Yaklaşım

• Her aralığın uç noktalarını dolu/içi boş olarak not al.
• Birden fazla aralık varsa sayı doğrusunda alt alta çiz.
• Sözel bağlacı işleme çevir: ve → ∩, veya → ∪, olup olmayan → \, dışında → ′.
• Mutlak değerde önce merkezi ve uzaklığı bul, sonra işarete bak.
• Tam sayı sayarken uçları en son ayrıca kontrol et.
• Seçenekler yalnız uçlarda farklıysa her ucu tek tek sına.

Konu Özeti

Kümeler listeleme veya ortak özellik yöntemiyle yazılır; ∈, ∉, ⊆, s(A), ∅, ∪, ∩, \ ve ′ sembolleri kullanılır. ℕ ⊆ ℤ ⊆ ℚ ⊆ ℝ'dir ve evrensel küme ℝ alınır. Gerçek sayı aralıkları cebirsel temsil, sayı doğrusu, aralık ve küme gösterimiyle ifade edilir; açık, kapalı, yarı açık ve sınırsız aralıklar vardır. Aralıklarla birleşim, kesişim, fark ve tümleme yapılırken uç noktalar tek tek kontrol edilir. |x − a| < b gibi eşitsizlikler a merkezli, b uzaklıklı aralıkları gösterir; bir aralık c = (a + b) / 2 ve d = |a − b| / 2 ile mutlak değerli eşitsizliğe çevrilir.