9. Sınıf Matematik Gerçek Sayıların İşlem Özelliklerini Cebirsel Olarak İfade Etme Konu Anlatımı

Gerçek Sayıların İşlem Özelliklerini Cebirsel Olarak İfade Etme

Matematikte kavramlar, özellikler ve işlem sonuçları hem sözel olarak hem de sembollerle ifade edilebilir. “Tabanları eşit üslü ifadeler çarpılırken taban aynen yazılır, üsler toplanır.” cümlesi kısaca aˣ · aʸ = aˣ⁺ʸ biçiminde yazılır. Sembolik dil kısadır, herkes tarafından aynı şekilde anlaşılır ve işlem yapmayı kolaylaştırır.

Bu konuda dört şeyi öğreneceğiz:

• önerme kavramını ve bir önermenin değilini (olumsuzunu),
• gerçek sayılarda toplama ve çarpma işlemlerinin özelliklerini (değişme, birleşme, birim eleman, ters eleman, yutan eleman, dağılma),
• niceleyicileri (her, bazı) ve mantık bağlaçlarını (ve, veya, ya da, ise, ancak ve ancak) sembolle yazmayı,
• özdeşlikleri (iki terimin toplamının karesi, farkının karesi, karelerinin farkı) cebirsel ve geometrik olarak göstermeyi ve problemlerde kullanmayı.

Bu konunun sonunda şunları yapabiliyor olmalısın:

• bir ifadenin önerme olup olmadığına karar vermek,
• bir önermenin değilini sözel ve sembolik olarak yazmak,
• gerçek sayılarda işlem özelliklerini sözel ve cebirsel olarak ifade etmek,
• çıkarma ve bölmenin hangi özelliklere sahip olmadığını açıklamak,
• niceleyici ve bağlaç içeren önermeleri sembolik dille yazmak ve okumak,
• basit önermeleri cebirsel olarak ispatlamak,
• özdeşlikleri açmak, çarpanlarına ayırmak ve hesaplamada kullanmak.

1. Önerme ve Önermenin Değili

Önerme

Kesin doğru ya da kesin yanlış bir hüküm bildiren ifadelere önerme denir. Önermeler sözel olarak veya sembollerle ifade edilebilir.

Örnekler:

• “Doğal sayılar kümesi, gerçek sayılar kümesinin bir alt kümesidir.” Kesin doğrudur; doğru bir önermedir.
• “−1 sayısının 12. kuvveti kendisine eşittir.” (−1)¹² = 1 ≠ −1 olduğundan kesin yanlıştır; yanlış bir önermedir. Yanlış hüküm bildiren bir ifade de önermedir.
• “∛x = 5 olduğuna göre x kaçtır?” Bu bir sorudur, doğru veya yanlış hüküm bildirmez; önerme değildir.

Günlük konuşmada da önermeler vardır. “Bir bölgenin nüfus yoğunluğu, o bölgede yaşayan kişi sayısının bölgenin yüz ölçümüne oranıdır.” cümlesi kesin doğru bir hüküm bildirir. Buna karşılık soru cümleleri, emir cümleleri veya kişiden kişiye değişen görüşler (“Bu şehir çok güzel.”) önerme değildir.

Önermenin Değili (Olumsuzu)

Bir önermenin hükmü değiştirilerek elde edilen önermeye o önermenin değili (olumsuzu) denir. Bir önerme doğruysa değili yanlış, önerme yanlışsa değili doğrudur.

Değil yazılırken önermedeki semboller değilleriyle değiştirilir:

• = sembolünün değili ≠, ≠ sembolünün değili =
• ∈ sembolünün değili ∉, ∉ sembolünün değili ∈
• < sembolünün değili ≥, > sembolünün değili ≤
• ≤ sembolünün değili >, ≥ sembolünün değili <

Dikkat: “<” sembolünün değili “>” değil, “≥”dir. Çünkü “x < 3 değildir” demek, x'in 3'e eşit veya 3'ten büyük olması demektir.

2. Gerçek Sayılarda İşlem Özellikleri

Bir dikdörtgenin kenarları 3 cm ve 1 cm olsun. Bazı öğrenciler çevreyi 2 · 3 + 2 · 1, bazıları 2 · 1 + 2 · 3, bazıları 2 · (3 + 1), bazıları da (3 + 1) · 2 olarak hesaplar. Hepsi 8 cm bulur. Uzun kenar a, kısa kenar b denirse bu hesaplar 2a + 2b, 2b + 2a, 2(a + b) ve (a + b) · 2 olarak yazılır. Bu ifadelerin hepsinin eşit olması, aşağıdaki işlem özelliklerinden kaynaklanır. Kenarlar 9/2 ve 7/3 gibi rasyonel veya 4√2 ve 3√2 gibi irrasyonel sayılar olsa da aynı özellikler geçerlidir.

Değişme Özelliği

∀a, b ∈ ℝ için a + b = b + a ve a · b = b · a olur.

Toplanan veya çarpılan sayıların yeri değiştirilirse sonuç değişmez. Örnek: 3√5 + (−√5) = (−√5) + 3√5 = 2√5.

Birleşme Özelliği

∀a, b, c ∈ ℝ için a + (b + c) = (a + b) + c ve a · (b · c) = (a · b) · c olur.

Üç sayı toplanırken veya çarpılırken hangi ikisinin önce işleme gireceği sonucu değiştirmez. Örnek: 2,5 · (0,5 · 4) = (2,5 · 0,5) · 4 = 5. Bu özellik hesaplamayı kolaylaştırır: 2,5 · 4 = 10 önce yapılırsa 10 · 0,5 = 5 daha hızlı bulunur.

Birim (Etkisiz) Eleman

∀a ∈ ℝ için a + 0 = 0 + a = a ve a · 1 = 1 · a = a olur.

Toplama işleminin birim elemanı 0, çarpma işleminin birim elemanı 1'dir. Bir sayıya 0 eklemek veya sayıyı 1 ile çarpmak sayıyı değiştirmez.

Ters Eleman

∀a ∈ ℝ için a + (−a) = (−a) + a = 0 olduğundan a'nın toplama işlemine göre tersi −a'dır.

∀a ∈ ℝ ve a ≠ 0 için a · (1/a) = (1/a) · a = 1 olduğundan a'nın çarpma işlemine göre tersi 1/a = a⁻¹'dir.

Bir sayı ile toplamaya göre tersinin toplamı birim eleman 0'ı, çarpmaya göre tersinin çarpımı birim eleman 1'i verir. 0'ın çarpmaya göre tersi yoktur, çünkü 0 ile çarpılınca 1 veren sayı yoktur.

Örnekler: √5'in toplamaya göre tersi −√5'tir. −2/3'ün çarpmaya göre tersi −3/2'dir, çünkü (−2/3) · (−3/2) = 1.

Yutan Eleman

∀a ∈ ℝ için a · 0 = 0 · a = 0 olduğundan çarpma işleminin yutan elemanı 0'dır.

Hangi sayı olursa olsun 0 ile çarpılınca sonuç 0 olur.

Dağılma Özelliği

Çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliği: ∀a, b, c ∈ ℝ için a · (b + c) = a · b + a · c ve (b + c) · a = b · a + c · a olur.

Çarpma işleminin çıkarma işlemi üzerine dağılma özelliği: ∀a, b, c ∈ ℝ için a · (b − c) = a · b − a · c ve (b − c) · a = b · a − c · a olur.

Örnek: 3 · (m + n) = 3m + 3n ve (3m − n) · 2 = 6m − 2n. Dağılma özelliği soldan sağa uygulanınca parantez açılır, sağdan sola uygulanınca ortak çarpan parantezine alınır: 6m − 2n = 2(3m − n).

Çıkarma ve Bölme İşlemleri

Gerçek sayılarda çıkarma ve bölme işlemlerinin değişme özelliği, birleşme özelliği, birim elemanı ve ters elemanı yoktur. Toplama, çıkarma ve bölme işlemlerinin yutan elemanı da yoktur.

Bunu karşıt örneklerle görebiliriz:

• Değişme yok: 5 − 2 = 3 ama 2 − 5 = −3. 6 ÷ 2 = 3 ama 2 ÷ 6 = 1/3.
• Birleşme yok: (8 − 4) − 2 = 2 ama 8 − (4 − 2) = 6. (8 ÷ 4) ÷ 2 = 1 ama 8 ÷ (4 ÷ 2) = 4.
• Birim eleman yok: a − 0 = a olur ama 0 − a = −a olduğundan 0 her iki taraftan birim eleman değildir. Bölmede de a ÷ 1 = a ama 1 ÷ a ≠ a (a ≠ 1 iken).

Çarpımı Sıfır Olan İfadeler

Yutan eleman ve ters eleman özellikleri birlikte önemli bir sonuç verir: İki gerçek sayının çarpımı 0 ise bu sayılardan en az biri 0'dır.

a · b = 0 ⇔ (a = 0 ∨ b = 0)

Neden? a ≠ 0 ise a'nın çarpmaya göre tersi vardır. a · b = 0 eşitliğinin iki tarafı 1/a ile çarpılırsa b = 0 bulunur. Bu sonuç cebirsel ifadeler için de geçerlidir: (x − 2)(x + 5) = 0 ise x − 2 = 0 veya x + 5 = 0, yani x = 2 veya x = −5.

3. Niceleyiciler ve Mantık Bağlaçları

“Her a gerçek sayısı sıfırla çarpıldığında sonuç sıfırdır.” veya “Bazı b gerçek sayıları a/b ifadesini tanımsız yapar.” gibi önermeleri sembollerle yazmak için niceleyiciler ve mantık bağlaçları kullanılır.

Niceleyiciler:

• ∃: bazı (en az bir)
• ∀: her

Mantık bağlaçları:

• ∧: ve
• ∨: veya
• ⊻: ya da
• ⇒: ise
• ⇔: ancak ve ancak

İki veya daha fazla önermeyi birlikte ifade edebilmek için mantık bağlaçlarından faydalanılır. “Ve” bağlacı iki koşulun birlikte sağlanmasını, “veya” en az birinin sağlanmasını anlatır. “Ya da” bağlacı iki durumdan yalnızca birinin olduğunu vurgular; örneğin “a ve b'nin çarpımı negatifse a ya da b negatiftir” cümlesinde iki sayının yalnızca biri negatiftir. “Ise” bir koşul ile sonucunu bağlar. “Ancak ve ancak” iki yönlü bağlantıdır: koşul sağlanırsa sonuç, sonuç sağlanırsa koşul gerçekleşir.

Sözel önermelerin sembolik karşılıklarına örnekler:

• “Her a, b gerçek sayısı için a, b'den büyükse a − b sıfırdan büyüktür.” → ∀a, b ∈ ℝ için (a > b) ⇒ (a − b > 0)
• “Sıfırdan farklı her a gerçek sayısı için a · b = 1 olmasını sağlayan en az bir b gerçek sayısı vardır.” → ∀a ∈ ℝ, a ≠ 0 için ∃b ∈ ℝ vardır, öyle ki a · b = 1
• “İki gerçek sayının çarpımı ancak ve ancak sayılardan biri sıfırsa sıfırdır.” → a, b ∈ ℝ için (a · b = 0) ⇔ (a = 0 ∨ b = 0)
• “a sıfıra eşit veya küçükse ve sıfıra eşit veya büyükse a sıfırdır.” → a ∈ ℝ için (a ≤ 0 ∧ a ≥ 0) ⇒ (a = 0)
• “İki gerçek sayının çarpımı ancak ve ancak ikisi de sıfırdan farklıysa sıfırdan farklıdır.” → a, b ∈ ℝ için (a · b ≠ 0) ⇔ (a ≠ 0 ∧ b ≠ 0)
• “a ve b'nin çarpımı negatifse a ya da b negatiftir.” → a, b ∈ ℝ için (a · b < 0) ⇒ (a < 0 ⊻ b < 0)

Niceleyici ve Bağlaç İçeren Önermelerin Değili

Değil yazılırken niceleyiciler ve bağlaçlar da değiştirilir:

• ∀ (her) sembolünün değili ∃ (bazı), ∃ sembolünün değili ∀
• ∧ (ve) sembolünün değili ∨ (veya), ∨ sembolünün değili ∧

Ayrıca karşılaştırma sembolleri de değilleriyle değiştirilir.

Önermelerin Cebirsel İspatı

Sembolik dil, önermeleri ispatlarken de kullanılır. İspatta hipotez (kabul edilen) ve hüküm (gösterilecek) yazılır; hipotezden başlanarak işlem özellikleriyle hükme ulaşılır.

4. Özdeşlikler

Cebirsel İfadelerin Eşitliği

Kenarları a ve b olan dikdörtgen şeklindeki bir kartonun her köşesinden kenarı k olan birer kare kesilsin. Kesilmeden önce çevre 2a + 2b'dir. Kesildikten sonra her köşede iki kenar parçası (toplam 2k) kaybolur, ama içe doğru iki yeni kenar (toplam 2k) eklenir. Yeni şeklin çevresi de 2a + 2b olur. a, b, k için (k < b < a olmak üzere) hangi pozitif değerler seçilirse seçilsin iki çevre eşittir. Değişkenlerin alabileceği bütün değerler için sağlanan bu tür eşitliklere özdeşlik denir.

Cebirsel ifadelerdeki değişkenlerin alacağı tüm gerçek sayı değerleri için sağlanan eşitliklere özdeşlik denir.

İki Terimin Toplamının Karesi

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Cebirsel gösterim: Dağılma özelliği iki kez uygulanır:

(a + b)² = (a + b)(a + b) = a · a + a · b + b · a + b · b = a² + 2ab + b²

(Değişme özelliğinden a · b = b · a olduğu için iki terim 2ab olarak birleşir.)

Geometrik gösterim: Kenarı (a + b) olan bir kare dört parçaya ayrılsın: kenarı a olan bir kare (alan a²), kenarı b olan bir kare (alan b²) ve kenarları a ile b olan iki dikdörtgen (her biri ab). Büyük karenin alanı (a + b)², parçaların alanları toplamı a² + 2ab + b²'dir. İki ifade aynı alanı gösterdiğinden eşittir.

İki Terimin Farkının Karesi

(a − b)² = a² − 2ab + b²

Cebirsel gösterim: (a − b)(a − b) = a² − ab − ba + b² = a² − 2ab + b².

Geometrik gösterim (b < a): Kenarı a olan kare; kenarı (a − b) olan bir kare, kenarı b olan bir kare ve kenarları (a − b) ile b olan iki dikdörtgene ayrılır. a² = (a − b)² + 2b(a − b) + b² yazılır. Buradan (a − b)² = a² − 2ab + 2b² − b² = a² − 2ab + b² bulunur.

İki Terimin Karelerinin Farkı

a² − b² = (a − b)(a + b)

Cebirsel gösterim: (a − b)(a + b) = a² + ab − ba − b² = a² − b². Ortadaki terimler birbirinin toplamaya göre tersi olduğundan sadeleşir.

Geometrik gösterim (b < a): Kenarı a olan kareden kenarı b olan kare çıkarılırsa kalan alan a² − b²'dir. Kalan bölge, kenarları (a − b) ile a ve (a − b) ile b olan iki dikdörtgenden oluşur. Bunlar yan yana getirilirse kenarları (a − b) ve (a + b) olan bir dikdörtgen elde edilir.

Özdeşliklerle Hesap Kolaylığı

Özdeşlikler, uzun görünen sayısal işlemleri kısaltır.

Sınavlarda Sık Görülen Soru Kalıpları

Kalıp 1: İşlem Özelliğini Tanıma

Bir eşitlik verilir ve hangi işlem özelliğinin kullanıldığı sorulur.

Kalıp 2: Önermenin Değili

Sembolik bir önerme verilir, değili istenir.

Kalıp 3: Özdeşlikle Sayısal Hesap

Büyük sayılar veya ondalıklı sayılarla kare farkı, toplamın karesi gibi işlemler istenir.

Kalıp 4: İspattaki Hatayı Bulma

Adım adım bir ispat verilir; ilk hatanın hangi adımda yapıldığı sorulur.

Sık Karıştırılan Noktalar

• Soru cümlesi önerme değildir; yanlış hüküm bildiren cümle ise önermedir.
• “<” sembolünün değili “≥”dir, “>” değildir.
• ∀'nın değili ∃, ∧'nin değili ∨'dir.
• Birim eleman: toplamada 0, çarpmada 1. Yutan eleman: yalnız çarpmada, 0.
• Ters eleman: toplamada −a, çarpmada 1/a; 0'ın çarpmaya göre tersi yoktur.
• Çıkarma ve bölmede değişme, birleşme, birim ve ters eleman yoktur.
• (a + b)² ≠ a² + b²; (a − b)² ≠ a² − b².
• a² − b² = (a − b)(a + b) ile (a − b)² karıştırılmamalıdır.
• Niceleyicilerin sırası değişince önermenin anlamı değişir.

Soru Çözerken Kullanılabilecek Yaklaşım

• Bir ifadede önce “kesin doğru/yanlış denebilir mi?” sorusunu sor.
• Değil yazarken niceleyici, bağlaç ve karşılaştırma sembollerini sırayla değiştir.
• İşlem özelliği sorularında eşitliğin iki tarafını karşılaştır: ne yer değiştirdi, ne açıldı?
• Büyük sayılarla işlemde önce bir özdeşlik ara: kare farkı, toplamın veya farkın karesi.
• Kök içinde a² + 2ab + b² düzeni ara.
• Çarpım 0 ise çarpanlardan birini 0'a eşitle.
• İspat sorularında her adımda hangi özelliğin kullanıldığını yaz.

Konu Özeti

Kesin doğru ya da kesin yanlış hüküm bildiren ifadeye önerme, hükmü değiştirilmiş hâline değili denir; değil yazılırken =, ∈, <, >, ∀, ∧ sırasıyla ≠, ∉, ≥, ≤, ∃, ∨ olur. Gerçek sayılarda toplama ve çarpma değişme ve birleşme özelliğine sahiptir; birim elemanlar 0 ve 1, ters elemanlar −a ve 1/a'dır (a ≠ 0); çarpmanın yutan elemanı 0'dır ve çarpma toplama ile çıkarma üzerine dağılır. Çıkarma ve bölmede bu özellikler yoktur. Çarpım 0 ise çarpanlardan en az biri 0'dır. Niceleyiciler (∀, ∃) ve bağlaçlar (∧, ∨, ⊻, ⇒, ⇔) önermeleri sembolle yazmayı sağlar. Özdeşlikler değişkenlerin her değeri için doğru olan eşitliklerdir: (a + b)² = a² + 2ab + b², (a − b)² = a² − 2ab + b², a² − b² = (a − b)(a + b); bunlar hem cebirsel hem geometrik olarak gösterilir ve hesaplamayı kolaylaştırır.