Belirsiz İntegral Ders Notu

Belirsiz İntegral — Ders Notu

Ters Türev ve İntegral Sabiti

F'(x)=f(x) ise F, f'nin ters türevidir; bütün ters türevlerin gösterimi **∫f(x)dx=F(x)+c**'dir. c keyfî gerçek sayıdır. Türevi 2x olan x²−1, x², x²+3 gibi fonksiyonlar **x²+c** ailesine girer. dx integrasyon değişkenini belirtir.

Diferansiyel ve Ters İşlemler

**d(F(x))=F'(x)dx**; dolayısıyla **∫d(F(x))=F(x)+c** ve **∫F'(x)dx=F(x)+c**. Ayrıca sürekli f için **d/dx(∫f(x)dx)=f(x)**. Sonuçta +c görünmesiyle sabitin türevde kaybolmasını karıştırma.

Temel Kurallar

• **∫a dx=ax+c**, a sabit.
• **∫xⁿdx=xⁿ⁺¹/(n+1)+c**, n≠−1. Kitap kapsamında tam, negatif ve uygun kesirli üslerde kullanılır.
• **∫a f(x)dx=a∫f(x)dx**.
• **∫(f±g)dx=∫f dx±∫g dx**.
• Köklü ifadeleri gerektiğinde kesirli üsse; paydadaki kuvvetleri negatif üsse çevir. Örnek: **∫x⁻³dx=−1/(2x²)+c**.

Polinom İntegralleri ve Düzenleme

∫(2x³−6x+5)dx=x⁴/2−3x²+5x+c. Çarpım veya parantezli kare varsa önce açmak kolay olabilir: ∫(x+1)²dx=∫(x²+2x+1)dx=x³/3+x²+x+c. Genel olarak çarpanların integrallerini çarpmak doğru değildir.

İntegral Değişkeni

∫4x²y³dy=x²y⁴+c; çünkü y'ye göre işlemde x sabittir. ∫(5t²−2t)dt=5t³/3−t²+c. Değişkeni denetlemeden üslere dokunma.

Nokta Değeri ve Sabitin Belirlenmesi

f'(x)=3x²−2x+4 ⇒ f(x)=x³−x²+4x+c. f(1)=7 verilirse 1−1+4+c=7 ⇒ c=3 bulunur. Daha sonra istenen f(a) hesaplanabilir. Bu koşul yoksa sonuç yalnız bir fonksiyon ailesidir.

İntegralin Türevi ve Çarpımın Türevi

∫x f(x)dx=x⁴+2x²+c ⇒ x f(x)=4x³+4x ⇒ f(x)=4x²+4 (x≠0 için doğrudan bölme). Ayrıca **(x²f(x))'=2xf(x)+x²f'(x)** olduğundan ∫(2xf(x)+x²f'(x))dx=x²f(x)+c.

Hareket Uygulaması

v(t)=s'(t) ise s(t)=∫v(t)dt. v(t)=20−4t için s(t)=20t−2t²+c. t=0 ile t=5 arasındaki yer değiştirme s(5)−s(0)=50'dir; integral sabiti farkta yok olur. Verilen aralıkta hız negatif olmadığında yol ile yer değiştirme büyüklüğü eşittir.

Değişken Değiştirme

**u=g(x), du=g'(x)dx** seçilir. **∫(g(x))ⁿg'(x)dx=(g(x))ⁿ⁺¹/(n+1)+c** (n≠−1). Örnek: ∫2x(x²+1)³dx=(x²+1)⁴/4+c. İç türevin katsayısı tam değilse düzelt: ∫x(x²+1)³dx=(x²+1)⁴/8+c.

**Doğrusal iç fonksiyon:** ∫(3x+2)⁴dx=(3x+2)⁵/15+c. **Paydada kuvvet:** ∫4x/(x²+1)³dx=−1/(x²+1)²+c. **Kök:** ∫x√(x²+4)dx=(x²+4)^(3/2)/3+c.

Sınav İçin Kritik Kontroller

• Her belirsiz integralin sonuna **+c** yaz.
• Üs kuralını n=−1'e uygulama; dışarıdan yeni bir integral kuralı ekleme.
• Parantezli bileşke kuvvette iç türevi ve eksik katsayıyı kontrol et.
• İşlem sonunda türev alarak **integrandın aynısını** bul.

Kısa Özet

Belirsiz integral türevin ters yönlü işlemidir ve sonuç +c içeren fonksiyon ailesidir. Doğrudan kurallar, uygun değişken değiştirme, çarpımın türevi ve verilen nokta koşulu soruların temel çözüm yollarını oluşturur.