Belirli İntegral ve Uygulamaları Ders Notu

Belirli İntegral ve Uygulamaları — Ders Notu

Riemann Toplamlarının Temeli

a≤x≤b aralığı n eşit parçaya bölünürse **Δx=(b−a)/n**, xₖ=a+kΔx olur. n alt aralık, n+1 bölüntü noktası vardır. Her alt aralıktaki en küçük fonksiyon değeri seçilirse **alt toplam (L)**, en büyük değer seçilirse **üst toplam (U)** bulunur. Pozitif ve sürekli fonksiyonlarda L ≤ gerçek alan ≤ U. Artan fonksiyonlar için sol uç alt, sağ uç üst; azalan fonksiyonlarda sağ uç alt, sol uç üst toplamını verir.

**Kısa örnek:** f(x)=x+2, aralık (0,2), iki parça: Δx=1. L=f(0)+f(1)=2+3=5; U=f(1)+f(2)=3+4=7. Gerçek integral 6'dır.

Belirli İntegralin Değeri

Sürekli bir f için Riemann toplamlarının limiti **∫ₐᵇ f(x)dx** gösterimiyle ifade edilir. Pozitif f'nin x ekseni ile sınırladığı bölgede bu değer alanı verir; negatif f için integral negatif olabilir. F'(x)=f(x) olduğunda **∫ₐᵇ f(x)dx=F(b)−F(a)**.

Örnek: ∫₁³ 2x dx = (x²)(1'den 3'e)=9−1=8. Belirli integralde **+c sabiti yoktur**.

Değişken Değiştirme

u=g(x), du=g'(x)dx. Sınırlar x=a için u=g(a) ve x=b için u=g(b) olur.

Örnek: ∫₀¹ 2x(x²+1)dx; u=x²+1 ⇒ sınırlar 1 ve 2; ∫₁² u du=(4−1)/2=3/2.

Temel Özellikler

• **Aynı sınırlar:** ∫ₐᵃ f=0.
• **Ters sınırlar:** a’dan b’ye integral = −(b’den a’ya integral).
• **Aralık toplama:** a’dan c’ye integral = a’dan b’ye + b’den c’ye integrallerin toplamı.
• **Çarpan:** ∫ₐᵇ kf=k∫ₐᵇ f.
• **Doğrusallık:** ∫ₐᵇ(f±g)=∫ₐᵇ f±∫ₐᵇ g.

Örnek: ∫₁⁴ f=7 ve ∫₁² f=2 ise ∫₂⁴ f=5 olur.

Mutlak Değer ve Parçalı Fonksiyon

İfade değiştiği noktadan böl: |x−1|, x=1'de işaret değiştirir. ∫₀² |x−1| dx=∫₀¹ (1−x)dx+∫₁² (x−1)dx=1. Bir fonksiyonun farklı aralıklarda farklı kurallarla tanımlanması hâlinde de aynı bölme uygulanır.

Eğri ile x Ekseni Arasında Alan

Geometrik alan negatif olmaz. Fonksiyonun köklerini bulup aralıkları ayır. **A=∫ₐᵇ |f(x)|dx** düşüncesi uygundur. Örnek: f(x)=x−1 için (0,2) aralığında integral 0, alan ise 1'dir. Dolayısıyla **integral değeri ile alan birbirine karıştırılmaz**.

İki Eğri Arasında Alan

Kesişim noktaları f(x)=g(x) ile bulunur. Her aralıkta üstteki eğriden alttakini çıkar: **A=∫(üst−alt)dx**. Eğrilerin sırası kesişimde değişiyorsa integrali böl.

Örnek: y=2x ve y=x², kesişimler 0 ve 2: A=∫₀² (2x−x²)dx=4/3 birimkare.

Günlük Yaşam Yorumları

• Sınır eğrisiyle belirlenmiş düzlemsel bölgenin alanı integral ile bulunur.
• Birim uzunluk metre ise alan m²; birim alan maliyetiyle çarpılırsa TL olur.
• Sabit derinlikli havuz hacmi, taban alanı × derinliktir.
• Hız-zaman bağıntısında **işaretli integral konum değişimini**; hızın mutlak değerinden integral alınması toplam yolu temsil eder.

Kısa Özet

Bölüntü → Riemann toplamları → belirli integral → F(b)−F(a) → temel özellikler → eğri kökleri/kesişimleri → işareti doğru ele alarak geometrik alan. Soruyu bitirirken sınırları, üst-alt sırasını, integral sabitinin kaldırıldığını ve birimleri denetle.