Açısal Momentum Ders Notu

Açısal Momentum — Ders Notu

Bu ders notu, **MEB 12. Sınıf Fizik 1.3 Açısal Momentum** bölümündeki kavramları tek başına çalışmaya yetecek sistematik açıklama ve işlemlerle düzenler. Anlatımı satır satır tekrar etmez; ne zaman hangi formülün kullanılacağını ve sınavda hangi ayrımların yapıldığını öne çıkarır.

1. Temel düşünce: Dönme için momentum

Öteleme hareketinde çizgisel momentum **P = mv** ile tanımlanır. Dönme hareketinde cisim yalnızca bir hızla hareket etmez; hareketin **hangi eksene göre** incelendiği ve kütlenin o eksene göre dağılımı da belirleyicidir. **Açısal momentum L**, belirli bir noktaya göre konum vektörü ile çizgisel momentumun vektörel çarpımıdır: **L = r × P**. Çembersel harekette r ve v birbirine dik olduğu için büyüklük bağıntısı **L = mvr** olur.

**Semboller:** m (kg), v (m/s), r (m), P (kg·m/s), L (kg·m²/s). Bu birimler ezberden önce bağıntıdan elde edilebilir: kg · (m/s) · m = kg·m²/s. Açısal momentum **vektördür**; ters dönme yönleri ters L yönleri doğurur. Açısal momentum atomik ölçeklerden Dünya’nın hareketine kadar geniş bir çerçevede kullanılır.

**Ne zaman L = mvr?** Kitabın ele aldığı yarıçap vektörü ile çizgisel hızın dik olduğu noktasal çembersel hareket örneklerinde. Genel vektörel tanımın yerini bütün yönlerde koşulsuz almaz.

2. Yönü okumak: sağ el kuralı

Sağ elin dört parmağını cismin dönme yönüne kıvır; başparmağın **L vektörünün yönünü** gösterir. Sayfaya karşıdan bakıldığında:

• Saat yönünün tersi: L **sayfadan dışarı**.
• Saat yönü: L **sayfanın içine**.
• Çembersel harekette v, yola **teğet**; r, **merkezden dışarı**; L, hareket **düzlemine diktir**.

**Önemli karşılaştırma:** İki disk eşit |ω| ve eşit I ile zıt yönlerde dönüyorsa |L| eşit ama L vektörleri eşit değildir. «Büyüklükleri eşit» ile «vektörleri eşit» farklıdır.

3. Eylemsizlik momentiyle bağlantı: L = Iω

Çizgisel sürat ile açısal sürat bağıntısı **v = ωr**’dir. Bunu L = mvr’de kullanınca **L = mr²ω** bulunur. Noktasal cisim için **I = mr²** olduğundan:

**L = Iω**.

Burada I’nin birimi kg·m², ω’nın birimi rad/s’dir. Bu modelde L ile ω vektörlerinin yönü aynıdır. I, kütlenin dönme eksenine göre dağılımını gösterir; **yalnızca kütleye bağlı değildir**.

**Oran işlemleri:**

• m sabit, r iki kat, ω sabit ⇒ I **4 kat**, L **4 kat**.
• m sabit, r iki kat, **v sabit** ⇒ L = mvr gereği **2 kat**; ω yarıya iner.
• I sabit, ω üç kat ⇒ L **3 kat**.
• ω sabit, I yarıya ⇒ L **yarıya** iner.

**Kısa çözüm:** m = 3 kg, r = 2 m, ω = 5 rad/s noktasal cisimde I = 3·4 = **12 kg·m²**; L = 12·5 = **60 kg·m²/s**. Alternatif yol: v = ωr = 10 m/s; L = 3·10·2 = 60. İki yöntem aynı sonucu vermelidir.

4. Zincirli dişli örneklerinde hız ve momentum

Zincirle kaymadan bağlı dişlilerin **temas noktasındaki çevresel çizgisel süratleri eşittir**. Bu nedenle **ω_Kr_K = ω_Lr_L**. Yarıçapı büyük olanın açısal hızı küçüktür. Kitabın noktasal karşılaştırma modelinde **L = mvr** kullanılır; v ortak olduğundan L oranı **m·r çarpımlarına** bağlıdır.

**Kitap türü örnek:** K: m ve r; L: 3m ve 4r. v ortaksa L_L/L_K = (3m·4r)/(m·r) = **12**, ω_K/ω_L = 4. Vektörlerin yönünü hesaplamak için dişlilerin **gösterilen dönme yönünü** ayrıca incelemek gerekir. Eğer L dişlisi sayfaya karşıdan bakıldığında saat yönünde dönüyorsa L vektörü **sayfanın içine** doğrudur.

5. Açısal ivme: ω'nın zamana göre değişimi

Açısal ivmenin sembolü **α**, birimi **rad/s²**; bağıntısı **α = Δω/Δt**’dir. ω artarken α dönüş yönüyle aynı yönde olabilir; açısal hızın büyüklüğü azalıyorsa buna göre yön değerlendirilir. Kitaptaki dönme modelinde **teğetsel ivme** büyüklüğü **a_t = αr**’dir.

**Örnek:** Bir döner sistemin ω’sı 3 s’de 2 rad/s’den 8 rad/s’ye çıkarsa **α = (8−2)/3 = 2 rad/s²**. r = 0,4 m noktanın teğetsel ivmesi **0,8 m/s²** olur.

**Dikkat:** Sabit açısal hız **α = 0** demektir ama çembersel hareketi yapan noktada **merkezcil ivme yok** demek değildir. Teğetsel ivme ile merkezcil ivme farklı fiziksel etkilere karşılık gelir.

6. Kuvvetin döndürme etkisi: tork

**Tork (τ)** bir kuvvetin dönme üzerindeki etkisidir. Kuvvetin dönme koluna dik olduğu kitap modelinde **τ = F·r**. Birimi **N·m**. Torkun yönü sağ el kuralıyla bulunur.

Newton’ın ikinci yasasının dönme karşılığı **τ_net = Iα**’dır. Burada **net** ifadesi önemlidir: Birden fazla tork varsa yönlerine göre bileşke tork alınır. Aynı I için τ arttıkça α artar; aynı τ için I arttıkça α azalır.

**Hesap adımları:**

1. Verilen kuvvetin döndürme etkisini belirle: τ = Fr (uygun dik etki durumunda).
2. Eylemsizlik momentini bul: noktasal kütle için I = mr² veya soruda verilen I.
3. Açısal ivme: α = τ_net/I.
4. Süre varsa: Δω = αΔt.
5. Açısal momentum: L = Iω.

**Örnek:** I = 2 kg·m², τ_net = 6 N·m için α = **3 rad/s²**. Başlangıç ω = 4 rad/s ve tork 2 s aynı yönde etkirse ω_son = 4 + 3·2 = **10 rad/s**; L_son = 2·10 = **20 kg·m²/s**. Net dış tork olduğundan L’nin değişmesi beklenir.

7. Korunum: dış tork yoksa L sabit

**Net dış tork sıfırsa** sistemin açısal momentumu korunur. Sabit dönme eksenli iki durum arasında:

**I_ilkω_ilk = I_sonω_son**.

Bu ifade, korunuma izin veren koşul sağlanıyorsa kullanılır. Sistemin eylemsizlik momenti değişebilir; **açısal hızı bu değişimi dengeleyecek biçimde değişir**. Dolayısıyla sabit L, sabit ω demek değildir.

**Patenci mantığı:** Kollar açıkken kütle eksene daha uzaktır, **I büyük**, ω küçüktür. Kollarını topladığında kütle eksene yaklaşır, **I küçük**, ω büyüktür. Sürtünmelerin ihmal edildiği ve net dış tork bulunmayan modelde L aynı kalır.

**Örnek A:** I₁ = 8 kg·m², ω₁ = 3 rad/s, I₂ = 6 kg·m² ⇒ L = 24 kg·m²/s, ω₂ = 24/6 = **4 rad/s**.

**Örnek B (yarıçap karesi):** Noktasal kütle dış tork olmadan eksene 2r’den r’ye yaklaşırsa I değeri **dörtte bire** iner, ω **4 katına** çıkar. Yarıçapın yarılanması açısal hızın sadece iki katına çıkacağı anlamına gelmez.

**Örnek C (korunum uygulanmaz):** Net torkun 5 N·m olduğu verilen sistemde doğrudan I₁ω₁ = I₂ω₂ yazmak doğru değildir; önce dış torkun etkisi değerlendirilir.

8. Kitaptaki fiziksel örneklerin işaret ettiği kavramlar

**Topaç/jiroskop:** Dönmenin yönü ve açısal momentumun dinamikteki rolü. Kitap, jiroskopların gemi, telefon, saat ve hava araçları gibi teknolojilerde kullanılmasını hatırlatır.

**Dönen çamaşır tamburu ve stres çarkı:** Eksen çevresinde açısal momentuma sahip dönme hareketi.

**Güneş çevresindeki Dünya:** Kitabın açıklamasına göre net torkun olmadığı modelde açısal momentumun korunumu.

**Hareketli bisiklet ve buz patencisi:** Dönmenin fiziksel etkileri ve I–ω değişimini günlük hayattan okuma.

**Dönen platform simülasyonu:** Platformun kütlesi ve yarıçapının değiştirilmesi, I ile açısal hızın ilişkisini gösterir. Aynı kütlede eksenden uzaklık artarsa I artar; korunum koşulunda ω azalır.

**Su şişesi etkinliği:** Dönen şişenin hareketini gözlemleyip **su dağılımı, dönme ve açısal momentum** arasında ilişki kurmayı amaçlar. Etkinlikten evrensel bir «her zaman şu kadar su» sonucu çıkarılmaz.

9. Kavram eşleştirmeleri ve sık sınav yanılgıları

| Çizgisel hareket | Dönme hareketi | |---|---| | P = mv | L = Iω veya L = r × P | | v, m/s | ω, rad/s | | a = Δv/Δt | α = Δω/Δt | | F_net = ma | τ_net = Iα | | m, kg | I, kg·m² |

**Sık yapılan hata 1:** «İki cismin ω değerleri eşitse L de eşittir.» Yanlış; **I’ye de bağlıdır**.

**Sık yapılan hata 2:** «Açısal momentum dönme yönünden bağımsız bir sayı.» Yanlış; **vektördür**.

**Sık yapılan hata 3:** «Kollarını kapatan patencinin açısal momentumu artar.» Dış tork yoksa yanlış; **ω artar, L korunur**.

**Sık yapılan hata 4:** «I, r ile doğru orantılı.» Noktasal kütlede **r² ile** orantılıdır.

**Sık yapılan hata 5:** «Tork sıfırsa cismin dönmesi durur.» Yanlış; **ω sabitken dönme sürebilir**.

**Sık yapılan hata 6:** «α = 0 ise çembersel hareket yapan cismin çizgisel ivmesi sıfırdır.» Yanlış; **merkezcil ivme** ayrı incelenir.

Soru Çözme Kontrolü

Önce **hangi fiziksel büyüklüğün** istendiğini belirle. Sonra yarıçapın eksene uzaklık olduğundan emin ol; sorunun sabit tuttuğu büyüklüğü (v veya ω) açık yaz. Vektör yönünü sağ elle belirle; momentumu büyüklük olarak bulmuş olsan bile yön istemini unutma. Net dış tork varsa **τ_net = Iα** ile değişimi, yoksa **Iω korunumu** ile yeni hızı bul. Çıkardığın sonucun birimi fizikle uyuşmalı.

Kısa Özet

• **P = mv**; çembersel harekette **L = mvr**, genel vektörel anlatım **L = r × P**.
• **L = Iω**; noktasal cisimde **I = mr²**.
• **α = Δω/Δt** ve **a_t = αr**.
• Dik kuvvetin oluşturduğu tork **τ = Fr**, net tork **τ_net = Iα**.
• Net dış tork **sıfırsa L korunur:** **I₁ω₁ = I₂ω₂**.
• Kollar kapanır → I azalır → ω artar; **L sabit kalır**.
• Saat yönünde L sayfanın içine, saat yönünün tersinde dışına (sayfaya karşıdan bakıldığında).
• Zincirle bağlı dişlilerde çevresel süratler eşit; açısal hız yarıçapla ters orantılıdır.