9. Sınıf Matematik Algoritma ve Bilişim Mantık Bağlaçları Konu Anlatımı

Mantık Bağlaçları

Bir arkadaşınız size “Yarın hava güzelse ve ödevim bittiyse parka gideriz” dediğinde, bu cümlenin ne zaman doğru, ne zaman yanlış sayılacağını sezgisel olarak bilirsiniz: hava güzel olmazsa ya da ödev bitmezse söz yerine gelmez. Günlük konuşmada farkında olmadan kullandığımız bu düşünme biçimi, matematikte mantık adı altında kesin kurallara bağlanır. Mantıkta doğru ya da yanlış olduğuna kesin karar verilebilen cümlelere önerme denir; önermeleri birbirine bağlayıp yeni önermeler kurmamızı sağlayan sözcüklere ise mantık bağlaçları denir. Değil, ve, veya, ya da, ise ve ancak ve ancak bu bağlaçların başlıcalarıdır. Mantık bağlaçları yalnızca matematik derslerinde değil, algoritmalardaki karar yapılarında, bilgisayar programlarındaki koşul ifadelerinde ve arama motorlarındaki sorgularda da kullanılır. 9. sınıf Matematik dersinde “Mantık Bağlaçları” konusu; önermeyi, doğruluk değerini, olumsuzluğu, bağlaçları, doğruluk tablolarını, denk önermeleri ve De Morgan kurallarını kapsar.

Bu konunun sonunda bir öğrencinin:

• önermeyi tanımlayıp bir cümlenin önerme olup olmadığını belirleyebilmesi,
• önermenin doğruluk değerini (1 ya da 0) söyleyebilmesi,
• değil (olumsuz) önermesini kurup doğruluk değerini bulabilmesi,
• ve, veya, ya da, ise ve ancak ve ancak bağlaçlarının doğruluk tablolarını bilmesi,
• bileşik önermenin doğruluk değerini hesaplayabilmesi,
• doğruluk tablosu oluşturabilmesi,
• denk önermeleri ve De Morgan kurallarını kullanabilmesi,
• koşul önermesinin karşıt, ters ve karşıt-ters biçimlerini ayırt edebilmesi

gerekir.

Önerme Nedir?

Önerme, doğru ya da yanlış olduğuna kesin olarak karar verilebilen yargı cümlesidir. Bir cümlenin önerme olabilmesi için iki koşul gerekir: önce bir yargı bildirmesi, sonra bu yargının doğru mu yanlış mı olduğunun tartışmasız belirlenebilmesi. “7 bir asal sayıdır” cümlesi doğrudur, “Ankara bir deniz kentidir” cümlesi yanlıştır; ikisi de önermedir. “Bugün hava çok güzel” cümlesi ise kişiden kişiye değişebileceği için önerme değildir. Soru cümleleri, ünlem cümleleri ve emir cümleleri de doğru ya da yanlış olarak değerlendirilemediğinden önerme sayılmaz. Önermeler genellikle p, q, r gibi küçük harflerle gösterilir.

• Önerme: Doğruluk değeri kesin olarak belirlenebilen yargı cümlesidir.
• Doğru önermenin doğruluk değeri 1, yanlış önermenin doğruluk değeri 0 ile gösterilir.
• Önermeler p, q, r gibi harflerle adlandırılır.
• Soru, ünlem ve emir cümleleri önerme değildir.
• Kişisel görüş bildiren cümleler (güzel, iyi, kötü gibi) önerme değildir.
• Değişken içeren ve değişkene değer verilmeden doğruluğu belli olmayan ifadeler (x + 2 = 5 gibi) açık önermedir; önerme sayılmaz.

Önermenin Doğruluk Değeri

Her önermenin bir doğruluk değeri vardır: doğruysa 1, yanlışsa 0. Bu iki değer mantığın temelidir, çünkü bileşik önermelerin doğruluğu yalnızca onu oluşturan önermelerin doğruluk değerlerine bağlıdır. Önermenin içeriği değil, doğru ya da yanlış olması önemlidir. Örneğin “Ankara Türkiye’nin başkentidir” ile “2 + 2 = 4” önermeleri konu bakımından çok farklıdır, ama ikisinin de doğruluk değeri 1’dir. Doğruluk değerlerini belirlerken önce önermenin ne dediğini anlamak, sonra bilinen bilgilerle denetlemek gerekir.

• Doğru önerme: doğruluk değeri 1.
• Yanlış önerme: doğruluk değeri 0.
• Aynı doğruluk değerine sahip önermeler konu bakımından farklı olabilir.
• n tane önermenin doğruluk değerlerinin tüm olası kombinasyonu 2 üzeri n tanedir.
• İki önermenin 4, üç önermenin 8 farklı durumu vardır.

Değil (Olumsuz) Önerme

Bir önermenin olumsuzu, o önermenin söylediğinin tersini söyleyen önermedir. p önermesinin olumsuzu “değil p” ya da p’ olarak yazılır ve p’nin doğruluk değerinin tersine sahiptir: p doğruysa değil p yanlış, p yanlışsa değil p doğrudur. Olumsuzluk, günlük dilde “değildir”, “yoktur” gibi ifadelerle kurulur. Bir önermenin olumsuzunun olumsuzu yine kendisidir; yani değil değil p, p ile aynı doğruluk değerine sahiptir. Olumsuz alırken yalnızca ‘değil’ sözcüğünü eklemek yetmeyebilir; cümlenin anlamının gerçekten tersine çevrildiğine dikkat edilmelidir.

• p doğruysa değil p yanlıştır; p yanlışsa değil p doğrudur.
• Olumsuz tablosu: p = 1 iken değil p = 0; p = 0 iken değil p = 1.
• Değil değil p, p ile aynıdır (çift olumsuzluk).
• “Bütün öğrenciler gelmiştir” önermesinin olumsuzu “En az bir öğrenci gelmemiştir” biçimindedir.
• Olumsuzu alırken anlam tersine çevrilmeli, yalnız olumsuz ek eklemek yeterli sayılmamalıdır.

Ve (Kesişim) Bağlacı

İki önermeyi ‘ve’ ile bağlayınca elde edilen önerme, ancak her iki önerme de doğru olduğunda doğrudur. Günlük hayattaki karşılığı ‘hem … hem de …’ şeklindedir: “Hem yağmur yağıyor hem de rüzgâr esiyor” cümlesi, yalnızca iki durum birlikte gerçekleşirse doğru olur. Biri bile yanlışsa tüm önerme yanlışa dönüşür. ‘Ve’ bağlacı kesin bir şart koyduğu için sıkı bir bağlaçtır; bir önermenin yanlış olması bütün bileşik önermeyi yanlış yapmaya yeter. Bu yüzden ‘ve’ ile kurulmuş bir önermenin yanlış olduğunu göstermek için tek bir yanlış parça bulmak yeterlidir.

• p ve q yalnızca p = 1 ve q = 1 iken doğrudur.
• Diğer üç durumda (10, 01, 00) p ve q yanlıştır.
• ‘Ve’ için aynı anlamda ‘hem … hem de’ ifadesi kullanılır.
• Birleşme ve değişme özelliği vardır: p ve q ile q ve p aynı doğruluk değerine sahiptir.

Veya (Birleşim) Bağlacı

İki önermeyi ‘veya’ ile bağlayınca elde edilen önerme, en az bir önerme doğru olduğunda doğrudur. Yani ‘veya’ bağlacında iki önerme birlikte doğru olabilir; bu da ‘veya’yı kapsayıcı yapar. “Çay veya kahve içerim” cümlesi, yalnızca çay içsem de, yalnızca kahve içsem de, ikisini birden içsem de doğru kabul edilir; sadece ikisinden de içmediğimde yanlış olur. Bu nedenle ‘veya’ ile kurulmuş bir önermenin yanlış olması için iki önermenin de yanlış olması gerekir. Mantıktaki veya, günlük dildeki ‘ya da’ ifadesiyle her zaman aynı anlama gelmez; bu fark bir sonraki başlıkta anlatılmıştır.

• p veya q yalnızca p = 0 ve q = 0 iken yanlıştır.
• Diğer üç durumda (11, 10, 01) p veya q doğrudur.
• ‘Veya’ kapsayıcıdır: iki önerme birlikte doğru olabilir.
• Birleşme ve değişme özelliği vardır: p veya q ile q veya p aynıdır.

Ya da (Özel veya) Bağlacı

Mantıkta bazen iki seçenekten yalnızca birinin doğru olduğunu, ikisinin birlikte doğru olamayacağını söylemek isteriz. “Ya İstanbul’a ya da Ankara’ya gideceğim” cümlesi buna örnektir; ikisine birden gitmek mümkün değildir. Bu bağlaca özel veya (ya da) denir ve iki önermenin doğruluk değerleri farklı olduğunda doğrudur. İki önerme de doğruysa ya da ikisi de yanlışsa özel veya yanlış olur. Özel veya ile kapsayıcı veya arasındaki tek fark, iki önermenin birlikte doğru olduğu duruma verilen cevaptır: kapsayıcı veya doğru der, özel veya yanlış der.

• Özel veya (ya da) yalnızca iki önermenin doğruluk değerleri farklı olduğunda doğrudur.
• Doğruluk değerleri aynıysa (11 veya 00) özel veya yanlıştır.
• Özel veya, ‘ya … ya da …’ biçiminde kurulur.
• Kapsayıcı veya ile tek fark 11 durumunda ortaya çıkar.

Ise (Koşul) Bağlacı

‘Ise’ bağlacı bir şart ve onun sonucunu birbirine bağlar. “Yağmur yağarsa yer ıslanır” cümlesinde yağmur yağması şarttır (öncül), yerin ıslanması sonuçtur (ardıl). Bu bağlaç, söz verme mantığıyla düşünülürse kolay anlaşılır: şart gerçekleşmediğinde söz bozulmuş sayılmaz. Yani öncül yanlışsa ‘ise’ önermesi doğru kabul edilir. Söz ancak şart gerçekleştiği hâlde sonuç gerçekleşmezse bozulmuş olur; bu da ‘ise’ önermesinin yanlış olduğu tek durumdur. Bu kural öğrencilerin en çok zorlandığı noktadır, çünkü ‘ise’nin 0’dan başlayan durumlarda doğru çıkması sezgisel gelmez.

• p ise q yalnızca p = 1 ve q = 0 iken yanlıştır.
• Diğer üç durumda (11, 01, 00) p ise q doğrudur.
• p öncül (şart), q ardıl (sonuç) olarak adlandırılır.
• p ise q ile değil p veya q denktir.
• Öncül yanlışsa koşul önermesi her zaman doğrudur.

Ancak ve Ancak (Çift Koşul) Bağlacı

‘Ancak ve ancak’ bağlacı iki önermenin her zaman aynı doğruluk değerine sahip olduğunu söyler. “Bir sayı çifttir ancak ve ancak 2’ye tam bölünür” cümlesinde iki ifade birbirinin yerine kullanılabilir: biri doğruysa öbürü de doğru, biri yanlışsa öbürü de yanlıştır. Çift koşul, iki yönlü ‘ise’ gibi düşünülebilir: p ise q ve q ise p. Doğruluk tablosunda doğruluk değerleri aynı olduğunda doğru, farklı olduğunda yanlış çıkar. Bu bağlaç, tanımlama ve denklik gösterme işlerinde çok kullanılır.

• p ancak ve ancak q, p ile q aynı doğruluk değerine sahipse doğrudur.
• Durumlar 11 ve 00 iken doğru; 10 ve 01 iken yanlıştır.
• Çift koşul, p ise q ve q ise p önermelerinin ve ile bağlanmasına denktir.
• Çift koşul özel veya’nın olumsuzu gibi davranır.

Doğruluk Tabloları

Doğruluk tablosu, bir bileşik önermenin tüm olası durumlardaki doğruluk değerlerini gösteren tablodur. İki önerme için dört satır, üç önerme için sekiz satır bulunur. Tabloyu kurarken önce sütun başlıklarını sırayla yazın: önce basit önermeler, sonra olumsuzlar, en son bileşik önerme. Bileşik önermenin değerini bulurken içteki parantezden dışa doğru ilerleyin. Doğruluk tablosu, bir önermenin her zaman doğru mu (totoloji), her zaman yanlış mı (çelişki), yoksa bazen doğru bazen yanlış mı olduğunu anlamamızı sağlar. İki önermenin tabloları aynı çıkıyorsa bu önermeler denktir.

• İki önerme için satırlar: 11, 10, 01, 00.
• ve: 1, 0, 0, 0.
• veya: 1, 1, 1, 0.
• ya da (özel veya): 0, 1, 1, 0.
• ise: 1, 0, 1, 1.
• ancak ve ancak: 1, 0, 0, 1.
• Her zaman doğru olan bileşik önermeye totoloji, her zaman yanlış olana çelişki denir.

Bileşik Önermelerin Doğruluk Değerini Hesaplama

Birden fazla bağlacın bir arada kullanıldığı bileşik önermelerde işlemler parantez içinden başlayarak sırayla yapılır. Önce basit önermelerin doğruluk değerleri yerine yazılır, sonra olumsuzluklar alınır, ardından bağlaçlar parantezlerin içinden dışına doğru uygulanır. Her adımda tek bir bağlaç işlenmeli, sonuç yazılmalıdır. Bu yöntem, uzun görünen önermeleri bile küçük adımlara bölerek hatasız çözmenizi sağlar. Sınavda en sık yapılan hata, olumsuzluğu atlamak ya da bağlaç tablosunu karıştırmaktır; bu yüzden her adımı yazmak güvenlidir.

• Önce basit önermelerin değerlerini yaz.
• Sonra olumsuzlukları (değil) al.
• Parantez içindeki bağlaçları işle.
• Son olarak dıştaki bağlacı işle ve sonucu yaz.
• Her adımı yazmak hatayı azaltır.

Denk Önermeler

İki önermenin doğruluk tabloları aynıysa bu önermelere denktir denir ve her durumda aynı doğruluk değerine sahiptirler. Denklik, bir önermeyi daha sade ya da daha kullanışlı bir biçime çevirmemizi sağlar. En çok kullanılan denkliklerden biri, ‘p ise q’ önermesinin ‘değil p veya q’ ile denk olmasıdır. Bir diğeri, çift olumsuzluğun kendisine denk olmasıdır. Denklikleri doğruluk tablosuyla doğrulayabilirsiniz; sütunlar birbirinin aynısı çıkıyorsa denklik vardır.

• Değil değil p ile p denktir.
• p ise q ile değil p veya q denktir.
• p ancak ve ancak q ile (p ise q) ve (q ise p) denktir.
• p ve q ile q ve p; p veya q ile q veya p denktir (değişme).
• Denk önermelerin doğruluk tabloları aynıdır.

De Morgan Kuralları

De Morgan kuralları, ‘ve’ ile ‘veya’ bağlaçlarının olumsuzunu alma yöntemidir. Bir ‘ve’ önermesinin olumsuzu alındığında bağlaç ‘veya’ya dönüşür ve her iki parça olumsuz olur. Bir ‘veya’ önermesinin olumsuzu alındığında bağlaç ‘ve’ye dönüşür ve her iki parça olumsuz olur. Günlük hayattan bir örnek: “Hem çay hem kahve içmedim” cümlesinin olumsuzu, “Çay içmedim veya kahve içmedim” demektir. Bu kurallar mantık devrelerinde, programlama koşullarında ve ifade sadeleştirmede sıkça kullanılır.

• Değil (p ve q) ile değil p veya değil q denktir.
• Değil (p veya q) ile değil p ve değil q denktir.
• Olumsuz alınınca ve ↔ veya değişir, parçalar olumsuzlanır.
• De Morgan kuralları doğruluk tablosuyla doğrulanabilir.

Koşul Önermesinin Karşıt, Ters ve Karşıt-Ters Biçimleri

‘p ise q’ önermesinden üç yeni önerme türetilebilir. Ters önerme ‘q ise p’dir; öncül ile ardılın yerleri değişir. Karşıt önerme ‘değil p ise değil q’dur; iki parça da olumsuzlanır. Karşıt-ters önerme ise ‘değil q ise değil p’dir; hem yer değişir hem de olumsuz alınır. En önemli bilgi şudur: ‘p ise q’ ile onun karşıt-tersi her zaman denktir; ters ve karşıt ise asıl önermeyle denk olmak zorunda değildir. Bu fark, ispat yöntemlerinde çok işe yarar.

• Asıl: p ise q.
• Ters: q ise p.
• Karşıt: değil p ise değil q.
• Karşıt-ters: değil q ise değil p.
• Asıl önerme ile karşıt-ters denktir; ters ile karşıt birbirine denktir.

Mantık Bağlaçlarının Günlük Hayattaki ve Bilgisayardaki Karşılıkları

Mantık bağlaçları günlük dilde ‘ve’, ‘veya’, ‘değil’ sözcükleriyle kullanıldığı gibi, bilgisayar dünyasında da çok yaygındır. Bir arama motorunda iki sözcüğü birlikte aratmak ‘ve’, biri ya da diğerini aratmak ‘veya’ mantığına dayanır. Programlarda bir koşul bloğu ‘eğer yaş 18’den büyük ve ehliyet var ise’ gibi ifadelerle kurulur. Algoritmaların karar adımları da doğru ya da yanlış sonuç veren koşullara dayanır. Bu nedenle mantık bağlaçlarını öğrenmek, hem matematik hem de algoritma düşüncesi için temel bir beceridir.

• Arama motorunda ‘ve’: her iki sözcüğün birlikte bulunduğu sonuçlar.
• Arama motorunda ‘veya’: sözcüklerden en az birinin bulunduğu sonuçlar.
• Programda koşul: eğer koşul doğru ise blok çalışır.
• Algoritmanın karar adımı, doğru–yanlış sonuç veren bir önerme sorar.
• Elektronik devrelerde de ve–veya mantığı kullanılır.

Zor Problemler (Adım Adım)

Sınavlarda Görülen Soru Kalıpları

Aşağıdaki örnekler 9. sınıf yazılı sınav tarzı örneklerdir. Her kalıp için önce tanıma ipucu, sonra çözümlü örnek verilmiştir.

Sınavda En Önemli Bağlantılar

Sık Karıştırılan Noktalar

Soru Çözerken Kullanılabilecek Yaklaşım

Önerme Sorusu

Doğru ya da yanlış denebiliyor mu bak.

Hesaplama Sorusu

Doğruluk değerlerini yaz, olumsuzları al, bağlaçları sırayla işle.

Tablo Sorusu

Satırları 11, 10, 01, 00 sırasıyla yaz ve her sütunu adım adım doldur.

Olumsuzlama Sorusu

Ve ile veya yer değiştirir, parçalar olumsuzlanır.

Denklik Sorusu

Doğruluk tablolarını karşılaştır.

Konu Özeti

Önerme: doğru ya da yanlış denebilen yargı cümlesi.

Bağlaçlar: değil, ve, veya, ya da, ise, ancak ve ancak.

Anahtar kurallar: ve yalnız 11 doğru; veya yalnız 00 yanlış; ise yalnız 10 yanlış.

Denklikler: p ise q ile değil p veya q; De Morgan kuralları.

Koşul biçimleri: ters, karşıt, karşıt-ters.