9. Sınıf Matematik Algoritma ve Bilişim Niceleyiciler Konu Anlatımı

Niceleyiciler

“Bütün öğrenciler sınavı geçti” cümlesiyle “Bazı öğrenciler sınavı geçti” cümlesi birbirinden çok farklı şeyler söyler. Birincisi tek bir öğrencinin bile kalması durumunda yanlış olur; ikincisi ise en az bir öğrencinin geçmesi durumunda doğrudur. Bu iki cümle arasındaki fark, ‘bütün’ ve ‘bazı’ sözcüklerinden gelir. Matematikte bir ifadenin kaç tane, kaç elemanı ya da hangi kapsamda geçerli olduğunu belirten bu tür sözcüklere niceleyici denir. Niceleyiciler, bir özelliğin kümedeki bütün elemanlar için mi, yoksa yalnızca bazıları için mi geçerli olduğunu belirtir. Günlük konuşmada ‘herkes’, ‘kimse’, ‘bazen’ gibi ifadelerle sık sık kullanırız; matematikte ise bu ifadeler kesin anlamlara bağlanır. 9. sınıf Matematik dersinde “Niceleyiciler” konusu; açık önermeyi, ‘her’ ve ‘en az bir’ niceleyicilerini, ‘hiçbir’ ifadesini, örnek ve karşı örneği, niceleyicili önermelerin olumsuzunu ve bağlaçlarla ilişkisini kapsar.

Bu konunun sonunda bir öğrencinin:

• niceleyicinin ne olduğunu açıklayabilmesi,
• açık önermeyi tanıyıp doğruluk kümesini bulabilmesi,
• evrensel (her) ve varlık (en az bir) niceleyicilerini ayırt edebilmesi,
• niceleyicili önermenin doğruluk değerini belirleyebilmesi,
• örnek ve karşı örnek kullanabilmesi,
• niceleyicili önermenin olumsuzunu yazabilmesi,
• sonlu kümelerde niceleyicilerin ve ile veya bağlaçlarıyla ilişkisini kurabilmesi,
• günlük hayat ve algoritmalardaki niceleyici kullanımını yorumlayabilmesi

gerekir.

Niceleyici Nedir?

Niceleyici, bir ifadenin geçerli olduğu eleman sayısını ya da kapsamını belirten sözcüklerdir. Bir özellik, bir kümenin bütün elemanları için doğru olabilir ya da yalnızca bazıları için doğru olabilir. Bu fark niceleyiciler sayesinde kesin biçimde ifade edilir. Matematikte iki temel niceleyici vardır: ‘her’ (hepsi, bütün, herkes) ve ‘en az bir’ (bazı, bazısı, vardır). Niceleyiciler olmadan ‘Sayılar çifttir’ gibi bir cümle belirsiz kalır: hangi sayılar? hepsi mi, bazıları mı? Niceleyiciler bu belirsizliği ortadan kaldırarak ifadeyi önerme yapar.

• Niceleyici: Bir ifadenin kaç eleman için geçerli olduğunu belirten sözcüklerdir.
• Evrensel niceleyici: ‘her’, ‘bütün’, ‘hepsi’ (sembolü ∀).
• Varlık niceleyici: ‘en az bir’, ‘bazı’, ‘vardır’ (sembolü ∃).
• ‘Hiçbir’ ifadesi, özelliği taşıyan eleman bulunmadığını belirtir.
• Niceleyici eklenince açık önerme önermeye dönüşür.

Açık Önerme

İçinde bir değişken bulunan ve değişkene değer verilmedikçe doğru ya da yanlış olduğuna karar verilemeyen ifadelere açık önerme denir. ‘x + 3 = 7’ ifadesi bir açık önermedir; x yerine 4 yazılırsa doğru, 5 yazılırsa yanlış olur. Açık önerme tek başına önerme sayılmaz, çünkü doğruluğu x’e bağlıdır. Ancak değişkene değer vererek ya da bir niceleyici ekleyerek ifadeyi önermeye çevirebiliriz. Açık önermeyi doğru yapan değerlerin kümesine doğruluk kümesi denir. Örneğin x + 3 = 7 açık önermesinin doğruluk kümesi {4} kümesidir.

• Açık önerme: Değişken içeren, değişkene değer verilince doğruluğu belirlenebilen ifadedir.
• Genellikle p(x), q(x) gibi gösterilir.
• Doğruluk kümesi: Açık önermeyi doğru yapan değerlerin kümesidir.
• Açık önerme iki yolla önermeye çevrilir: değişkene değer vermek ya da niceleyici eklemek.
• Verilen kümede hiçbir değer önermeyi doğru yapmıyorsa doğruluk kümesi boş kümedir.

Evrensel Niceleyici: Her

‘Her’ niceleyicisi, özelliğin kümenin bütün elemanları için geçerli olduğunu iddia eder. Bu çok güçlü bir iddiadır, çünkü tek bir elemanın özelliği sağlamaması bile iddiayı yanlış kılar. ‘Her doğal sayı çifttir’ cümlesi yanlıştır, çünkü 3 çift değildir. ‘Her çift sayı 2’ye bölünür’ ise doğrudur. Bu nedenle ‘her’ içeren bir önermeyi doğrulamak için bütün elemanları denetlemek, yanlışlamak için ise tek bir karşı örnek bulmak gerekir. Günlük dildeki karşılıkları ‘bütün’, ‘hepsi’, ‘herkes’ ve ‘her biri’dir.

• Her x için p(x): kümedeki bütün elemanlar için p doğrudur.
• Doğru olması için hiçbir istisna olmamalıdır.
• Yanlış olması için tek bir karşı örnek yeterlidir.
• Gösterimi ∀ sembolüyle yapılır (∀x).

Varlık Niceleyici: En Az Bir (Bazı)

‘En az bir’ niceleyicisi, özelliği taşıyan en az bir elemanın var olduğunu iddia eder. Bu iddia ‘her’ iddiasından çok daha esnektir: tek bir uygun eleman bulmak iddiayı doğrulamaya yeter. ‘Bazı asal sayılar çifttir’ cümlesi doğrudur, çünkü 2 hem asal hem çifttir. Matematikte ‘bazı’ sözcüğü ‘en az bir’ anlamına gelir ve bütün elemanların özelliği sağlaması da ‘bazı’ önermesini doğru yapar; yani ‘bazı’, ‘yalnızca bazıları’ demek değildir. Bu fark günlük dille matematik dili arasındaki önemli ayrımlardan biridir.

• Bazı x için p(x): kümede p’yi sağlayan en az bir eleman vardır.
• Doğru olması için tek bir örnek yeterlidir.
• Yanlış olması için hiçbir elemanın özelliği sağlamadığı gösterilmelidir.
• Matematikte ‘bazı’ ifadesi ‘en az bir’ demektir; hepsi de sağlayabilir.
• Gösterimi ∃ sembolüyle yapılır (∃x).

Hiçbir İfadesi

‘Hiçbir’ ifadesi, özelliğin kümedeki hiçbir eleman için geçerli olmadığını söyler. ‘Hiçbir kuş memeli değildir’ gibi bir cümlede kümedeki tüm elemanlar özelliği sağlamıyor demektir. Aslında ‘hiçbir x için p(x)’ ile ‘her x için değil p(x)’ aynı anlama gelir; yani hiçbiri özelliği taşımıyorsa, hepsi özelliği taşımıyor demektir. ‘Hiçbir’ önermesini yanlışlamak için özelliği sağlayan tek bir eleman bulmak yeter. Doğrulamak için ise bütün elemanların özelliği sağlamadığı gösterilmelidir.

• Hiçbir x için p(x): kümedeki hiçbir eleman p’yi sağlamaz.
• ‘Her x için değil p(x)’ ile aynı anlama gelir.
• Yanlışlamak için özelliği sağlayan tek bir eleman bulmak yeter.
• Doğrulamak için bütün elemanlar denetlenmelidir.
• ‘Hiçbir’ önermesinin olumsuzu ‘en az bir’ önermesidir.

Niceleyicili Önermenin Doğruluk Değeri

Niceleyicili bir önermenin doğruluk değerini bulmak için önce kümenin elemanlarına bakılır. Küme sonluysa elemanlar tek tek denetlenebilir. Küme sonsuzsa tüm elemanları denetlemek mümkün olmadığı için ‘her’ önermesi bir kuralla ya da karşı örnekle değerlendirilir. ‘Her’ önermesi doğruysa kümedeki tüm elemanlar özelliği sağlamalıdır; ‘en az bir’ önermesi doğruysa en az bir eleman sağlamalıdır. Bu nedenle ‘her’ önermesi doğruysa ‘en az bir’ önermesi de (küme boş değilse) doğrudur; ama tersi doğru olmak zorunda değildir.

• Sonlu kümede elemanlar tek tek denetlenebilir.
• Her önermesi doğruysa ve küme boş değilse en az bir önermesi de doğrudur.
• En az bir önermesi doğru olsa da her önermesi yanlış olabilir.
• Sonsuz kümede karşı örnek aramak etkili yoldur.
• Doğruluk değeri kümeye bağlıdır; aynı cümle farklı kümelerde farklı değer alabilir.

Örnek ve Karşı Örnek

Örnek ve karşı örnek, niceleyicili önermeleri sınamanın en güçlü araçlarıdır. Bir önermenin ‘en az bir’ biçiminde olduğunu doğrulamak için tek bir örnek yeter; örneğin ‘bazı asal sayılar çifttir’ önermesi için 2 yeterlidir. Bir önermenin ‘her’ biçiminde olduğunu çürütmek için ise tek bir karşı örnek yeter; örneğin ‘her asal sayı tektir’ önermesini 2 çürütür. Ancak örnekler ‘her’ önermesini kanıtlamaya yetmez; çok sayıda örnek bulmak bile bir önermenin her zaman doğru olduğunu göstermez. Bu fark matematiksel düşüncede çok önemlidir.

• Örnek: ‘En az bir’ önermesini doğrular.
• Karşı örnek: ‘Her’ önermesini yanlışlar.
• Çok sayıda örnek ‘her’ önermesini kanıtlamaz.
• Örnek bulunamıyorsa ‘en az bir’ önermesi yanlış olabilir (tüm elemanlar denetlenmişse kesin yanlıştır).
• Karşı örnek aramak ‘her’ önermesini sınamanın hızlı yoludur.

Niceleyicili Önermelerin Olumsuzu

Niceleyicili bir önermenin olumsuzunu alırken niceleyici de değişir. ‘Her’ önermesinin olumsuzu, özelliği sağlamayan en az bir eleman bulunduğunu söyler. ‘En az bir’ önermesinin olumsuzu ise hiçbir elemanın özelliği sağlamadığını söyler. Yani olumsuz alınınca ‘her’ ile ‘en az bir’ yer değiştirir ve özellik olumsuzlanır. ‘Tüm öğrenciler sınavı geçti’ önermesinin olumsuzu ‘Sınavı geçmeyen en az bir öğrenci vardır’ biçimindedir; ‘Hiçbir öğrenci sınavı geçmedi’ olumsuz değildir. Bu, sınavlarda en sık yapılan hatalardan biridir.

• Değil (her x için p(x)) = en az bir x için değil p(x).
• Değil (en az bir x için p(x)) = her x için değil p(x) (yani hiçbir x için p(x)).
• Olumsuzlarken niceleyici değişir, özellik olumsuzlanır.
• ‘Her’in olumsuzu ‘hiçbir’ değildir; ‘en az bir…değil’dir.
• Olumsuzlama sonrası doğruluk değeri ilk önermenin tersi olur.

Niceleyiciler ve Mantık Bağlaçları

Niceleyiciler ile mantık bağlaçları arasında güzel bir ilişki vardır. Sonlu bir kümede ‘her’ önermesi, elemanların her biri için yazılan önermelerin ‘ve’ ile bağlanmasına denktir. ‘En az bir’ önermesi ise bu önermelerin ‘veya’ ile bağlanmasına denktir. Böylece niceleyiciler, ‘ve’ ile ‘veya’nın çok sayıda önermeye genişletilmiş hâli gibi düşünülebilir. Bu sayede De Morgan kuralları niceleyicilerin olumsuzlanmasını da açıklar: ‘ve’nin olumsuzu ‘veya’ olduğu için ‘her’in olumsuzu ‘en az bir’ olur.

• Küme A = {a, b, c} ise ‘Her x için p(x)’ = p(a) ve p(b) ve p(c).
• ‘En az bir x için p(x)’ = p(a) veya p(b) veya p(c).
• Her ↔ ve; en az bir ↔ veya.
• De Morgan kuralı niceleyici olumsuzlamasını açıklar.
• Bu ilişki sonsuz kümeleri de kapsar, ama tek tek yazmak mümkün olmaz.

Günlük Hayatta Niceleyiciler

Niceleyiciler günlük hayatta her zaman kullandığımız ifadelerdir: ‘herkes’, ‘kimse’, ‘hiç kimse’, ‘bazı’, ‘çoğu’, ‘hepsi’, ‘hiçbiri’. Bunların bir kısmı matematikte kesin anlam taşır, bir kısmı ise belirsizdir. ‘Çoğu’ ya da ‘birkaç’ gibi ifadeler matematikte niceleyici sayılmaz, çünkü kesin bir sayıya bağlanamaz. Habercilik ve reklamlarda ‘herkes bu ürünü kullanıyor’ gibi cümleler genellikle abartıdır ve tek bir karşı örnekle yanlışlanabilir. Niceleyicileri doğru yorumlamak, eleştirel düşünmenin bir parçasıdır.

• ‘Herkes’, ‘hepsi’, ‘bütün’: evrensel niceleyici.
• ‘Bazı’, ‘en az bir’, ‘vardır’: varlık niceleyici.
• ‘Hiçbiri’, ‘hiç kimse’: hiçbir ifadesi.
• ‘Çoğu’, ‘birkaç’: matematikte niceleyici sayılmaz.
• Abartılı ‘herkes’ iddiaları tek karşı örnekle çürütülebilir.

Niceleyiciler ve Algoritmalar

Algoritmalarda niceleyicilerin karşılığı döngülerdir. ‘Listedeki her sayı pozitif mi?’ sorusunu yanıtlamak için bütün elemanlar tek tek kontrol edilir; ilk karşı örnekte işlem durdurulabilir ve cevap ‘hayır’ olur. ‘Listede çift sayı var mı?’ sorusunda ise ilk uygun elemanı bulduğumuz anda cevap ‘evet’tir ve aramayı bırakabiliriz. Bu mantık sözde kod ve akış şemalarında sayaçla ya da bayrak değişkeniyle uygulanır. Niceleyicileri bilmek, ‘en az bir’ ve ‘hepsi’ koşullarını algoritmaya doğru çevirmenizi sağlar.

• ‘Her eleman…’ kontrolü: tüm elemanlar denetlenir, karşı örnekte durulur.
• ‘En az bir eleman…’ kontrolü: ilk uygun elemanda durulur.
• Sayaç değişkeniyle sağlayan elemanlar sayılabilir.
• Bayrak (evet/hayır) değişkeni sonucu taşıyabilir.
• Niceleyicili koşullar döngü ve seçim yapılarıyla kurulur.

Sık Yapılan Hatalar

Niceleyici sorularında öğrencilerin düştüğü birkaç tuzak vardır. İlk tuzak, ‘bazı’ sözcüğünü ‘yalnızca bazıları’ diye yorumlamaktır; matematikte ‘bazı’ hepsini de kapsayabilir. İkinci tuzak, ‘her’ önermesinin olumsuzunu ‘hiçbir’ sanmaktır; doğrusu ‘en az bir…değil’dir. Üçüncü tuzak, birkaç örneğe bakıp ‘her’ önermesini doğru ilan etmektir. Dördüncü tuzak ise açık önermeyi niceleyici eklemeden önerme sanmaktır. Bu hataları bilmek, sınavda sağlam adım atmanızı sağlar.

• ‘Bazı’ = en az bir; hepsi de olabilir.
• ‘Her’in olumsuzu ‘hiçbir’ değil, ‘en az bir…değil’dir.
• Birkaç örnek ‘her’ önermesini kanıtlamaz.
• Açık önerme niceleyici olmadan önerme değildir.
• Kümeyi belirtmeden önerme değerlendirmek hata doğurabilir.

Zor Problemler (Adım Adım)

Sınavlarda Görülen Soru Kalıpları

Aşağıdaki örnekler 9. sınıf yazılı sınav tarzı örneklerdir. Her kalıp için önce tanıma ipucu, sonra çözümlü örnek verilmiştir.

Sınavda En Önemli Bağlantılar

Sık Karıştırılan Noktalar

Soru Çözerken Kullanılabilecek Yaklaşım

Belirleme Sorusu

Niceleyiciyi bul: her mi, en az bir mi, hiçbir mi?

Değer Sorusu

Kümeyi yaz, elemanları tek tek sına.

Karşı Örnek Sorusu

Özelliği sağlamayan eleman ara.

Olumsuz Sorusu

Niceleyiciyi değiştir, özelliği olumsuzla.

Bağlaç Sorusu

Sonlu kümede her için ve, en az bir için veya kullan.

Konu Özeti

Niceleyici: her (∀), en az bir (∃), hiçbir.

Açık önerme: değişkenli ifade; doğruluk kümesi vardır.

Kanıt: her için karşı örnek çürütür, en az bir için örnek doğrular.

Olumsuzlama: her ↔ en az bir…değil.

Bağlaç ilişkisi: her = ve, en az bir = veya.