9. Sınıf Matematik Doğrusal Fonksiyonlarla İfade Edilebilen Denklem ve Eşitsizlikler İçeren Problemler Ders Notu

Doğrusal Fonksiyonlarla Denklem ve Eşitsizlik Problemleri – Ders Notu

Tanımlar

f(x) = ax + b, g(x) = cx + d (a ≠ c). f(x) = g(x) birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemdir; f(x) < g(x), ≤, >, ≥ ifadeleri birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliktir. Düzenlenince mx + n = 0 (m = a − c, n = b − d); çözüm kümesi {−n/m}.

• ax + b = 0'ın kökü = f'nin sıfırı = grafiğin x eksenini kestiği nokta.
• f(x) = g(x)'in kökü = iki grafiğin kesim noktasının apsisi.

Eşitsizlik Çözüm Aralıkları (kök −n/m)

• mx + n < 0: m > 0 → (−∞, −n/m); m < 0 → (−n/m, ∞)
• mx + n > 0: m > 0 → (−n/m, ∞); m < 0 → (−∞, −n/m)
• ≤ ve ≥ için aynı aralıklar, kök dâhil.

Problem Türleri

• Büyüme: fidan 15 + 4x; 35 cm için x = 5; 47 cm altı için [0, 8).
• İki depo: 36 − 1,5x = 30 − x ⇒ x = 12, ortak değer 18 L; A < B için x > 12.
• Maliyet: 45 000 + 2000x = 15 000 + 5000x ⇒ x = 10 yıl. Kesim noktasından sonra eğimi küçük olan daha ekonomiktir.
• Kâr: m(x) = sabit gider + birim maliyet · x, g(x) = fiyat · x. Başa baş m = g; kâr g > m. 240 000 + 900x = 1500x ⇒ 400; kâr için en az 401.
• Değer kaybı: 900 000 − 15 000x = 1 000 000 − 25 000x ⇒ 10 yıl.
• Kapasite: 80 + 30x ≤ 720 ⇒ x ≤ 21,3 ⇒ en fazla 21 çocuk.

Bağlam kuralları: süre ve miktar negatif olmaz; adet tam sayıdır; “en az” sorularında eşitlik değil bir sonraki tam sayı.

Mutlak Değerli Denklem ve Eşitsizlikler

• |ax + b| = 0 → x = −b/a; |ax + b| ≥ 0 → ℝ; |ax + b| < 0 → çözüm yok.
• |x − a| ≤ k → a − k ≤ x ≤ a + k; |x − a| > k → x < a − k veya x > a + k.
• Çözüm: mutlak değeri parçalı yaz, her parçayı ayrı çöz.
• Tolerans: 40 ± 0,02 mm → |40 − x| ≤ 0,02 → [39,98; 40,02]; sınır değerler |40 − x| = 0,02'nin kökleri.
• Tahmin oyunu: |x − 800| ≤ 30 → 770 ≤ x ≤ 830.

Gidip gelme: 1,5 km'lik yol 20 dakikada; okula uzaklık 0,075|t − 20|; 600 m'den az için 12 < t < 28.

Yöntemlerin Karşılaştırılması

Cebirsel çözüm kesin sonuç verir; grafik çözüm (kesim noktası) hızlı ve görseldir; işaret tablosu eşitsizlik aralığını gösterir. Aynı sonucun çıkması çözümü doğrular.

Kısa Özet

Durumu fonksiyonla yaz, sorulanı denklem veya eşitsizliğe çevir, mx + n biçimine getirip çöz, grafikle doğrula, bağlama göre yorumla. Mutlak değerde parçalara ayır ve kökleri şartlarıyla kontrol et.