9. Sınıf Matematik Doğrusal Fonksiyonlar ve Nitel Özellikleri Ders Notu

Doğrusal Fonksiyonlar ve Nitel Özellikleri – Ders Notu

Değişkenler

Girdi bağımsız değişkendir (x ekseni), girdiye göre belirlenen çıktı bağımlı değişkendir (y ekseni). Örnek: taksimetre f(x) = 17x + 30'da yol bağımsız, ücret bağımlıdır.

Nitel Özellikler (Tanımlar)

• Tanım kümesi: bağımsız değişkenin alabileceği tüm değerler. Görüntü kümesi: bağımlı değişkenin aldığı tüm değerler.
• Sıfır: f(x) = 0 yapan x; grafiğin x eksenini kestiği nokta.
• İşaret: fonksiyonun pozitif ve negatif olduğu aralıklar (işaret tablosu).
• Artan: a < b ⇒ f(a) < f(b). Azalan: a < b ⇒ f(a) > f(b).
• Maksimum/minimum ([a, b] üzerinde): ∀x için f(x) ≤ f(m) ise f(m) maksimum; f(x) ≥ f(n) ise f(n) minimum.
• Bire bir: f(a) = f(b) ⇒ a = b; farklı x'ler farklı değerlere gider.

Referans Fonksiyon f(x) = x

f: ℝ → ℝ; sıfırı 0; (−∞, 0) negatif, (0, ∞) pozitif; artan; maksimum-minimum yok; bire bir. [1, 5]'te min 1, max 5; (1, 5)'te max-min yok.

g(x) = ax + b

• Genel tanım: g(x) = a · f(x ± r) ± k; düzenlenince mx + n olur.
• Çizim: f'nin her elemanı a katıyla eşlenir (ax), sonra b > 0 ise b birim yukarı, b < 0 ise |b| birim aşağı ötelenir.
• a > 1 daha dik, 0 < a < 1 daha yatık, a < 0 soldan sağa alçalır.
• Eğim = a = y'deki değişim / x'teki değişim. y eksenini kestiği nokta (0, b).

İşaret (sıfır n): a > 0 ise (−∞, n) negatif, (n, ∞) pozitif; a < 0 ise tersi.

İspatlar: c < d ve a > 0 ⇒ ac + b < ad + b (artan). g(c) = g(d) ⇒ a(c − d) = 0 ⇒ c = d (bire bir).

Sabit Fonksiyon

a = 0 ⇒ g(x) = k. Grafik x eksenine paralel; eğim 0; görüntü kümesi {k}; ne artan ne azalan; bire bir değil. g(x) = (a − 4)x + a/2 sabitse a = 4, g(x) = 2.

Parçalı Gösterimli Fonksiyon

Farklı aralıklarda farklı kurallar: her aralığın eğimi ayrı bulunur, ifadeler aralıklarıyla yazılır. Otopark: f(x) = 50 (0 ≤ x ≤ 2), f(x) = 50 + 20(x − 2) (x > 2); f(5) = 110.

Grafikten Fonksiyon Yazma

1. Grafiğin y eksenini kestiği noktadan b bulunur.
2. İki noktadan eğim hesaplanır: a = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁).
3. g(x) = ax + b yazılır ve bir noktayla kontrol edilir.

Örnek: (0, 3) ve (6, 0) noktalarından geçen doğru için b = 3, a = −3/6 = −1/2, g(x) = −x/2 + 3. (−2, 7) ve (3, −8) noktaları için a = −15/5 = −3, g(−2) = 7'den b = 1; sıfır 1/3.

Paralel doğruların eğimleri eşittir; y ekseni boyunca öteleme eğimi değiştirmez. g(x) = 2 · f(x − 1) + 3 = 2x + 1 gibi ifadeler düzenlenerek ax + b biçimine getirilir.

Gerçek Yaşam Yorumu

Eğim birim başına değişimdir (km başına ücret, dakikada harcanan benzin). Sıfır, niceliğin bittiği veya hareketin başladığı anı gösterir. Kısıtlı tanım kümesinde görüntü kümesi uç değerlerden bulunur.

Kısa Özet

Doğrusal fonksiyonun grafiği doğrudur; a eğimi ve artanlığı, b y eksenini kestiği noktayı belirler. a ≠ 0 ise fonksiyon bire birdir ve sıfırı −b/a'dır; a = 0 ise sabit fonksiyondur. Kapalı aralıkta maksimum-minimum uç noktalardadır. Parçalı fonksiyonlarda her aralık ayrı ifadeyle yazılır.