9. Sınıf Matematik Doğrusal Fonksiyonlarla İfade Edilebilen Denklem ve Eşitsizlikler İçeren Problemler Konu Anlatımı

Doğrusal Fonksiyonlarla İfade Edilebilen Denklem ve Eşitsizlikler İçeren Problemler

Bir depoda kalan su miktarı f(t) = 120 − 0,8t ile veriliyorsa “suyun bittiği an” f(t) = 0 denklemiyle, “su 40 ile 80 litre arasında” durumu 40 < f(t) < 80 eşitsizliğiyle bulunur. Doğrusal ilişki içeren problemlerin çözümünde doğrusal fonksiyonlardan elde edilen denklem ve eşitsizlikler kullanılır. Benzer şekilde ölçüm hatası, tolerans ve tahmin oyunları gibi “bir değerden en fazla şu kadar sapma” durumları mutlak değerli denklem ve eşitsizliklerle çözülür.

Bu konuda:

• f(x) = g(x) biçimindeki birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemleri,
• f(x) < g(x), f(x) ≤ g(x), f(x) > g(x), f(x) ≥ g(x) biçimindeki eşitsizlikleri,
• bu denklem ve eşitsizlikleri cebirsel, grafik ve işaret tablosu yöntemleriyle çözmeyi,
• mutlak değerli denklem ve eşitsizlikleri parçalı gösterim ve grafikle çözmeyi,
• gerçek yaşam problemlerini (maliyet, kâr, değer kaybı, tolerans) modelleyip çözmeyi

öğreneceğiz.

Bu konunun sonunda şunları yapabiliyor olmalısın:

• bir problemi doğrusal fonksiyonlarla ifade edip uygun denklem veya eşitsizliği kurmak,
• denklemin kökünü fonksiyonun sıfırı veya iki grafiğin kesim noktası olarak yorumlamak,
• eşitsizliğin çözüm aralığını işaret tablosu ve grafikle bulmak,
• mutlak değerli denklem ve eşitsizlikleri çözmek ve bulunan kökleri kontrol etmek,
• farklı çözüm yöntemlerini karşılaştırarak sonucu doğrulamak.

1. Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Eşitsizlikler

f(x) = ax + b ve g(x) = cx + d gerçek sayılarda tanımlı doğrusal fonksiyonlar olsun (a ≠ c).

• f(x) = g(x) ifadesine birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir.
• f(x) < g(x), f(x) ≤ g(x), f(x) > g(x), f(x) ≥ g(x) ifadelerine birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlik denir.

f(x) = g(x) ⇒ ax + b = cx + d ⇒ (a − c)x + (b − d) = 0. a − c = m ve b − d = n denirse denklem mx + n = 0 biçimine gelir (m ≠ 0). Bu denklemin çözüm kümesi {−n/m}'dir.

Özel olarak g(x) = 0 ise f(x) = g(x) denklemi f(x) = 0'a, f(x) < g(x) eşitsizliği f(x) < 0'a dönüşür.

Denklemin Kökü ve Fonksiyonun Sıfırı

ax + b = 0 denkleminin kökü, f(x) = ax + b fonksiyonunun sıfırıdır; yani grafiğin x eksenini kestiği noktanın apsisidir. Bir matematik yazılımında f(x) = ax + b ve g(x) = 0 (x ekseni) çizilip kesiştirildiğinde bulunan nokta (−b/a, 0)'dır.

Eşitsizliklerin Çözüm Aralıkları

f(x) < g(x) gibi eşitsizlikler düzenlenerek mx + n < 0, mx + n ≤ 0, mx + n > 0, mx + n ≥ 0 biçimine getirilir. Kök −n/m olmak üzere:

• mx + n < 0: m > 0 ise (−∞, −n/m); m < 0 ise (−n/m, ∞)
• mx + n ≤ 0: m > 0 ise (−∞, −n/m]; m < 0 ise [−n/m, ∞)
• mx + n > 0: m > 0 ise (−n/m, ∞); m < 0 ise (−∞, −n/m)
• mx + n ≥ 0: m > 0 ise [−n/m, ∞); m < 0 ise (−∞, −n/m]

Bu tablo işaret incelemesinden gelir: m > 0 iken fonksiyon artandır; kökün solunda negatif, sağında pozitiftir. m < 0 iken tersidir.

2. Problemlerde Denklem ve Eşitsizlik Kurma

İki Fonksiyonun Karşılaştırılması

İki durum f ve g fonksiyonlarıyla modelleniyorsa:

• f(x) = g(x) denklemi iki niceliğin eşit olduğu anı verir; grafiklerin kesim noktasıdır.
• f(x) < g(x) eşitsizliği f'nin g'den küçük olduğu aralığı verir; f'nin grafiği g'nin grafiğinin altındadır.

Maliyet Karşılaştırması

Grafik çözüm (bir matematik yazılımında kesim noktasını bulmak) hızlıdır ve işlem hatası riskini azaltır. Cebirsel çözüm ise yazılım olmadan da kesin sonucu verir. İki yöntemin aynı sonucu vermesi çözümü doğrular.

Kâr ve Başa Baş Noktası

Bir üretimde maliyet fonksiyonu m(x) = sabit gider + birim maliyet · x, gelir fonksiyonu g(x) = satış fiyatı · x biçimindedir.

• m(x) = g(x) olduğu nokta, gelirin maliyete eşit olduğu (başa baş) üretim miktarıdır.
• g(x) > m(x) ise kâr edilir.

Değer Kaybı

Sınır Koşulu İçeren Problemler

3. Mutlak Değerli Denklem ve Eşitsizlikler

Mutlak değer içeren problemlerin çözümünde mutlak değer fonksiyonlarından elde edilen denklem ve eşitsizlikler kullanılır. f ve g fonksiyonları için f(x) = g(x), f(x) ≥ g(x), f(x) > g(x), f(x) ≤ g(x), f(x) < g(x) ifadeleri kurulur. g(x) = k sabit fonksiyon olduğunda bunlar f(x) = k, f(x) ≤ k gibi ifadelere dönüşür.

|ax + b| ile 0'ın Karşılaştırılması

f(x) = |ax + b| için:

• |ax + b| = 0 denkleminin tek kökü x = −b/a'dır (fonksiyonun sıfırı).
• |ax + b| ≥ 0 eşitsizliği her gerçek sayı için doğrudur; çözüm kümesi ℝ'dir.
• |ax + b| < 0 eşitsizliğinin çözümü yoktur; çünkü mutlak değer negatif olamaz.
• |ax + b| > 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi ℝ − {−b/a}'dır.

f(x) = k, f(x) ≤ k, f(x) > k Biçimleri

Mutlak değer fonksiyonu parçalı olarak iki cebirsel temsille yazıldığından her parça için ayrı çözüm yapılır.

f(x) = g(x) Biçiminde Mutlak Değerli Denklem ve Kök Kontrolü

Mutlak değerli ifade ile doğrusal bir ifade eşitlendiğinde mutlak değer parçalara ayrılır; her parçada bulunan kökün o parçanın x şartını sağlayıp sağlamadığı mutlaka kontrol edilir.

Gidip Gelme Problemi

Sınavlarda Sık Görülen Soru Kalıpları

Kalıp 1: Eşitlenme Zamanı

İki doğrusal model verilir; eşitlendiği an ve değer sorulur.

Kalıp 2: Kapasite ve Sınır

Bir üst sınır verilir; kaç birim alınabileceği sorulur.

Kalıp 3: Tolerans

Ölçü ve tolerans verilir; uygun aralık veya sınır değerler istenir.

Kalıp 4: Kök Kontrolü

|ax + b| = cx + d gibi bir denklem verilir; çözüm kümesi istenir.

Sık Karıştırılan Noktalar

• Denklemin kökü = fonksiyonun sıfırı = grafiğin x eksenini kestiği noktanın apsisi.
• f(x) = g(x)'in kökü, iki grafiğin kesim noktasının apsisidir; kesim noktasının ordinatı ortak değerdir.
• Negatif sayıyla çarpma/bölmede eşitsizliğin yönü değişir.
• Gerçek yaşam bağlamında tanım kümesine dikkat: süre ve miktar negatif olmaz; adet tam sayıdır.
• “Kâr etmek için en az” sorusunda eşitlik noktası değil, bir sonraki tam sayı alınır.
• |ax + b| < 0'ın çözümü yoktur; |ax + b| ≥ 0 her x için doğrudur.
• Mutlak değerli denklemde parçalardan gelen köklerin şartı sağlayıp sağlamadığı kontrol edilmelidir.
• |x − a| ≤ k çözümü kapalı aralık, |x − a| > k çözümü iki parçalı aralıktır.

Soru Çözerken Kullanılabilecek Yaklaşım

• Problemdeki başlangıç değerini (sabit terim) ve birim başına değişimi (eğim) belirle.
• Sorulan durumu denklem mi (eşit olduğu an), eşitsizlik mi (daha az/fazla olduğu aralık) belirle.
• Denklemi mx + n = 0, eşitsizliği mx + n < 0 gibi düzenli biçime getir.
• Çözümü grafikle veya işaret tablosuyla doğrula.
• Sonucu bağlama göre yorumla: tanım kümesi, tam sayı şartı, birimler.
• Mutlak değerde önce köşeyi bul, parçalara ayır, her kökü kendi şartıyla kontrol et.

Konu Özeti

Doğrusal ilişki içeren problemler doğrusal fonksiyonlarla modellenir; sorulan durum f(x) = g(x) denklemi veya f(x) < g(x) gibi bir eşitsizlikle ifade edilir. Bu ifadeler mx + n = 0 veya mx + n < 0 biçimine getirilir; denklemin kökü −n/m'dir ve fonksiyonun sıfırına, iki fonksiyon söz konusuysa grafiklerin kesim noktasına karşılık gelir. Eşitsizliğin çözüm aralığı m'nin işaretine göre kökün sağı veya solu olur ve işaret tablosu ile grafikle doğrulanır. Mutlak değerli denklem ve eşitsizliklerde fonksiyon parçalı olarak yazılıp her parça ayrı çözülür; bulunan köklerin şartları kontrol edilir. |x − a| ≤ k kapalı bir aralık, |x − a| > k iki aralığın birleşimini verir. Bu yöntemler maliyet, kâr, değer kaybı, kapasite, tolerans ve uzaklık problemlerinde kullanılır.