9. Sınıf Matematik: Gerçek Sayılar – Ders Notu

Gerçek Sayılar – Ders Notu

Temel Sayı Kümeleri

Doğal sayılar: 0, 1, 2, 3, ...

Tam sayılar: ..., -2, -1, 0, 1, 2, ...

Rasyonel sayılar: a/b biçiminde yazılabilen sayılar. a ve b tam sayı, b ≠ 0.

İrrasyonel sayılar: iki tam sayının oranı biçiminde yazılamayan gerçek sayılar.

Gerçek sayılar: rasyonel ve irrasyonel sayıların tamamı.

Kapsama İlişkisi

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R

İrrasyonel sayılar: R içinde, Q dışında.

En Dar Küme

5 → doğal sayı. -3 → tam sayı. 2/7 → rasyonel sayı. √5 → irrasyonel sayı.

Ondalık Gösterim

Sonlu ondalık → rasyonel.

Sonsuz devirli ondalık → rasyonel.

Sonsuz devirsiz ondalık → irrasyonel.

Köklü Sayılar

Her köklü sayı irrasyonel değildir.

√36 = 6 → rasyonel.

√7 → irrasyonel.

Sıfır

0:

• doğal,
• tam,
• rasyonel,
• gerçek sayıdır.

Sayı Doğrusu

Sağdaki sayı daha büyüktür.

Örnek:

-5 < -2 < 0 < 3

Mutlak Değer

|a|, a sayısının sıfıra uzaklığıdır.

İki sayı arasındaki uzaklık:

|a-b|

İşlem Özellikleri

Tam sayılar: toplama, çıkarma ve çarpmaya göre kapalıdır; bölmeye göre kapalı değildir.

Rasyonel sayılar: bölen sıfır olmadığı sürece dört işleme göre kapalıdır.

İrrasyonel sayılar: toplama veya çarpma sonucunda her zaman irrasyonel kalmaz.

Önemli Sonuçlar

Rasyonel + irrasyonel → irrasyonel.

Sıfırdan farklı rasyonel × irrasyonel → irrasyonel.

İrrasyonel + irrasyonel → her zaman irrasyonel değildir.

İrrasyonel × irrasyonel → her zaman irrasyonel değildir.

Sık Karıştırılan Noktalar

• Her doğal sayı tam sayıdır.
• Her tam sayı rasyoneldir.
• Her rasyonel sayı gerçektir.
• İrrasyonel sayılar gerçek sayıdır.
• Devirli ondalıklar rasyoneldir.
• Her köklü sayı irrasyonel değildir.
• π irrasyoneldir.
• 3,14 ile π aynı sayı değildir.

Gerçek Sayılar Kısa Özeti

Gerçek sayılar, rasyonel ve irrasyonel sayıların birleşimidir. Sayı kümeleri N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R biçiminde iç içedir. Ondalık gösterimler, köklü sayılar ve sayı doğrusu kullanılarak gerçek sayılar sınıflandırılabilir ve karşılaştırılabilir.