9. Sınıf Matematik: Gerçek Sayılar – Konu Anlatımı

Gerçek Sayılar

**Gerçek sayılar**, sayı doğrusunda bir noktaya karşılık gelen bütün sayılardır. Doğal sayılar, tam sayılar, rasyonel sayılar ve irrasyonel sayılar gerçek sayıların içinde yer alır.

Sayı Kümeleri

Gerçek sayıları anlamak için sayı kümeleri arasındaki ilişkiyi bilmek gerekir.

Temel sayı kümeleri:

• doğal sayılar,
• tam sayılar,
• rasyonel sayılar,
• irrasyonel sayılar,
• gerçek sayılar.

Doğal Sayılar

Sayma sayıları ve sıfır doğal sayılar kümesinde yer alır.

N = {0, 1, 2, 3, ...}

Tam Sayılar

Doğal sayıların negatifleri de eklenince tam sayılar elde edilir.

Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

Rasyonel Sayılar

a ve b tam sayı, b ≠ 0 olmak üzere:

a / b

biçiminde yazılabilen sayılara **rasyonel sayı** denir.

Q ile gösterilir.

Sonlu Ondalık Gösterimler

Sonlu ondalık gösterime sahip sayılar rasyoneldir.

Örnek:

0,25 = 25/100 = 1/4

2,75 = 275/100 = 11/4

Devirli Ondalık Gösterimler

Ondalık kısmında belirli bir basamak veya basamak grubu sonsuza kadar tekrar eden sayılar da rasyoneldir.

Örnek:

0,333... = 1/3

0,121212... = 12/99 = 4/33

İrrasyonel Sayılar

İki tam sayının oranı biçiminde yazılamayan gerçek sayılara **irrasyonel sayı** denir.

Bu sayıların ondalık gösterimleri:

• sonsuzdur,
• devirsizdir.

Karekök ve Rasyonellik

Bir doğal sayının karekökü:

• tam sayı çıkıyorsa rasyoneldir,
• tam sayı çıkmıyorsa genellikle irrasyoneldir.

Gerçek Sayılar Kümesi

Rasyonel ve irrasyonel sayıların tamamı gerçek sayılar kümesini oluşturur.

R ile gösterilir.

Sayı Kümelerinin Kapsama İlişkisi

Doğal sayılar tam sayıların içindedir.

Tam sayılar rasyonel sayıların içindedir.

Rasyonel sayılar gerçek sayıların içindedir.

Yani:

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R

İrrasyonel sayılar da R'nin içindedir fakat Q'nun içinde değildir.

Bir Sayının Ait Olduğu En Dar Küme

Sorularda çoğu zaman sayıların ait olduğu **en dar sayı kümesi** istenir.

Sıfırın Yeri

0:

• doğal sayıdır,
• tam sayıdır,
• rasyonel sayıdır,
• gerçek sayıdır.

0 irrasyonel değildir.

Negatif Sayılar

Negatif tam sayılar doğal sayı değildir.

Ancak:

• tam sayıdır,
• rasyonel sayıdır,
• gerçek sayıdır.

Örnek: -8

Kesirli Sayılar

Her kesirli gösterim irrasyonel değildir.

a/b biçimindeki kesirlerde a ve b tam sayı, b ≠ 0 ise sayı rasyoneldir.

Örnek: -11/4

Ondalık Gösterimler ve Sayı Türü

Ondalık gösterimi:

• sonlu ise → rasyonel,
• sonsuz ve devirli ise → rasyonel,
• sonsuz ve devirsiz ise → irrasyoneldir.

π Sayısı

π irrasyonel bir gerçek sayıdır.

Ondalık gösterimi sonsuz ve devirsizdir.

Yaklaşık değerlerle işlem yapılabilir:

π ≈ 3,14

Ancak 3,14 sayısı π'nin kendisi değil, yaklaşık değeridir.

Kök İçindeki Sayının Tam Kare Olması

Tam kare doğal sayıların karekökleri doğal sayı olabilir.

Örnek:

√64 = 8

Bu nedenle √64:

• doğal,
• tam,
• rasyonel,
• gerçek sayıdır.

Tam Kare Olmayan Kökler

Örnek:

√10

10 tam kare değildir.

√10 iki tam sayının oranı biçiminde yazılamaz.

Bu nedenle irrasyoneldir.

Sayı Doğrusu

Her gerçek sayı sayı doğrusunda bir noktaya karşılık gelir.

Sayı doğrusunda:

• sağa gidildikçe sayılar büyür,
• sola gidildikçe sayılar küçülür.

Negatif Sayıları Karşılaştırma

Negatif sayılarda sıfıra daha yakın olan sayı daha büyüktür.

Örnek:

-2 > -7

Rasyonel Sayıları Karşılaştırma

Kesirleri karşılaştırırken:

• ortak payda,
• ondalık gösterim,
• çapraz çarpım

kullanılabilir.

İrrasyonel Sayıları Karşılaştırma

Pozitif köklü sayılar karşılaştırılırken kareleri karşılaştırılabilir.

Örnek:

√7 ile √10 karşılaştırılır.

7 < 10 olduğundan:

√7 < √10

Tam Sayı ile Köklü Sayıyı Karşılaştırma

Örnek:

√15 ile 4.

15 < 16 olduğundan:

√15 < 4

Gerçek Sayılarda Dört İşlem

Gerçek sayılar toplama, çıkarma ve çarpma işlemlerine göre kapalıdır.

Sıfıra bölme tanımsız olduğundan bölme işleminde bölen sıfır olamaz.

Kapalılık Kavramı

Bir kümedeki iki elemanla yapılan işlem sonucunda yine aynı kümeden bir eleman elde ediliyorsa küme o işleme göre kapalıdır.

Örneğin tam sayılar:

• toplama işlemine göre kapalıdır,
• çıkarma işlemine göre kapalıdır,
• çarpma işlemine göre kapalıdır,
• bölme işlemine göre kapalı değildir.

Doğal Sayılarda İşlem Özellikleri

Doğal sayılar:

• toplamada kapalıdır,
• çarpmada kapalıdır.

Ancak çıkarma işleminde her zaman kapalı değildir.

Örnek: 3 - 5 = -2

-2 doğal sayı değildir.

Rasyonel Sayılarda İşlem Özellikleri

Rasyonel sayılar:

• toplama,
• çıkarma,
• çarpma

işlemlerine göre kapalıdır.

Bölmede ise bölen sıfır olmadığı sürece sonuç rasyoneldir.

İrrasyonel Sayılarda İşlem Sonucu

İki irrasyonel sayının toplamı her zaman irrasyonel değildir.

İki irrasyonel sayının çarpımı da her zaman irrasyonel değildir.

Rasyonel ve İrrasyonel Sayıların Toplamı

Bir rasyonel sayı ile bir irrasyonel sayının toplamı irrasyoneldir.

Örnek:

3 + √2

irrasyoneldir.

Sıfırdan Farklı Rasyonel ile İrrasyonelin Çarpımı

Sıfırdan farklı rasyonel sayı ile irrasyonel sayının çarpımı irrasyoneldir.

Örnek:

2√3

irrasyoneldir.

Mutlak Değer ve Gerçek Sayılar

Bir gerçek sayının mutlak değeri, sayı doğrusunda sıfıra olan uzaklığıdır.

|a| ≥ 0

Örnek:

|-7| = 7

|4| = 4

İki Sayı Arasındaki Uzaklık

Gerçek sayı doğrusunda a ve b sayıları arasındaki uzaklık:

|a - b|

ile bulunur.

Gerçek Sayıların Yoğunluğu

İki farklı gerçek sayı arasında sonsuz sayıda gerçek sayı vardır.

Örneğin 1 ile 2 arasında:

1,5 1,25 √2 1,75

gibi sonsuz sayıda gerçek sayı bulunabilir.

Rasyonel Sayıların Yoğunluğu

İki farklı rasyonel sayı arasında da sonsuz rasyonel sayı bulunur.

En basit yöntemlerden biri iki sayının aritmetik ortalamasını almaktır.

Örnek:

1 ile 2 arasında:

(1+2)/2 = 3/2

bulunur.

İrrasyonel Sayıların Yoğunluğu

Gerçek sayı doğrusu üzerinde irrasyonel sayılar da yaygın biçimde bulunur.

İki farklı gerçek sayı arasında uygun irrasyonel sayılar da bulunabilir.

Sayı Kümelerinde Venn Mantığı

Kümeler iç içe düşünülebilir:

N → Z'nin içinde Z → Q'nun içinde Q → R'nin içinde

İrrasyoneller ise R'nin içinde fakat Q'nun dışındadır.

Sık Yapılan Hatalar

• Her köklü sayıyı irrasyonel sanmak.
• Sonsuz ondalık gösterimi mutlaka irrasyonel sanmak.
• Negatif tam sayıları doğal sayı sanmak.
• 0'ın rasyonel olduğunu unutmak.
• İrrasyonel sayıların toplamının her zaman irrasyonel olduğunu düşünmek.
• π ile 3,14'ü aynı sayı sanmak.

Sık Karıştırılan Noktalar

Soru Çözerken Kullanılabilecek Yaklaşım

İlk Adım

Sayının gösterimine bak: tam sayı mı, kesir mi, ondalık mı, köklü mü?

İkinci Adım

Rasyonel olup olmadığını kontrol et: iki tam sayının oranı biçiminde yazılabiliyor mu?

Üçüncü Adım

En dar sayı kümesini belirle.

Dördüncü Adım

Karşılaştırma sorularında sayı doğrusunu veya uygun cebirsel yöntemi kullan.

Beşinci Adım

İşlem sonucunda “her zaman” ifadesi varsa karşı örnek aramayı unutma.

Konu Özeti

Gerçek sayılar:

• doğal sayıları,
• tam sayıları,
• rasyonel sayıları,
• irrasyonel sayıları

kapsar.

Sayı kümeleri arasındaki temel ilişki:

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R

şeklindedir.

Rasyonel sayılar sonlu veya devirli ondalık gösterime sahip olabilir. İrrasyonel sayıların ondalık gösterimi sonsuz ve devirsizdir. Her gerçek sayı sayı doğrusunda bir noktaya karşılık gelir.