Anlık Değişim Oranı ve Türev Ders Notu

Anlık Değişim Oranı ve Türev — Ders Notu

Ortalama ve Anlık Değişim

**Ortalama değişim oranı:** (f(b)−f(a))/(b−a), a≠b. Grafikte A(a,f(a)) ve B(b,f(b)) noktalarından geçen kesenin eğimidir. Birimi, bağımlı değişkenin biriminin bağımsız değişkenin birimine bölünmesiyle oluşur. Örneğin 1 ile 3 arasındaki aralıkta için f(x)=x² olduğunda oran (9−1)/2=4'tür.

**Anlık değişim oranı:** f'(a)=lim(h→0)(f(a+h)−f(a))/h. Eşdeğer biçimi lim(x→a)(f(x)−f(a))/(x−a)'dır. x=a noktasındaki teğetin eğimine eşittir. f(x)=x² için x=a'da fark bölümü 2a+h olduğundan f'(a)=2a'dır.

Tek Taraflı Türev ve Süreklilik

f'(a−) ve f'(a+), fark bölümünün sırasıyla soldan ve sağdan limitleridir. İki sonlu limit eşitse f'(a) vardır. Türevli fonksiyon o noktada süreklidir; tersine, süreklilik türev için yeterli değildir. Örneğin |x−2| süreklidir, fakat x=2'de sol eğim −1, sağ eğim +1 olduğundan türevli değildir.

Temel Türev Kuralları

• (c)'=0, (xⁿ)'=nxⁿ⁻¹, (a·xⁿ)'=anxⁿ⁻¹ (ifadenin tanımlı olduğu yerlerde).
• (af+bg)'=af'+bg'. Polinomda her terim ayrı türevlendirilir.
• (fg)'=f'g+fg'. Çarpanların türevlerini çarpmak yeterli değildir.
• (f/g)'=(f'g−fg')/g²; g≠0 olmalıdır.
• (g∘f)'(x)=g'(f(x))·f'(x). Dış türevden sonra iç türev unutulmaz.
• f''(x), f'(x)'in türevidir; d²f/dx² ile de gösterilir.

Kısa İşlem Örnekleri

f(x)=3x⁴−2/x için f'(x)=12x³+2/x² olur (x≠0). f''(x)=36x²−4/x³ bulunur. g(x)=(x²+1)(x−2) için g'(x)=2x(x−2)+(x²+1). h(x)=(x+1)/(x−1) için h'(x)=((x−1)−(x+1))/(x−1)²=−2/(x−1)², x≠1.

f(x)=(2x²−1)⁴ için f'(x)=4(2x²−1)³·4x=16x(2x²−1)³. f(3x+1)=x²+2x ise 3f'(3x+1)=2x+2; f'(7) için x=2 yazılır ve f'(7)=2 olur.

Teğet Doğrusu

x=a noktasında eğim m=f'(a), teğet noktası (a,f(a))'dır. **y−f(a)=f'(a)(x−a)**. Örneğin f(x)=x²+1, a=2 için eğim 4, nokta (2,5) ve teğet y=4x−3'tür. Paralel doğruların eğimleri eşit, dik doğruların eğim çarpımı −1'dir.

Zamana Göre Değişim

Bir bağıntının iki yanını t'ye göre türevlendirin. A=πr² için A'=2πrr'; A=ab için A'=a'b+ab'; c²=a²+b² için cc'=aa'+bb'. Artış hızı pozitif, azalma hızı negatiftir. Yarıçap 4 cm iken saniyede 3 cm uzayan dairede A'=24π cm²/sn'dir.

Kısa Özet

Fark bölümü → limit → anlık değişim/teğet eğimi. Türevlenebilirlik için süreklilik ve eşit tek taraflı türevler gerekir. Türev kuralları, teğet ve değişim hızı problemlerine uygulanır.